專題06 數(shù)軸上動點相距問題（解析版）

專題06數(shù)軸上動點相距問題類型一一個動點相距問題1．如圖，數(shù)軸上點A、B表示的點分別為-6和3.（1）若數(shù)軸上有一點P，它到A和點B的距離相等，則點P對應的數(shù)字是________（直接寫出答案）（2）在上問的情況下，動點Q從點P出發(fā)，以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左移動，是否存在某一個時刻，Q點與B點的距離等于

Q點與A點的距離的2倍？若存在，求出點Q運動的時間，若不存在，說明理由．【答案】（1）-1.5；（2）存在這樣的時刻，點Q運動的時間為0.5秒或4.5秒．【解析】【分析】（1）根據(jù)同一數(shù)軸上兩點的距離公式可得結論；（2）分兩種情況：當點Q在A的左側或在A的右側時，根據(jù)Q點與B點的距離等于Q點與A點的距離的2倍可得結論；【詳解】解：（1）數(shù)軸上點A表示的數(shù)為-6；點B表示的數(shù)為3；∴AB=9；∵P到A和點B的距離相等，∴點P對應的數(shù)字為-1.5.（2）由題意得：設Q點運動得時間為t，則QB=4.5+3t，QA=分兩種情況：①點Q在A的左邊時，4.5+3t=2，t=0.5，②點Q在A的右邊時，4.5+3t=2，t=4.5，綜上，存在這樣的時刻，點Q運動的時間為0.5秒或4.5秒．【點睛】本題考查了數(shù)軸、一元一次方程的應用，用到的知識點是數(shù)軸上兩點之間的距離，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意分情況進行討論．2．如圖，數(shù)軸上的點O和A分別表示0和10，點P是線段OA上一動點，沿O→A→O以每秒2個單位的速度往返運動1次，B是線段OA的中點，設點P運動時間為t秒（0≤t≤10）．（1）線段BA的長度為；（2）當t＝3時，點P所表示的數(shù)是；（3）求動點P所表示的數(shù)（用含t的代數(shù)式表示）；（4）在運動過程中，當PB＝2時，求運動時間t．【答案】（1）5；（2）6；（3）當0≤t≤5時，動點P所表示的數(shù)是2t，當5＜t≤10時，動點P所表示的數(shù)是20﹣2t；（4）1.5或3.5或6.5或8.5．【解析】【分析】（1）根據(jù)B是線段OA的中點，即可得到結論；（2）根據(jù)已知條件即可得到結論；（3）分兩種情況討論：①當0≤t≤5時，②當5＜t≤10時，即可得到結論；（4）分兩種情況討論：①當0≤t≤5時，②當5＜t≤10時，根據(jù)線段的和差即可得到結論．【詳解】（1）∵B是線段OA的中點，∴BAOA=5．故答案為5；（2）當t=3時，點P所表示的數(shù)是2×3=6．故答案為6；（3）分兩種情況討論：①當0≤t≤5時，動點P所表示的數(shù)是2t；②當5＜t≤10時，動點P所表示的數(shù)是20﹣2t；（4）①當0≤t≤5時，動點P所表示的數(shù)是2t．∵PB=2，∴|2t﹣5|=2，∴2t﹣5=2，或2t﹣5=﹣2，解得：t=3.5，或t=1.5；②當5＜t≤10時，動點P所表示的數(shù)是20﹣2t．∵PB=2，∴|20﹣2t﹣5|=2，∴20﹣2t﹣5=2，或20﹣2t﹣5=﹣2，解得：t=6.5，或t=8.5．綜上所述：所求t的值為1.5或3.5或6.5或8.5．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸上點的位置關系，根據(jù)P點位置的不同得出等式方程求出是解題的關鍵．3．如圖，已知點A距離數(shù)軸原點2個單位長度，且位于原點左側，將點A先向右平移10個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到點B，點P是數(shù)軸上的一個動點．（1）在數(shù)軸上標出A、B的位置，并求出A、B之間的距離；（2）當點P在數(shù)軸上移動，滿足時，求P點表示的數(shù)；（3）動點P從數(shù)軸上某一點出發(fā)，第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度，……①若在原點處，按以上規(guī)律移動，則點P第n次移動后表示的數(shù)為__________；②若按以上規(guī)律移動了次時，點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)恰是，則動點P的初始位置K點所表示的數(shù)是___________．【答案】（1）數(shù)軸見解析，A、B之間的距離為6；（2）2或10；（3）①（-1）n?n；②4【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸的定義得到點A和點B表示的數(shù)，從而得到A、B之間的距離；（2）設點P表示的數(shù)為x，表示出PA和PB，令PA=2PB，得到方程，解之即可；（3）①根據(jù)點P前幾次表示的數(shù)找出規(guī)律即可得出結論；②設動點P的初始位置K點所表示的數(shù)是m，根據(jù)①中所得規(guī)律，列出方程即可求出m值．【詳解】解：（1）∵點A距離數(shù)軸原點2個單位長度，且位于原點左側，∴點A表示的數(shù)為-2，將點A先向右平移10個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到點B，∴點B表示的數(shù)為：-2+10-4=4，數(shù)軸如下：A、B之間的距離為：4-（-2）=6；（2）設點P表示的數(shù)為x，∴PA=，PB=，∵PA=2PB，∴，若點P在點A左側，，解得：x=10，不符合；若點P在A、B之間，，解得：x=2；若點P在點B右側，，解得：x=10，綜上：點P表示的數(shù)為2或10；（3）①∵在原點處，第一次移動后點P表示的數(shù)為0-1=-1，第二次移動后點P表示的數(shù)為0-1+3=2，第三次移動后點P表示的數(shù)為0-1+3-5=-3，第四次移動后點P表示的數(shù)為0-1+3-5+7=4，...∴第n次移動后點P表示的數(shù)為：（-1）n?n；②設動點P的初始位置K點所表示的數(shù)是m，由①可得：第n次移動后點P表示的數(shù)為：m+（-1）n?n，∵移動了2n+1次時，點P在數(shù)軸上所表示的數(shù)恰是3-2n，∴m+（-1）2n+1?（2n+1）=3-2n，即m-（2n+1）=3-2n，解得：m=4，即點P的初始位置K點所表示的數(shù)是4．【點睛】本題考查了數(shù)軸，兩點之間的距離，數(shù)字型規(guī)律，一元一次方程，解題的關鍵是注意分類討論和數(shù)形結合思想的運用，同時要善于總結規(guī)律．4．已知A，B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別用a、b表示，且，P是數(shù)軸上的一個動點．（1）在數(shù)軸上標出A，B的位置，并求出A，B兩點之間的距離．（2）若PB表示點P與點B之間的距離，PA表示點P與點A之間的距離，當P點滿足時，直接寫出點P對應的數(shù)．（3）動點P從點B開始第一次向左移動1個單位長度，第二次向右移動3個單位長度，第三次向左移動5個單位長度，第四次向右移動7個單位長度，依此類推…①在這個移動過程中，點P和與A能重合嗎？若能，請?zhí)剿魇堑趲状我苿訒r重合，并寫出算式說明；若不能，請說明理由．②寫出點P移動第n（n是自然數(shù)）次后所對應的數(shù)．【答案】（1）數(shù)軸表示見解析，A，B兩點之間的距離為12；（2）P對應的數(shù)是4或20；（3）①點P第12次移動后，能夠與點A重合；說明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性確定a，b的值，得到點A，B表示的數(shù)，進而求出AB之間的距離；（2）設點P表示的數(shù)為x，若，可分兩種情況，①當點P在點A與點B之間時，二是點P在點A的右側，表達出PB和PA，列出方程即可解答；（3）①分別計算出點P前幾次運動后表示的數(shù)，找出規(guī)律，即可得出點P可以與點A重合；②由①的計算過程即可得出關于n的代數(shù)式表示點P表示的數(shù)．【詳解】解：（1）∵，∴，∴a=8，b=-4，∴A，B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為8，-4，數(shù)軸表示如下圖所示：A，B兩點之間的距離為8-（-4）=12（2）若，設點P表示的數(shù)為x，則①當點P在點A與點B之間時，PA=8-x，PB=x-(-4)∴x-(-4)=2(8-x)解得:x=4，∴點P表示的數(shù)為4；②當點P在點A的右側時，PA=x-8，PB=x-(-4)，x-(-4)=2(x-8)解得：x=20綜上所述，P對應的數(shù)是4或20；（3）①點P第一次移動后表示的數(shù)是：-4-1=-5；點P第二次移動后表示的數(shù)是：-5+3=-4+2=-2；點P第三次移動后表示的數(shù)是：-2-5=-4-3=-7，點P第四次移動后表示的數(shù)是：-7+7=-4+4=0，……∵-4+12=8，∴點P第12次移動后，能夠與點A重合；②由①可知，點P第n次移動后表示的數(shù)是：．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，涉及了絕對值的非負性以及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟知數(shù)軸上各點與全體實數(shù)一一對應及數(shù)軸上兩點之間的距離是解題的關鍵．類型二兩個動點相距問題5．如圖，數(shù)軸上點對應的有理數(shù)為12，點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，點以每秒2個單位長度的速度從原點出發(fā)，且、兩點同時向數(shù)軸正方向運動．設運動時間為秒．（1）當時，、兩點對應的有理數(shù)分別為__________，___________，點與點的距離為__________個單位長度；（2）當點在點的左側且點與點的距離為8個單位長度時，求的值．【答案】（1）14，4，10；（2）t=20【解析】【分析】（1）根據(jù)點P、Q的運動方向、速度和時間，即可得出當t＝2時，P、Q兩點對應的有理數(shù)，二者做差即可求出線段PQ的長度；（2）根據(jù)PQ＝8，結合運動時間為t時P、Q兩點對應的有理數(shù)，即可列出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：（１）∵2×2=4，12+2×1=14∴當t=2時，P、Q兩點對應的有理數(shù)分別是14、4∴PQ=14-4=10故答案為：14，4，10．（2）當運動秒時，、兩點對應的有理數(shù)分別為，因為點與點的距離為8個單位長度，且點在點的左側，所以，解得．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，數(shù)軸，代數(shù)式等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．6．在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有點A，B，C，其中點A到點B的距離為4，點B到點C的距離為8，如圖所示．（1）若以點B為原點，則點C所表示的數(shù)是，若以點C為原點，則點A所表示的數(shù)是；（2）若原點O在點C的左側，且點C到原點O的距離為4，設點A，B，C所對應的數(shù)的和是m，求m的值；（3）動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向終點C移動，動點Q同時從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向終點C移動幾秒后，P，Q兩點間的距離為2？【答案】（1），；（2）；（3）秒或秒時，兩點間的距離為2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意以及數(shù)軸的性質，求解即可；（2）根據(jù)題意，可以寫出點表示的數(shù)，然后將它們相加即可得到m的值；（3）根據(jù)題意分三種情況，然后分別列出相應的方程，再求解即可．【詳解】解：（1）由題意可得，以點B為原點，則點C所表示的數(shù)是，若以點C為原點，則點A所表示的數(shù)是；故答案為，（2）若原點O在點C的左側，且點C到原點O的距離為4，則點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為則；故答案為（3）當點和點相遇之前，設秒后，兩點間的距離為2，則，解得；當點和點相遇之后且點未到終點時，設秒后，兩點間的距離為2，則，解得；當點到達終點且點未到終點時，設秒后，兩點間的距離為2，則，解得；由上可得，秒或秒時，兩點間的距離為2．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、數(shù)軸上兩點之間的距離以及動點問題，解題的關鍵是明確題意，找到等量關系，列出相應的方程，利用分類討論的方法求解．7．如圖，已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，點B是數(shù)軸上在點A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10，動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動．(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是______；(2)運動1秒時，點P表示的數(shù)是______；(3)動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P，Q同時出發(fā)，請完成填空：①當點P運動______秒時，點P與點Q相遇；②當點P運動______秒時，點P與點Q的距離為8個單位長度．【答案】(1)(2)0(3)①5；②1或9【解析】【分析】（1）點向左移動時，用點表示的數(shù)減去移動的距離，即可得到移動后點表示的數(shù)，利用點移動規(guī)律解答；（2）用6減去點P移動的距離即可得到點P表示的數(shù)；（3）①設點P運動t秒時，列方程6-6t=-4-4t，求解即可；②設點P運動x秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度，根據(jù)當Q在P點左邊時，當P在Q的左邊時，分別列方程求解．(1)解：點B表示的數(shù)為6-10=-4，故答案為：-4；(2)解：點P表示的數(shù)為，故答案為：0；(3)解：①設點P運動t秒時，由題意得：6-6t=-4-4t，解得：t=5，∴當點P運動5秒時，點P與點Q相遇，故答案為：5；②設點P運動x秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度，由題意得：當Q在P點左邊時，4x+10-6x=8，解得：x=1，當P在Q的左邊時，6x-（4x+10）=8，解得：x=9．故答案為：1或9．【點睛】此題考查數(shù)軸上兩點之間的距離，數(shù)軸上動點問題，動點與一元一次方程，正確理解點的運動及表示點運動前后的數(shù)是解題的關鍵．8．如圖，數(shù)軸上點對應的數(shù)為16，點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，點以每秒3個單位長度的速度從原點出發(fā)，且，兩點同時向數(shù)軸正方向運動．設運動時間為秒．（1）填空：當時，，兩點對應的數(shù)分別為__________，___________，的長為__________．（2）當時，求的值．【答案】（1）18，6，12；（2）3.5或12.5．【解析】【分析】（1）當時，利用路程=速度時間，分別解得，兩點的運動路程，再結合數(shù)與數(shù)軸的對應關系解題；（2）當運動秒時，兩點對應的數(shù)分別為，，分類討論：①當點在點的右側時或②當點在點的左側時，分別計算，結合一元一次方程知識解題即可．【詳解】解：（1）當時，兩點對應的數(shù)分別是18，6，．故答案為：18，6，12；（2）當運動秒時，兩點對應的數(shù)分別為，，①當點在點的右側時，因為，所以，解得；②當點在點的左側時，因為，所以，解得，綜上所述，當時，的值為3.5或12.5.【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題，涉及一元一次方程的應用等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．9．如圖，在數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為10和16．點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，同時點Q從原點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設運動時間為ts．(1)當0＜t＜5時，用含t的式子填空：BP＝_____，AQ＝_____；(2)當t＝8時，求PQ的長；(3)當PQ＝AB時，求t的值．【答案】(1)6﹣t，10﹣2t(2)PQ=2(3)t=13或7【解析】【分析】（1）先求出當0＜t＜5時，P點對應的有理數(shù)為10+t＜15，Q點對應的有理數(shù)為2t＜10，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出BP，AQ的長；（2）先求出當t=8時，P點對應的有理數(shù)為10+8=18，Q點對應的有理數(shù)為2×8=16，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出PQ的長；（3）由于t秒時，P點對應的有理數(shù)為10+t，Q點對應的有理數(shù)為2t，根據(jù)兩點間的距離公式得出PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，根據(jù)PQ=12AB列出方程，解方程即可．(1)∵當0＜t＜5時，P點對應的有理數(shù)為10+t＜15，Q點對應的有理數(shù)為2t＜10，∴BP=16﹣（10+t）=6﹣t，AQ=10﹣2t．故答案為6﹣t，10﹣2t；(2)當t=8時，P點對應的有理數(shù)為10+8=18，Q點對應的有理數(shù)為2×8=16，所以PQ=18﹣16=2；(3)∵t秒時，P點對應的有理數(shù)為10+t，Q點對應的有理數(shù)為2t，∴PQ=|2t﹣（10+t）|=|t﹣10|，∵PQ=AB，∴|t﹣10|=3，解得t=13或7．【點睛】此題考查了一元一次方程的應用和數(shù)軸，解題的關鍵是掌握點的移動與點所表示的數(shù)之間的關系，（3）中解方程時要注意分兩種情況進行討論．10．如圖，數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為6和10．點P從原點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，同時點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動．設運動時間為t秒．（1）線段AB的長度是_______，點Q對應的數(shù)是_______；（2）當點P、Q重合時，求t的值；（3）當時，求t的值．【答案】（1）4，6+t；（2）t=3；（3）當時，t的值為秒或秒．【解析】【分析】（1）根據(jù)A、B兩點表示的數(shù)，求出AB的長即可，然后根據(jù)Q的運動情況，得到Q表示的數(shù)即可；（2）分別表示出P、Q兩點運動的距離，然后根據(jù)它們相遇時，P多走的距離為OA的長即可求解；（3）分P追上Q之前和之后兩種情況討論求解即可.【詳解】解：（1）數(shù)軸上A、B兩點對應的數(shù)分別為6和10∴AB=10-6=4∵Q從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度沿數(shù)軸正方向運動∴運動的距離=t∴Q表示的數(shù)為：6+t；（2）∵PQ兩點重合∴P多走的距離為OA的長∴3t-t=6解得t=3（3）當P追上Q之前，∵，，∴解得當當P追上Q之后∵，，∴解得或（舍去）綜上：當時，t的值為或【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上點的運動問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.11．如圖，在數(shù)軸上點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，動點從點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿負方向運動，動點從原點出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿負方向運動，動點從點出發(fā)以每秒個單位的速度先沿正方向運動，到達原點后立即按原速反方向運動，三點同時出發(fā)，出發(fā)時間為（秒）．（1）點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為：____________，____________；（2）當兩點重合時，求此時點在數(shù)軸上所表示的數(shù)；【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)路程=速度×時間即可求解；（2）根據(jù)題意求出Q、N相遇的時間，再把t的值代入P即可解答；【詳解】解（1）三個動點運動t（0＜t＜5）秒時，則P、Q兩點在數(shù)軸上所表示的兩個數(shù)分別為.（2）時，點所表示的數(shù)為；時，點做表示的數(shù)為.解得：，當時，；當時，.此時點在數(shù)軸上所表示的數(shù)為或.【點睛】此題考查一元一次方程的應用，數(shù)軸，兩點間的距離．正確進行分類討論是解題的關鍵．12．如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數(shù)是﹣2．已知點A，B是數(shù)軸上的點，請參照圖并思考，完成下列各題：（1）如果點A表示數(shù)﹣5，將點A向右移動6個單位長度，那么終點B表示的數(shù)是，A、B兩點間的距離是；（2）如果點A表示數(shù)a，將A點向左移動10個單位長度，再向右移動70個單位長度，終點B表示的數(shù)是50，那么a＝，到A、B兩點距離相等的點表示的數(shù)為；（3）在（2）的條件下，若電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度運動，請問：當它們運動多少時間時，兩只螞蟻間的距離為10個單位長度？【答案】（1）1，6；（2）-10，20；（3）25秒或35秒或5秒或7秒【解析】【分析】（1）根據(jù)“左減右加”的規(guī)律即可求出點B表示的數(shù)，利用“大數(shù)減小數(shù)”即可求出兩數(shù)間的距離；（2）根據(jù)“左減右加”的規(guī)律a-10+70=50，即可求出a的值，到A、B兩點距離相等的點為A、B兩點中間的點，利用規(guī)律“兩數(shù)相加除以2”即可求出；（3）設當運動x秒時間時，兩只螞蟻間的距離為10個單位長度，分析電子螞蟻Q的運動方向：向左運動時兩只螞蟻的位置分別為-10-4t和50-6t；向右運動時兩只螞蟻的位置分別為-10+4t和50-6t，再利用“大數(shù)減小數(shù)”求出兩數(shù)間的距離為10即可；【詳解】（1）終點B表示的數(shù)是-5+6=1，A、B兩點間的距離是1-（-5）=6；（2）依題意有a-10+70=50，解得a=-10；

A、B兩點中間的點表示的數(shù)為（-10+50）÷2=20；（3）設當它們運動x秒時間時，兩只螞蟻間的距離為10個單位長度，電子螞蟻Q向左運動，依題意有（-10-4t）-（50-6t）=10，解得t=35；或（50-6t）-（-10-4t）=10，解得t=25；電子螞蟻Q向右運動，依題意有（-10+4t）-（50-6t）=10，解得t=7；或（50-6t）-（-10+4t）=10，解得t=5．故當它們運動25秒或35秒或5秒或7秒時間時，兩只螞蟻間的距離為10個單位長度25秒或35秒或5秒或7秒【點睛】本題考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離以及一元一次方程的應用，能正確的用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)是解題的關鍵．類型三三個動點相距問題13．已知數(shù)軸上兩點A，B對應的數(shù)分別是，4，P、M、N為數(shù)軸上的三個動點，點M從B點出發(fā)速度為每秒2個單位，點N從A點出發(fā)速度為M點的2倍，點P從原點出發(fā)速度為每秒1個單位．(1)線段之間的距離為________個單位長度．(2)若點M向左運動，同時點N向右運動，求多長時間點M與點N相遇？(3)若點M、N、P同時都向右運動，求多長時間點P到點M，N的距離相等？【答案】(1)14(2)秒(3)7秒或1.5秒【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式求出答案；（2）設運動時間為t秒時，點M與點N相遇，列方程解答；（3）點M、N、P運動的時間為y秒時，根據(jù)點P到點M、N的距離相等，分兩種情況列方程求解．(1)解：AB=4-(-10)=14，故答案為：14；(2)解：設運動時間為t秒時，點M與點N相遇．2t+22t＝146t＝14t＝；當運動時間為秒時，點M與點N相遇．(3)解：點M、N、P運動的時間為y秒時，點P到點M、N的距離相等，①（2y+4）－y＝4y－10－yy＝7②2y+4－y＝y(tǒng)－(4y－10)y＝1.5∴當點M、N、P運動時間為7S或1.5S時，點P到點M，N的距離相等．【點睛】此題考查了有理