專題26.2反比例函數的圖象與性質（二）精準練（人教版）

專題26.2反比例函數的圖形與性質（二）【十大題型】題型歸納【人教版】題型歸納TOC\o"11"\h\u題型一：判斷反比例函數增減性 1題型二：反比例函數K的幾何意義 5題型三：根據反比例函數系數K求圖形面積 9題型四：一次函數與反比例函數的應用 14題型五：反比例與一次函數圖像共存問題 20題型六：反比例函數幾何綜合 25精講精練精講精練題型一：判斷反比例函數增減性1．（22·23下·煙臺·期末）已知反比例函數，則下列描述正確的是（

）A．圖象位于第一、三象限 B．y隨x的增大而增大C．圖象不可能與坐標軸相交 D．圖象必經過點【答案】C【分析】根據反比例函數的圖象位于第二、四象限；不可能與坐標軸相交；時，，時，；時，．逐一判斷．【詳解】∵該反比例函數解析式為，∴，∴圖象位于第二、四象限，故A錯誤，不符合題意；當時，，當時，，故B錯誤，不符合題意；圖象不可能與坐標軸相交，故C正確，符合題意；當時，，∴圖象必經過點，而不過點，故D錯誤，不符合題意．故選C．【點睛】本題主要考查了反比例函數．熟練掌握反比例函數的圖象不與坐標軸相交，函數值在同一象限內的增減性，函數值在不同象限內的正負性，點與圖象的位置關系，是解題關鍵．2．（22·23下·杭州·期末）已知，點在反比例函數的圖象上，則下列結論正確的是（）A．y隨x的增大而增大 B．y隨x的增大而減小C．當時，則 D．當時，則【答案】D【分析】根據反比例函數的性質進行判斷即可．【詳解】解：A.y隨x的增大而增大，∵，∴雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大，故該選項說法錯誤；B.y隨x的增大而減小，∵，∴雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大，故該選項說法錯誤；C.當時，則，∵，∴雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大，故當時，，當時，，故該選項說法錯誤；D.當時，則，∵，∴雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大，故當時，，故該選項說法正確；故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．3．（22·23上·蘭州·期末）關于反比例函數，點在它的圖像上，下列說法中錯誤的是（

）A．當時，隨的增大而增大 B．圖像位于第二、四象限C．點和都在該圖像上 D．當時，【答案】ABD【分析】根據題意，利用反比例函數圖像與性質逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、由于，反比例函數圖像在第一、三象限，在每一個象限內，隨的增大而減小，該選項說法錯誤，符合題意；B、由于，反比例函數圖像在第一、三象限，該選項說法錯誤，符合題意；C、由于點在函數的圖像上，則，從而點和都在函數的圖像上，該選項說法正確，不符合題意；D、當時，，由于反比例函數圖像在第一、三象限，則當時，，該選項說法錯誤，符合題意；故選：ABD．【點睛】本題考查反比例函數的圖像與性質，熟練掌握反比例函數的圖像與性質是解決問題的關鍵．4．（22·23上·濮陽·期末）若點，和都在反比例函數的圖象上，則，的大小關系為．（用“＞”連接）【答案】【分析】分別把，代入反比例函數，求出，的大小，再比較大?。驹斀狻拷猓狐c，和都在反比例函數的圖象上，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是反比例函數圖像上點的坐標特點，熟知反比例函數圖像上各點坐標一定適合此函數解析式是解題的關鍵．5．（22·23下·威?！て谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，，C是線段上的動點，且反比例函數（）的圖象經過點C．(1)在反比例函數（）的圖象中，y隨x的增大而_____________；（填“增大”或“減小”）(2)當C為的中點時，求k的值；(3)當點C在線段上運動時，求k的取值范圍．【答案】(1)增大(2)(3)【分析】（1）根據反比例函數的性質可直接得到答案；（2）先計算出的坐標，再利用待定系數法即可求出答案；（3）先求出直線的解析式，設可得，將帶入反比例函數即可得到是關于的二次函數，利用二次函數的性質即可求出的取值范圍．【詳解】（1）反比例函數的圖象在第二象限，隨的增大而增大，故答案為：增大；（2）為的中點時，點的坐標為，即，，，（3）設直線的解析式為，則，解得，直線的解析式為，設點，得，反比例函數的圖象經過點，，，，，是關于的二次函數，對稱軸為，，當時，為最大值，，【點睛】本題考查一次函數、反比例函數和二次函數，解題的關鍵是求出直線的解析式，得到是關于的二次函數．知識點一：反比例函數中比例系數k的幾何意義如圖，過雙曲線上任意一點P（x，y）分別作x軸、y軸的垂線PM，PN，所得長方形PMON的面積S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．因為，所以xy=k，所以S=|k|，即過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得長方形的面積為|k|．題型二：反比例函數K的幾何意義6．（23·24上·深圳·期中）如圖，點A，B是函數圖象上兩點，過點A作軸，垂足為點C，交于點D．若的面積為3，點D為的中點，則k的值為．【答案】【分析】先設出點B的坐標，進而表示出點D，A的坐標，利用的面積建立方程求出，即可得出結論．【詳解】解：設點，，D為的中點，，軸，的面積為3，故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數系數k的幾何意義、反比例函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數的性質解答．7．（22·23·丹東·中考真題）如圖，點A是反比例函數的圖象上一點，過點A作軸，垂足為點C，延長至點B，使，點D是y軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則．【答案】【分析】連結、，軸，由得到．由得到，則，再根據反比例函數圖象所在象限即可得到滿足條件的k的值．【詳解】解：如圖，連結、，∵軸，∴．∴．∵，∵，∴，∵圖象位于第一象限，則，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義，掌握反比例函數的圖象與性質并能熟練運用數形結合的思想是解答問題的關鍵．8．（23·24上·合肥·期中）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則的值=．【答案】【分析】根據正方形和雙曲線的中心對稱性，、的交點為O，如圖，過點A作軸于M，過點D作軸于N，證明得到，利用反比例函數系數k的幾何意義求解即可．【詳解】：根據正方形和雙曲線的中心對稱性，、的交點為O，如圖，過點A作軸于M，過點D作軸于N，則，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，則，∵反比例函數的圖象位于第二、四象限，∴，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、反比例函數的性質和系數k的幾何意義，熟練掌握反比例函數系數k的幾何意義是解答的關鍵．9．（22·23上·紅河·期末）如圖，點是反比例函數圖像上的一點，軸于點，且面積為4．則的值為（

）A．8 B． C． D．4【答案】B【分析】根據即可求解；【詳解】解：∵，∴，∵函數位于二、四象限，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查反比例函數的應用，掌握相關知識是解題的關鍵．10．（23·24上·邢臺·期中）如圖，在反比例函數的圖像上，有點，，，，它們的橫坐標依次為1，2，3，4．分別過這些點作垂直于x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為，，，若，則的值為（

） B．3 C．4 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查反比例函數的圖象與性質，由題意可分別得四點的坐標，則可表示三個陰影部分的面積，再由面積和為3建立關于k的方程，解方程即可求得k的值．【詳解】解：∵點，，，在反比例函數的圖象上，且它們的橫坐標依次為1，2，3，4，∴，，，，∴，，，∵，∴，解得：，故選：C．題型三：根據反比例函數系數K求圖形面積11．（22·23下·泉州·期中）如圖，長方形的頂點在直線上，點在雙曲線上，點在軸上，若，則長方形的面積為．【答案】/【分析】延長交軸于，利用反比例函數系數的幾何意義求得，由頂點在直線上，可知，即可得出，得出，從而得出長方形的面積為．【詳解】解∶延長交軸于，∵四邊形是長方形，軸，，∴軸，∵點在雙曲線上，∴，∵長方形的頂點在直線上，∴，∵，，，∴，∴，∴長方形的面積為．故答案為︰．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數的幾何意義∶在反比例函數圖象中任取一點，過這一個點向軸和軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值．12．（22·23下·煙臺·期中）如圖，反比例函數的圖象經過矩形對角線的中點P，與交于E、F兩點，則四邊形的面積是．【答案】6【分析】設P點的坐標為，根據矩形性質求得的坐標，根據反比例函數的幾何意義可得，根據，即可求解．【詳解】解：四邊形是矩形，軸，軸，∵在反比例函數圖象上，，設P點的坐標為，而點P在反比例函數圖像上，則，又∵矩形對角線的中點為P，，，，，，故答案為：6．【點睛】本題考查了反比例函數的幾何意義，矩形的性質，中點坐標公式，設點的坐標求解是解題的關鍵．13．（22·23上·陜西·期中）如圖，點A在反比例函數第二象限內的圖象上，點B在x軸的負半軸上，若，則的面積為．【答案】4【分析】過A作于H，依據可得的面積為2，根據等腰三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：如圖，過A作于H，∵點A在反比例函數第二象限內的圖象上，∵的面積為，∵，∴的面積為．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：反比例函數圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構成的三角形的面積是，且保持不變．14．（23·24上·南通·期中）如圖，O是坐標原點，平行四邊形的頂點A的坐標為，頂點C在軸的負半軸上，反比例函數的圖像經過頂點B，則平行四邊形的面積為（）A．27 B．18 C．15 D．12【答案】C【分析】過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，根據反比例函數系數k的幾何意義得，進而求得，進一步得到，根據平行四邊形的面積公式即可求得答案．【詳解】解：如圖，過點A作軸于點D，過點B作軸于點E，∵四邊形是平行四邊形，∴軸，∴直線軸，∴B、A、D三點共線，∵，∴四邊形是矩形，∵函數的圖象經過頂點B，∴，∵平行四邊形的頂點A的坐標為，∴，∴，即，∴，∴，∴，故選C．【點睛】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的性質，正確得出的長是解題的關鍵．15．（22·23下·長春·期中）如圖，點A在雙曲線上，過點A作軸，交雙曲線于點，點、都在軸上，連接、，若四邊形是平行四邊形，則的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由軸可知，A、B兩點縱坐標相等，且都設為b，根據點A在雙曲線，B在雙曲線上，求得，而的邊上高為b，根據平行四邊形的面積公式進行計算即可．【詳解】解：∵點A在雙曲線上，B在雙曲線上，且軸，∴A、B兩點縱坐標相等，且都設為b，則，，∴，故的邊上高為b，∴．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數的綜合運用，解決問題的關鍵是由平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等，根據平行四邊形的面積公式計算．題型四一次函數與反比例函數的應用16．（22·23下·寧波·期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象經過點，：與反比例函數的圖象交于點．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)一次函數的圖象與x軸交于B點，求的面積，并直接寫出x為何值時雙曲線位于直線上方；(3)設M是反比例函數圖象上一點，N是直線上一點，若以點O、M、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．【答案】(1)，(2)，(3)點N的坐標為，，【分析】（1）將點C代入直線中求出b，進而得出直線的解析式，然后求出點A的坐標，再代入反比例函數的表達式中，即可得出答案；（2）求出點B坐標，根據三角形的面積公式進行計算；然后結合函數圖象得出x的取值范圍；（3）設點，，分三種情況討論：①以和為對角線時，②以和為對角線時，③以和為對角線時，分別利用平行四邊形的對角線互相平分，建立方程求解，即可得出結論．【詳解】（1）解：∵點在直線上，∴，∴一次函數的表達式為；∵點在直線上，∴，∴，∵點在反比例函數的圖象上，∴，∴反比例函數的表達式為；（2）在中，令，解得，∴，又∵，∴，由函數圖象得：當時，雙曲線位于直線上方；（3）∵直線的表達式為，反比例函數的表達式為，設點，，若以點O、M、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形，則分情況討論：①以和為對角線時，可得：，，解得：，或（此時點M不在第一象限，舍去），∴；②以和為對角線時，可得：，，解得：或（此時點M不在第一象限，舍去），∴，③以和為對角線時，可得：，，∴或（此時點M不在第一象限，舍去），∴，綜上，滿足條件的點N的坐標為，，．【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的綜合，求一次函數和反比例函數的解析式，平行四邊形的性質，中點坐標的求法等知識，利用中點坐標公式建立方程組求解是解題的關鍵．17．（22·23下·煙臺·期末）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，臨床實驗中測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x（小時）之間的函數關系圖象由一條線段和一段曲線組成，如圖（當時，y與x成反比例）．則血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為（

）A．4小時 B．6小時 C．8小時 D．10小時【答案】B【分析】分別求出線段與曲線的函數解析式，再求出函數值為4時對應的自變量x的值，即可求得此時持續(xù)時間．【詳解】解：時，設線段的解析式為，由于線段過點，則有，解得：，即線段解析式為；當時，設，把點代入中，得，即，當時，，得；當時，，得；∴血液中藥物濃度不低于4微克/毫升的持續(xù)時間為（小時）；故選：B．【點睛】本題是正比例函數與反比例函數的綜合，考查了求函數解析式，已知函數值求自變量值，其中待定系數法求函數解析式是關鍵，注意數形結合．18．（22·23下·泉州·期中）為了做好校園疫情防控工作，校醫(yī)每天早上對全校辦公室和教室進行藥物熏蒸消毒消毒藥物在一間教室內空氣中的濃度（單位：）與時間（單位：）的函數關系如圖所示：校醫(yī)進行藥物熏蒸時與的函數關系式為，藥物熏蒸完成后與成反比例函數關系，兩個函數圖象的交點為．(1)求的值；(2)當時，求與的函數關系式；(3)當教室空氣中的藥物濃度不低于時，對殺滅病毒有效問：本次消毒中有效殺滅病毒的時間持續(xù)多長時間？【答案】(1)6(2)(3)8min【分析】（1）依據題意，將代入可以得解；（2）由（1）得坐標，再設反比例函數解析式，從而將代入反比例函數解析式可以得解；（3）依據題意，令，結合函數的性質可得有效時間．【詳解】（1）解：由題意，，即為，．（2）解：由（1）可得．設熏蒸完后函數的關系式為：，．熏蒸完后函數的關系式為：．（3）解：藥物濃度不低于，當時，，當時，，有效時長為，答：有效殺滅病毒的時間持續(xù)．【點睛】本題考查了反比例函數及正比例函數的應用，解題的關鍵是能夠從實際問題中抽象出反比例函數和正比例函數模型，難度不大．19．（21·22下·揚州·期末）如圖，已知點在正比例函數圖像上，過點作軸于點，四邊形是正方形，點在反比例函數圖像上．(1)若點的橫坐標為，求的值；(2)若設正方形的邊長為，試用含的代數式表示值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正比例函數的上得到點的坐標為，再根據正方形的性質及反比例函數的解析式即可解答；（2）根據正比例函數的解析式及正方形的性質得到的坐標為，再根據反比例函數的解析式得到．【詳解】（1）解：∵點在正比例函數圖象上，∴當時，，點的坐標為，∴，，的坐標為，∴點在反比例函數圖像上，∴，∴．（2）解：∵正方形的邊長為，∴，∴和的縱坐標為，∴的坐標為，，∴點的坐標為，∴代入反比例函數得，．【點睛】本題考查了反比例函數與正比例函數的上點的特征，正方形的性質，利用正方形的性質求各個點的坐標是解題的關鍵．20．（22·23下·樂山·期末）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度y（微克/毫升）與服藥時間x小時之間函數關系如圖所示．(1)根據圖象分別求出血液中藥物濃度上升和下降階段y與x之間的函數關系式；(2)問血液中藥物濃度不低于2微克/毫升的持續(xù)時間多少小時？【答案】(1)血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為，下降階段的函數關系式為．(2)15小時【分析】（1）設出解析式，利用待定系數法求解析式，并寫出自變量的取值范圍即可；（2）根據題意得出在兩個函數中的自變量的值，即可找出取值范圍．【詳解】（1）解：當時，設直線解析式為：，將代入得：，解得：，故直線解析式為：；當時，設反比例函數解析式為：，將代入得：，解得：a=32，故反比例函數解析式為：；所以血液中藥物濃度上升階段的函數關系式為，下降階段的函數關系式為．（2）解：如圖：由題意：，解得：；，，∴∴血液中藥物濃度不低于2微克/毫升的持續(xù)時間為15小時．【點睛】本題主要考查了反比例函數的應用、一次函數的應用等知識點，根據題意得出函數解析式是解題關鍵．五、題型五：反比例與一次函數圖像共存問題21．（23·24上·邢臺·階段練習）在同一平面直角坐標系xOy中，函數和的圖象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分和兩種情況分類討論即可確定正確的選項．【詳解】解：時，一次函數的圖象經過第一、二、四象限，反比例函數的兩個分支分別位于第二、四象限，無選項符合；時，一次函數的圖象經過第一、二、三象限，反比例函數的兩個分支分別位于第一、三象限，A選項符合．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數和正比例函數的性質，解題的關鍵是能夠分類討論，難度不大．22．（22·23下·新鄉(xiāng)·期中）在同一坐標系中，函數和的圖像大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分兩種情況討論：當時和當時，分析反比例函數所在象限和一次函數經過的象限，即可獲得答案．【詳解】解：當時，函數的圖像位于第一、三象限，經過第一、二、四象限；當時，函數的圖像經過第二、四象限，經過第一、二、三象限．綜上所述，選項A、B、C不符合題意，選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數圖像的識別，運用數形結合和分類討論的思想分析問題是解題關鍵．23．（22·23上·成都·期末）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于點,兩點，當時，則自變量的取值范圍是．【答案】或【分析】根據圖象中一次函數與反比例函數的分布即可求出取值范圍．【詳解】由圖像知，當或時，一次函數在反比例函數上方，即，故答案為：或【點睛】本題考查的是一次函數與反比例函數的圖象問題，解題的關鍵是不要被題目中的無關字母干擾．24．（22·23下·杭州·期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，，．請根據圖象寫出不等式的解集．【答案】和【分析】從函數圖象看，當和時，一次函數的圖象在反比例函數的圖象的上方，從而求解．【詳解】解：從函數圖象看，當和時，一次函數的圖象在反比例函數的圖象的上方，故不等式的解集為和．故答案為：和．【點睛】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，根據圖象所給條件應用反比例函數與一次函數的交點問題進行求解是解決本題的關鍵．25．（22·23下·紅橋·階段練習）已知一次函數（，為常數，）的圖象如圖所示，則正比例函數和反比例函數在同一坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據一次函數（，為常數，）的圖象判定，確定圖象分布，判斷即可．【詳解】解：根據一次函數（，為常數，）的圖象判定，∴的圖象分布在二四象限，反比例函數的圖象分布在二四象限，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數圖象分布，反比例函數圖象的分布，熟練掌握圖象分布與k，m的關系是解題的關鍵．26．（22·23下·呼倫貝爾·期中）如圖，已知、是一次函數的圖象和反比例函數的圖像上的兩個交點．(1)求反比例函數和一次函數的解析式；(2)求直線與y軸的交點C的坐標及的面積．【答案】(1)，；(2)6；【分析】（1）將點代入兩個解析式中求出待定系數即可得到答案；（2）求出直線與坐標軸的交點，根據求解即可得到答案．【詳解】（1）解：將將點、代入，點代入得，，，解得：，，∴，；（2）解：當時，，當時，，解得，∴，，∴；【點睛】本題考查一次函數與反比例函數結合題，解題的關鍵得到解析式，求出函數圖象與坐標軸的交點．題型六：反比例函數幾何綜合27．（23·24上·岳陽·期中）如圖，直線與雙曲線相交于、兩點，與y軸相交于點C．(1)直線與雙曲線的表達式(2)若點D與點C關于軸對稱，求的面積；(3)請根據圖像，直接寫出不等式的解．【答案】(1)，(2)3(3)或【分析】（1）由題意，將，坐標代入反比例函數解析式求得，的值，再將將，坐標代入一次函數與即可求出與的值，進而可得答案；（2）利用直線表達式求得點的坐標，由軸對稱求得點的坐標，可知軸，則，在根據即可求解；（3）由題意可知只需的圖象在的上方所對應的即為解集，根據圖象即可求得．【詳解】（1）解：把，代入，得：，解得：，；把，代入，得，解得：，；∴直線的表達式為，雙曲線的表達式為；（2）當時，，即，點的坐標為，∵點與點關于軸對稱，∴點的坐標為，又∵，∴軸，則，∴；（3）由題意可知要使得，只需的圖象在的上方，觀察圖象，可知，不等式的解集為或．【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求函數解析式，三角形的面積，不等式與函數的關系，數形結合是解決本題的關鍵．28．（21·22上·佛山·期末）如圖，在直角坐標系中，點和點是一次函數和反比例函數圖象的交點．(1)求一次函數、反比例函數的表達式和點的坐標．(2)不等式的解集為：______．(3)為線段上一點，且橫坐標為正，作軸與反比例函數交于點，當的面積最大時，求點的坐標．【答案】(1)一次函數表達式為：反比例函數表達式為y=，；(2)或(3)【分析】（1）由一次函數求得的坐標，然后根據待定系數法求得反比例函數的解析式，解析式聯立成方程組，解方程組求得的坐標；（2）根據圖象即可求得；（3）設則，根據題意表示出即可得到結論．【詳解】（1）解：把代入可得，，即，∴，解得，∴反比例函數表達式為，解，得或，∴；（2）解：由圖象可得，當>時，或；（3）解：如圖1所示，設，則，∴∴=()=2，∴當時，的面積最大，此時，的坐標為．故答案為：．【點睛】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求一次函數、反比例函數的解析式，函數圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及二次函數的性質，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵．，29．（21·22上·安慶·期末）如圖所示，已知，為反