考點02 一元二次方程的6大解法-原卷版

考點02一元二次方程的6大解法1，直接開平方法的方法如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=,x2=.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項；②使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。2，配方法的用法1、配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開；2、把常數項移到等號的右邊；3、方程兩邊都除以二次項系數；4、方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式；5、若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。3，公式法的用法一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。公式法解一元二次方程的具體步驟：方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值確定公式中a,b,c的值，注意符號；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數根。4，因式分解法的用法1.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特別說明：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結構特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數的代數式；（4）解一元二次方程時如果能用因式分解法進行解題，它是首選。5，換元法的用法1、解數學題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實質是轉化,關鍵是構造元和設元,理論依據是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個代數式幾次出現(xiàn),而用一個字母來代替它從而簡化問題,當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達到降次的目的.,6，十字相乘法的用法十字相乘法，形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程可變形為(x+a)(x+b)=0.例如x2+5x+6=0解：(x+2)(x+3)=0,解得x1=-2,x2=-3.用十字相乘法解一元二次方程X2x3步驟：①因式分解豎直寫；3x+2x=5x②交叉相乘驗中項；(x+2)(x+3)=0③橫向寫出兩因式。考點1直接開平方法考點2配方法考點3公式法考點4因式分解法考點5換元法考點6十字相乘法考點1直接開平方法1．（2023春·海南?？凇ぐ四昙壓煾街行？计谀┙夥匠?1)(2)2．（2023秋·全國·九年級專題練習）解方程：．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）解方程：(1)；(2)4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）解方程．考點2配方法5．（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習）用配方法解方程：．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）解方程：（配方法）．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）解方程：（配方法）．8．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）配方法解方程．考點3公式法9．（2021秋·廣東深圳·九年級深圳市高級中學校聯(lián)考開學考試）10．（2023春·廣西梧州·八年級統(tǒng)考期末）解方程：11．（2019秋·廣東中山·九年級校考開學考試）用公式法解一元二次方程：．12．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）用公式法解方程：．考點4因式分解法13．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）解方程：．14．（2022秋·湖南邵陽·九年級校聯(lián)考期中）解下列方程：(1)；(2)．15．（2023春·安徽亳州·八年級校考期中）解方程：(1)；(2)．16．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）解方程：．考點5換元法17．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知，求的值．18．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）閱讀下面的材料：解方程這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：設，則，∴原方程可化為，解得，，當時，，，當時，，．∴原方程有四個根是，，，．以上方法叫換元法，達到了降次的目的，體現(xiàn)了數學的轉化思想．運用上述方法解答下列問題：(1)解方程：；(2)已知實數，滿足，試求的值．19．（2023春·全國·八年級專題練習）解方程：(1)配方法：；(2)．20．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）提出問題為解方程，我們可以將視為一個整體，然后可設，則，于是原方程可轉化為，解此方程，得，．當時，，，∴；當時，，，∴．∴原方程的解為，，，．以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉化的思想．解決問題（1）運用上述換元法解方程．延伸拓展（2）已知實數m，n滿足，求的值．考點6十字相乘法21．（2023春