2022年考研數(shù)學(xué)一真題解析

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2,3.4051

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8<=>%?@A50B

(1)已知f(X)滿足lim一—L則()

x?1Inx

(A)f(1)=0.(B)limf(x)=0

X

(C)f或1)=1.limfCG0=l

(D)x?i

【答案】(B).

【解析】

limf(x)=limXhxJ=0,㈤正確，但一"磔性未知，故'W未知，其他

x?iglnxu'，三項

均錯

⑵已知z=xyf(』)f(u)-AWyFW,則(

X,且lxUy

(A)f(1)-1,f0(D=0.

(B)f(1)=0,f0(D~L.

2

(C)fw=i.

2

(D)f(D=Qf0(l)=1.

【答案】(B).

“

也

6Ao6、

,,、紀(jì)yyu

A+=seyo.工戶yoayouu-

X?—+y《

設(shè)c4-xyf電一>J?，+e9-

eyf?--Strexfe-+,

exoexoeX0UxoxyfexoxQ

把yo21yRr.?yoy〔y\11

=2xyfc--byIn—Dfr一^二一In—Pf(u)=—ulna

exoxexo2xx2

\f(D=Qf4D=旌lnu+駕=1選⑻.

e22^=1，心一

(3)設(shè)有數(shù)列｛xJ,其中/滿足A?,則()

1

(A)若li卬cos(sinxn)存在,則limx存在.

n?￥n?*n

(B)若limsinfcos^)存在,則limxn存在

n?￥

(C)若limcoslsinxj存在,貝ijq?sin%存在,但limx

n?￥n?￥n,不一定存在.

(D)若limsinSosxJ存在,貝ijlimcosxnlimx

n?￥n?￥n存在，但

【答案】(D).n不一定存在

/\JI

【解析】取X=(-1尸_,則(A)、B)、C均錯,且(D)的"limx不一定存在”是

n2.￥n

(D)的“l(fā)imcos%存在的原因?當(dāng)兀而VLUQA±

正確的；Xn5時，n而sinx

n?￥f2

在［Q1］上單調(diào)，故Jimcos人存在.

JTJX.111n(l+x)dx132x

(4)已知II=07^-------7dx,3,則()

V2(1+cosx)2V1+COSXQ，ol+sinx

(A)I,<I2<I.

3

(B)U<Ii<I3.

(C)It<13<12.

(D)

1

【答案】(A).

Vw、11xT、A

【解析】令f(X)=--ln(l+x),應(yīng)抵一“r/r當(dāng)

2時,

f或X)<0,所以f(X)在口1］上單調(diào)遞減，當(dāng)0<X<1時f(x)<f(0)0所以

1<ln(l+x),/I<1；又°x1時,

22(1+COSX)1+COSX12

ln(l+x)X/Xx2x

----x—

1+COSX1+COSX111.1+sinx,故L<1

212SmX3,選(A)-

(5)下列4個條件中，3階矩陣A可以相似對角化的一個充分但不必要條件為()

(A)A有3個不相等的特征值.

(B)A有3個線性無關(guān)的特征向量.

2

(C)A有3個兩兩線性無關(guān)的特征向量.

(D)A的屬于不同特征值的特征向量相互正交?

【答案】(A).

【解析】

選項(A):A有3個互不相同?寺征值，則A可對角化，但是A可相似對角化，A的特征

值可能有重根，正確；

選項(B):A有3個線性無關(guān)的特征向量是A可對角化的充要條件；

選項(C)：3個特征向量兩兩線性無關(guān)，不能保證整體線性無關(guān)，故不能推出A可對角化；

選項(D)：實對稱矩陣不同特征值的特征向量正交，可對角化的矩陣不一定是實對稱矩陣.

(6)設(shè)A,B均為n階矩陣，若方程組Ax=0與Bx=0同解，貝IJ()

岔A06y—vj..

⑷方程駕EB/只有零解

Ady-

力在組BL只有零解

9y

eOABo

seAB6wV—u與e＜B?mA6v—同1?解

⑹方程組X。

B0eOA0

力在組也ABB62史BAAoy-v

9八9二°。AR-同解

e0Aoe0B

0

【答案】(O.

【解析】

A:

也o

抽訴聯(lián)實矩陣C-?

pq與同解，則K?即行向量組

,Ax=0Bx=0eB0A,B

等價.

史ABojeA06用BAdjeB0d

1

W由q-徐士，?彳r七

e0B0-'eOBoeOA0n，為0Ao

-B-o史A。。丫一uKBM二噂L同解

m=09-H同解，9

eOB。eOBoeO

:

K。

令

2e…

y=gy

e、yi,y

20均為n維向量,

2

“*AoBo

o%把

oo11O0iBy「0

則=1，^Fy2=

B0B

9《2eOA

e01oz1Ay2=0

改曲ABo0"BAo.y-u

由Ay】=0,By=0同解，Ay2=QBy2=0通解,q同

eOB0eO\0

3

解.故選(C).

1“d:I:

把

1把

。

o。X

,ce

SI.n*9?

9-c1rl-

⑺=1:=?-a=p-1:=x:

9:c?3ac-a,a,a

*c:4>?

9-c±c

11.eI「T

?

?*若向量組與

1e0I0>-0

eI2123

丁

e、0

aa1

等

則

價

可取

J11

VA—

⑼1

1心f1

【答案】(0.

【解析】

記A二(dpa2,a3)zB—(a］，a2,a)

)

?。廴?］Lf—，l―」,少?

肖1］f奇，IA、o,IB70,即r(A)=r(B)=3,則a,p,2a3與，1a，尹4均為

的基，故等價；

當(dāng)1=T時，37―1譚：aja3與a「a7a4不等價;

，蟲，(

當(dāng)1=-2時，/a?a?與a〕，a9,a4不等價；

,，由，，

當(dāng)1=1時，a],a3,a「a?a4等價；故選(C).

(8)設(shè)隨機變量X!U(0.3),隨機變量Y服從參數(shù)為血泊松分布，且X與丫辦方差為

-1,則D(2X-Y+1)=()

(A)1.(B)5.(C)9.(D)

【答案】(C).?

［解析】D(2X-Y+1)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)

由X!U(Q3),一一/衛(wèi)二J

—124

即以B⑵X科￥))三2JD(X)+D(Y)-4COV(X,Y)=9,選⑹.

(9)設(shè)隨機變量XpX》X,X4

“獨立同分布異的階矩存在設(shè)

uk=E(Xt),k=l,2,3,4,則由切比雪夫不等由對于任意的e>0,有

陰1-1/2

(B)

p2-1/1|j2-|/1

(C)(D)

ne2

【答案】(A).

1n*=

、-10A7、

1顯然口”導(dǎo)-2；則PS

【解析】記-ai=YXA"e

ni=i2

又

Dg*嘻產(chǎn)長DX)、EX)一E,)]*…;)

M

1nQ為

14-

oX2y選A

-ie

所以p;ab

n2x

i1=1

(10)設(shè)隨機變量X!N(Q1),在X=x條件下隨機變量Y!N(x,l),貝IJX與Y的相關(guān)系數(shù)

為()

(A)/(B)_1

4-2'

(0(D)

OZ

【答案】(D).

X2

【解析】由題意f(x)=」=e"-￥<x<+￥

V2p

,1

且f\|X(y|x)=e<y<+￥,

所以f(x,y)=q(x)§x(y|x)=je

^,-￥<x,y<+￥

(y.x)z

1YO1

又E(XY)QQxyf(x,y)dxdy=Qx]—eJxI—e2dy

V2p￥而

5

+￥,1--

—、X'.—e2dx=1

-Q而

又因為

]y2T2x2-2xy1y2

fY(y)=Qf(x,y)dx=Q'y-e—之一dx=:e工白、e《cy)dx

1yzzy1

I+￥-(X——)？]------

—e4Ae2dx=—=e4,-￥<y<+￥

2pY2五

彭工D（Y）二2

Cov(X,Y)_E(XY)-E(X)E(Y)_1-0_亞選(D).

JD(X)JD(Y)JD(X)JD(Y)&

3+￥-+/oB

*%，?-

二G)

2點t1

X2y2o1

在-

的最大方向?qū)?shù)

答幕

在某一點處的最大方向?qū)?shù)是其梯度的模.

【解析】@1)=21-V

,(Q1)

4y|=4,所以最大的方向?qū)?shù)JU,注F4.

l(QD

（12）6登x=.

【答案】4.

51nx

【解析】?及1x

3*2t出

=4qlntdt

=4(tlnt-t)I；'

=4

(13)當(dāng)X0,y0時，x4y2kex+丫恒成立則k的取值范圍是

6

【答案】14e-2,+￥).

【解析】原不等式即k(x2y2)e-,x+y),x0,y0,

令f(x,y)=(x"+y/)erx+y),x0,y0,

當(dāng)<-U'J.時，直接求駐點

f^=(2x-x2-y2)e-<A+^,0f(2y-x2-y2)e-(X+y,=0,

解得cJL且八

2C—2

當(dāng)x=0時，f(0,y)=y2e-y=

g(y)=2yey-y2ey=0,y=0^2,

且g(0)=0,g(2)=4e=

當(dāng)￥一￥寸，同理解得f(0,0)=0,f(2,0)=4eN

比較可得三:「"的最大值為'I

4e-2

于是k4eW

(14)已知級數(shù)加工■e-nx的收斂域為(a,'"則a=.

n=l加

【答案】"I.

o￥-nI.on!?

【解析】令t二e"a—enx=a-t.

n=inn=l行

(n+1)!

..(n+1嚴(yán)..nn11

lim------；lim---------=lvim-----------=-

n?￥n!n?￥(n+1/1n?￥]de

Fgn0

￥?

于是卷一tn的收斂區(qū)間為-e〈t<e

n=1nn，

那么-e〈e-x〈e,解得A>L于是③一\

(15)已知矩陣A和E-A可逆其中E為單位矩陣，若矩陣B滿足

(E-(E-A)T)B=A,則B-A=,

7

【答案］-E.

N-xx/_

【解析】由(E-(E-A)T)B=AD

A-E)B二A

i>-=-2P-B=E-APB-A=-E.

ABAA

(16)設(shè)AB,C隨機事件，且A與B互不相容，A與C互不相容，B與C相互獨立若

P(A)=P(B)=P(C)=1,則P?!CA！B!C§_______

3

【答案】

8

【解析】因為B與C相互獨立，有=1.

339

又因A與B互不相容，A與C互不相容，有

P(AB)=P(AC)=P(ABC)=0.

P(B'C|A*B-C)=P[(B!C)”(A!B!C)]一P(B!C)

P(A!B!C)P(A!B!C)

P(B)+P(C)-P(BC)

-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

339.5

1+1+1-0-1-0+0》

3339

H，zIJ%&，K(LL*%+/K).0IJMN40PQR//SRTUVWXYZ0B

(17)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)y(x)是微分方程y^T-J^y=2+J7的滿足y(0的解,求曲線y盧x()的

2Jx

漸近線

【答案】斜漸近線y=2x.

【解析】y=e°^”6gH^3N'dx+C*=2x+CeM.

eu

eu

將yQ)烏代人可得c=e,即y=2X~p4-xx>

由函數(shù)解析式可知，曲線沒有垂甑近線；

又由于limy(x)=(。)=+￥

x?+￥、/\，

曲線沒有水平漸近2勰2x+e

必.Mm

又k二lim

x?+￥Xx?+￥X

8

b=€()-0=lim(2x+e'2x)=0,

limyxkxx?+￥

故曲線有解漸近線y=2x.

(18)(本題滿分12分)

1_、、(x-y)2?“4-

已知平面區(qū)域D={(x,y)y-2xy?,計算

,0y22

［答案］乙.廠1,

【解析】將積分區(qū)域D分為兩部分D=D]H)2,其中：

2

D,={(x,y)|yx+2,-2x0,()y2}.D2={(x,y)p+y4,x0,y0},

&V+”dxdy+§dxdy=I)+I.

故i=62

D,

其中：

2

qj，2dr2

L=3dqQinq-c°sqrx(osq-sin=J-q)2,

qcn下E7dq="

2

itnn

l2=]dqjx(q-siMH=2子(cosq-siM?dq=2j1sin2dn2一

rcos(-q)q=-

故：In2n2nl.

——+=(一)

(19)(本贏滿分12為

L是曲面S:4x4y￡zR1,"u，JJ"L

U的邊界，曲面方向朝上，已知曲線的方

向和曲面的方向符合右手法則，求I=yzo(2-cosz)dx+2xz2dy+(2xyz+xsinz)dz

L

【答案】0.

【解析】由斯托克斯公式可得：

dydzdzdxdxdy

［—-、Y中中6^^xzdydz+z2

?°衩豆而

sdxdy

yz2-cosz2xzr2xyz+xsinz

令S「4xZ+yZIxQyO指向軸負(fù)向，

z

S2：4xZ+zZIxQz0,指向y軸負(fù)向，

S3：y+z巧)'，指向x軸負(fù)向，

貝IJI=(2xzdydz+z^dxdy)-OO(-2xzdydz+

s+s,+?>s、s

z41x3dy),

9

-臺決xzdydz+z2dxdy\-^^xzdydz+z2

s2s3dxdy

=OO^Z-2z)dxdydz-0-0-0=0.

w

(20)(本題滿分12分)

設(shè)f(x)在(-￥,+￥)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：f依x)0的充要條件為對不同實數(shù)a,b

f畔)1b

fxdx

CJ^TQ()-

【證明】f(x)=fa—^.)+10^(x)(x-3—2歲X

2+0222/32,‘介于

a+b、「

-N■間，

a+bu、

a+b、1f\d

7!2d

3f(x)dx=4f(等f(等)(x一2+24a%2u

ae+C

必要性：若解(x)0,則底出了，有°」(?改f?士〃.

(b-a)2

充分性:若存在%使得C0〈，因為有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，故存在使得f般(x)

f(X)0

[-d,xC聯(lián)」內(nèi)恒小于零記a=Xo-d,b=x+d

在xO

a+bb6100

b\也+vf.a+b、u.

此時°f(x)dx=71-o<-lx

2e2

aNU

<f(_)(b-a),矛盾！故f(x)0.

2#

綜上，充分性必要性均得證.

(21)(本題滿分12分)

33

已知二次型f?,養(yǎng)，務(wù))=苴苴ij小x「

i=lj=l'

(1)寫出f(埠與，七)對應(yīng)的矩陣；

(2)求正交變換X=Qy,將f(冷孫X)化為標(biāo)準(zhǔn)形；

10

（3）求f（x1,%七）二0的解

eel23o_

【答案】(1)^246：

€369。,

x231d

「羽而wi

91624-

（2）令正交矩陣y而l利用正交變換x=Qy,化為標(biāo)準(zhǔn)形

^0

53』

0_?

770

f=14y；;

ae-26ae-3d

(3)A~C^1號95-6：(c,c為任意常數(shù))

￡2*212

Vn?VR?

eu0e00

33

【解析】(i)f(x^x^x^=aaijxx、

i=lj=li

xi+2x]4+3^X3+2X2X[+4<+6X2X,+3%%+6X34+9x；

=xl+4x2+9x3+4X]X2+6X,X,+12x2x.

1

把

r223o臺％o.

r46條t

=（X.,孫七）O

o

e369薩3；

0

1-1~2-3

(2)1|E-A1-21-4-6=12(i-i4)=o

-3-61-9

得L=12=0,13=14；

23

23do:-

ae1ae-2^e

0^u3

0E-A%國JOo-I

rQ匕c

：-

q0C-c1

oAo?

go?.>C0e

0…

ae1-530ffild

14E-A%@JO

3-2+解得a=￡LL_

0jw六

go0e00

11

ae-2oae-36

(a?b.)1cC：

將a,a2進行施密特正交化可得3=，1=b=a-__=__!-hi=--6.

22(b.b,)5?I

8。百

ae2oae30ae10

Cv;1Vzo；酒;

q6-?c24-

將（bib2a）單位化，可得g=-=1,^:83即

1*5+

q0+q5+q3彳

e0

2310

京酒麻WI

yq1624-

令正交矩陣再一而而之

02士

1回方

利用正交變換x=Qy,將￡（"孫七）_f=14y2;

化為標(biāo)準(zhǔn)形

-V油kl

(3)令f(04,毛)二14K'%2=k2'

1y3=0

紀(jì)2316

曬灰云16

2

*Q4-

5_3j10

0

W瓦［0

26岔

-3d

一'n

c?.r

?cV15.??c質(zhì)"$-26ae-3d

二n

?c7.kr

c>2rn：,c

cn為任意常數(shù)）

>or

?crn12

cc

>e0e>

（22）（本題滿分12分）

設(shè)X