浙江專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.9圓錐曲線的綜合問(wèn)題第1課時(shí)圓錐曲線的綜合問(wèn)題課件

§9.9圓錐曲線的綜合問(wèn)題根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)訓(xùn)練題型分類深度剖析內(nèi)容索引根底知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)假設(shè)a≠0，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有①Δ>0?直線與圓錐曲線；②Δ＝0?直線與圓錐曲線；③Δ<0?直線與圓錐曲線.知識(shí)梳理相交相切相離(2)假設(shè)a＝0，b≠0，即得到一個(gè)一元一次方程，那么直線l與圓錐曲線E相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，①假設(shè)E為雙曲線，那么直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是；②假設(shè)E為拋物線，那么直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是.2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，那么|AB|＝_____________平行平行或重合過(guò)一點(diǎn)的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)過(guò)橢圓外一點(diǎn)總有兩條直線與橢圓相切；過(guò)橢圓上一點(diǎn)有且只有一條直線與橢圓相切；過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的直線與橢圓相交.知識(shí)拓展(2)過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條與對(duì)稱軸平行或重合的直線；過(guò)拋物線上一點(diǎn)總有兩條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條切線和一條與對(duì)稱軸平行或重合的直線；過(guò)拋物線內(nèi)一點(diǎn)只有一條直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：一條與對(duì)稱軸平行或重合的直線.(3)過(guò)雙曲線外不在漸近線上的一點(diǎn)總有四條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條切線和兩條與漸近線平行的直線；過(guò)雙曲線上一點(diǎn)總有三條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：一條切線和兩條與漸近線平行的直線；過(guò)雙曲線內(nèi)一點(diǎn)總有兩條直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)：兩條與漸近線平行的直線.判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)直線l與拋物線y2＝2px只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么l與拋物線相切.()(2)直線y＝kx(k≠0)與雙曲線x2－y2＝1一定相交.()(3)與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn).()(4)直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)?直線與橢圓相切.()(5)過(guò)點(diǎn)(2,4)的直線與橢圓＋y2＝1只有一條切線.()(6)滿足“直線y＝ax＋2與雙曲線x2－y2＝4只有一個(gè)公共點(diǎn)〞的a的值有4個(gè).()思考辨析××√√×√

考點(diǎn)自測(cè)1.(2023·杭州高級(jí)中學(xué)月考)在同一平面直角坐標(biāo)系中，方程a2x2＋b2y2＝1與ax＋by2＝0(a>b>0)表示的曲線大致是答案解析∴橢圓焦點(diǎn)在y軸上.∴拋物線焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，開(kāi)口向左.

直線y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)，又點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交.2.(2023·青島模擬)直線y＝kx－k＋1與橢圓＝1的位置關(guān)系為A.相交 B.相切C.相離 D.不確定答案解析

答案解析4.(教材改編)與向量v＝(1,0)平行的直線l與雙曲線－y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，那么|AB|的最小值為_(kāi)__.答案解析4由題意可設(shè)直線l的方程為y＝m，即當(dāng)m＝0時(shí)，|AB|有最小值4.題型分類深度剖析第1課時(shí)直線與圓錐曲線題型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1(2023·煙臺(tái)模擬)直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＝1.試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；解答將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；解答

(3)沒(méi)有公共點(diǎn).解答

(1)判斷直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程根的判別式來(lái)確定，需注意利用判別式的前提是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.(2)依據(jù)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)時(shí)，聯(lián)立方程并消元，得到一元方程，此時(shí)注意觀察方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，假設(shè)為0，那么方程為一次方程；假設(shè)不為0，那么將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為判別式與0的大小關(guān)系求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(2023·全國(guó)乙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.解答(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn)，理由如下：代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y(tǒng)2＝2t，即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除H以外直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn).解答題型二弦長(zhǎng)問(wèn)題例2(2023·全國(guó)甲卷)A是橢圓E： 的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.(1)當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求△AMN的面積.解答又A(－2,0)，因此直線AM的方程為y＝x＋2.證明將直線AM的方程y＝k(x＋2)(k>0)即4k3－6k2＋3k－8＝0，設(shè)f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，則k是f(t)的零點(diǎn)，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問(wèn)題的求解方法涉及弦長(zhǎng)的問(wèn)題中，

應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過(guò)焦點(diǎn)的弦的問(wèn)題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.思維升華(1)求E的離心率；解答由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，化簡(jiǎn)得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，解析(2)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求E的方程.設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知

題型三中點(diǎn)弦問(wèn)題例3(1)橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn).假設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，那么E的方程為答案解析命題點(diǎn)1利用中點(diǎn)弦確定直線或曲線方程因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，－1)，(2)(4,2)是直線l被橢圓＝1所截得的線段的中點(diǎn)，那么l的方程是_____________.答案解析x＋2y－8＝0設(shè)直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，即x＋2y－8＝0.命題點(diǎn)2由中點(diǎn)弦解決對(duì)稱問(wèn)題例4(2023·浙江)橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對(duì)稱.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；解答(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).解答設(shè)△AOB的面積為S(t)，處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式即可求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系求解.(3)解決對(duì)稱問(wèn)題除掌握解決中點(diǎn)弦問(wèn)題的方法外，還要注意：如果點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，那么l垂直直線AB且A，B的中點(diǎn)在直線l上的應(yīng)用.思維升華跟蹤訓(xùn)練3雙曲線x2－＝1上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線y＝x＋m對(duì)稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線y2＝18x上，那么實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______.0或－8答案解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，∵M(jìn)，N關(guān)于直線y＝x＋m對(duì)稱，∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0.解得m＝0或－8，經(jīng)檢驗(yàn)都符合.課時(shí)訓(xùn)練答案解析√要使直線與雙曲線恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，即e∈(2，＋∞)，故選B.12345678910111213答案解析2.(2023·青島模擬)拋物線y2＝2px(p>0)與直線ax＋y－4＝0相交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2).如果拋物線的焦點(diǎn)為F，那么|FA|＋|FB|等于√12345678910111213把點(diǎn)A的坐標(biāo)(1,2)分別代入拋物線y2＝2px與直線方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，則xA＋xB＝5.由拋物線定義得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故選D.123456789101112133.(2023·麗水一模)斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，那么|AB|的最大值為答案解析√12345678910111213設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝x＋t，12345678910111213答案解析所以它與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn)，故選A.A.1 B.2 C.1或2 D.0√123456789101112135.設(shè)雙曲線＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么雙曲線的離心率為答案解析√12345678910111213123456789101112136.過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，它們到直線x＝－2的距離之和等于5，那么這樣的直線A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條C.有無(wú)窮多條 D.不存在√答案解析12345678910111213拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，那么A，B到直線x＝－1的距離之和為x1＋x2＋2.設(shè)直線方程為x＝my＋1，代入拋物線y2＝4x，那么y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.∴A，B到直線x＝－2的距離之和為x1＋x2＋2＋2≥6>5.∴滿足題意的直線不存在.123456789101112137.拋物線y2＝4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，那么|AB|的最大值為_(kāi)__.答案解析6設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，又|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤6，當(dāng)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最大值6.123456789101112138.過(guò)橢圓

＝1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是______________.答案解析3x＋4y－13＝012345678910111213設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，由于A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，又∵P是A，B的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，12345678910111213即3x＋4y－13＝0.123456789101112139.F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，A是其上頂點(diǎn)，且△AF1F2是等腰直角三角形，延長(zhǎng)AF2與橢圓C交于另一點(diǎn)B，假設(shè)△AF1B的面積為6，那么橢圓C的方程為_(kāi)_________.答案解析12345678910111213因?yàn)椤鰽F1F2為等腰直角三角形，12345678910111213答案解析12345678910111213由題意得方程在[1，＋∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)，1234567891011121312345678910111213解答12345678910111213解答(2)設(shè)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切，求直線l的方程.12345678910111213由(1)得到橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，∴F2在C內(nèi)，故過(guò)F2沒(méi)有圓C的切線，設(shè)l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.12345678910111213解答解得a2＝8，b2＝4.12345678910111213(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.證明12345