原創(chuàng)例談少教多學(xué)自主高效的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)

例談少教多學(xué)、自主高效的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)福建省永春縣吾峰中學(xué)鄭偉強(qiáng)在農(nóng)村初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何做到“少教多學(xué)，自主高效”，是困擾農(nóng)村教師的一大難題。由于農(nóng)村學(xué)生知識面窄、在家里沒有較好的學(xué)習(xí)環(huán)境，家長知識水平基本偏低，在孩子的學(xué)習(xí)上無法跟教師配合，而老師與學(xué)生接觸的時(shí)間一般只有每天45分鐘的時(shí)間，因此如何做到“少教多學(xué)，自主高效”，顯得更為重要。筆者長期在農(nóng)村初中校任教，為了解決這個(gè)難題，筆者和學(xué)校同事申請了福建省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題：農(nóng)村初中數(shù)學(xué)“少教多學(xué)，自主高效”課堂教學(xué)的探索與實(shí)踐研究(立項(xiàng)批準(zhǔn)號FJJK14-548)，經(jīng)過課堂實(shí)驗(yàn)，筆者認(rèn)為要上好一節(jié)“少教多學(xué)，自主高效”的數(shù)學(xué)課，首先必需精心準(zhǔn)備數(shù)學(xué)問題，下面筆者以華師大版初中數(shù)學(xué)八年級下學(xué)期《17.2.1平面直角坐標(biāo)系》為例，談?wù)剬@節(jié)課數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)的做法。一、設(shè)置情境，認(rèn)識新知1回顧舊知，導(dǎo)入新課由§的問題1,我們知道氣溫變化圖可以直觀地表示出不同時(shí)間的氣溫,反映出氣溫變化的規(guī)律。像這樣，函數(shù)常?？梢杂盟膱D象來表示，利用函數(shù)的圖象可以幫助我們直觀地研究函數(shù)。問題1：什么是函數(shù)的圖象？怎樣畫出函數(shù)的圖象呢？根據(jù)學(xué)生的回答，告訴學(xué)生“要畫出函數(shù)的圖象，可借助今天要學(xué)習(xí)的一個(gè)非常有用的工具——直角坐標(biāo)系。問題2：你們?nèi)ル娪霸嚎措娪皶r(shí)是怎么找座位的？引導(dǎo)學(xué)發(fā)現(xiàn)：因?yàn)殡娪捌鄙隙紭?biāo)有“×排×座”的字樣，所以找座位時(shí)先找到第幾排，再找到這一排的第幾座就可以了，也就是說電影院里的座位完全可以由兩個(gè)數(shù)確定下來總結(jié)：物體的位置可由兩個(gè)數(shù)確定?！驹O(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生熟悉的找電影院座位入手，喚醒學(xué)生對已有知識的的記憶，激活已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生產(chǎn)生就近聯(lián)想，從而使新課的導(dǎo)入水到渠成。2設(shè)置情境，認(rèn)識新知出示地圖（這張地圖是學(xué)生非常熟悉的縣城中的一部分）。引導(dǎo)學(xué)生看地圖，十字路口是易購超市，易購的正東方向40米是教育局，正西方向30米是發(fā)燒友電器商店。問題1：能用學(xué)過的數(shù)學(xué)模型來描述它們的位置嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考討論后得出解決方法：由于這三個(gè)地方都在筆直的城東街上，把這條街抽象為一條數(shù)軸，把這三個(gè)地方抽象為三個(gè)點(diǎn)，如果把易購作為原點(diǎn)，以向東為正方向，以1米為單位長度，可用數(shù)軸來描述它們的位置，教育局記為+40，發(fā)燒友電器商店記為-30。問題2：易購正北方向的城東北街上35米是緣喜婚慶商店，如何描述它的位置？引導(dǎo)學(xué)生思考討論后，得到解決方案：再建一條與城東街垂直的數(shù)軸，為了方便，仍以易購為原點(diǎn)，以正北為正方向，以1米為單位長度，可把緣喜婚慶商店記為+35。問題3：派出所在城東北街東邊36米，在城東街北邊90米，又要怎樣表示它的位置？讓學(xué)生獨(dú)立思考，再小組討論，最后全班交流。引導(dǎo)學(xué)生說出解決方案：在城東北街東邊36米，若向橫的數(shù)軸作垂線，垂足對應(yīng)的數(shù)字就是+36，可用+36表示，在城東街北邊90米，若向縱的數(shù)軸作垂線，垂足對應(yīng)的數(shù)字就是+90，可用+90表示，規(guī)定先寫橫的數(shù)軸上的數(shù)，再寫縱的數(shù)軸上的數(shù)，可寫為（36，90）。問題4：能把派出所的位置（36，90）寫成（90，36）嗎？引導(dǎo)學(xué)生觀察思考后發(fā)現(xiàn)：（90，36）是表示城東北街東邊90米，在城東街北邊36米的位置，這不是派出所的位置。數(shù)對是有順序的，順序不同則表示的位置不同。問題5：唯信網(wǎng)吧在城東北街西邊50米，在城東街北邊27米，能用（50，27）表示它的位置嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考討論后得出：必需用（-50，27）問題6：能統(tǒng)一用有序數(shù)對表示教育局、發(fā)燒友電器商店、緣喜婚慶商店的位置嗎？和學(xué)生一起討論后發(fā)現(xiàn)能統(tǒng)一用有序數(shù)對表示它們的位置。教育局就是在城東北街所在直線的東邊40米，在橫的數(shù)軸上的對應(yīng)數(shù)字是+40，在縱的數(shù)軸上的對應(yīng)數(shù)字是0，因此可表示為（40，0），同理發(fā)燒友電器商店記為（-30，0），緣喜婚慶商店記為（0，+35）。歸納：老師并畫圖歸納講解平面直角坐標(biāo)系相關(guān)概念，如圖，像這樣在平面上畫兩條原點(diǎn)重合、互相垂直且具有相同單位長度的數(shù)軸，稱為平面直角坐標(biāo)系。通常把其中水平的一條數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向。鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向。兩數(shù)軸的交點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)?；仡櫩偨Y(jié)：根據(jù)剛才的合情推理發(fā)現(xiàn)，要表示一個(gè)物體的位置，只要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，就可以用有序數(shù)對來表示任何一個(gè)物體的位置，從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，又把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題（有序數(shù)對），這是多么神奇和巧妙??！問題7：你們知道平面直角坐標(biāo)系是誰發(fā)現(xiàn)的嗎？引導(dǎo)學(xué)生看課本42頁閱讀材料：笛卡兒的故事。【設(shè)計(jì)意圖】利用學(xué)生剛在§變量與函數(shù)的問題1中體會到氣溫變化圖可以直觀地表示出不同時(shí)間的氣溫，形象地反映出氣溫變化的規(guī)律，知道了函數(shù)的圖象可以幫助我們直觀地研究函數(shù)，因此學(xué)生迫切地想知道什么是函數(shù)的圖象，怎樣畫出函數(shù)的圖象，從而喚起學(xué)生的求知欲望，為更好地完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)做好了準(zhǔn)備。用學(xué)生身邊熟悉的地圖創(chuàng)設(shè)情境，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，發(fā)現(xiàn)確定點(diǎn)的位置是生活中經(jīng)常會遇到的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，設(shè)計(jì)問題串，引導(dǎo)學(xué)生先用數(shù)軸來表示點(diǎn)的位置，再引導(dǎo)出在兩條數(shù)軸的圖形中用有序數(shù)對來表示點(diǎn)的位置，最后歸納出平面上任一點(diǎn)都可用有序數(shù)對來表示位置，問題由淺入深，分散難點(diǎn)，逐個(gè)突破，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，逐步培養(yǎng)學(xué)生的探索探究能力，為等下解決根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)這兩個(gè)難點(diǎn)做好準(zhǔn)備。最后引導(dǎo)學(xué)生閱讀與平面直角坐標(biāo)系有關(guān)的數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家善于觀察、熱愛思考、追求真理的精神，培養(yǎng)學(xué)生的良好品格。二、探究提升，引導(dǎo)發(fā)展1、認(rèn)識坐標(biāo)概念、由點(diǎn)寫坐標(biāo)讓學(xué)生動手畫一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，老師巡視，糾正學(xué)生畫得不對的地方，若發(fā)現(xiàn)普遍性錯誤，則進(jìn)行投影，讓學(xué)生認(rèn)識并改正錯誤。接著我們模仿剛才用有序數(shù)對表示派出所、唯信網(wǎng)吧位置的方法（老師在屏幕上演示）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫點(diǎn)P，從點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足為M，點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是多少？從點(diǎn)P向y軸作垂線，垂足為N，點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)多少？點(diǎn)M在x軸上對應(yīng)的數(shù)字3稱為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，點(diǎn)N在y軸上對應(yīng)的數(shù)字2稱為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，依次寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，中間用逗號隔開，用括號括起來，得到一對有序?qū)崝?shù)(3，2)，稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)。這時(shí)點(diǎn)P可記作P(3，2)。問題1：如果點(diǎn)P不在老師畫的位置，而是在平面直角坐標(biāo)系中的任何一個(gè)地方，你們能通過畫圖寫出它的坐標(biāo)嗎？接下來請大家動手在自己剛才畫的直角坐標(biāo)系中任意畫一點(diǎn)P，并通過畫圖寫出它的坐標(biāo)，畫好后小組交流討論。老師巡視指點(diǎn)，并把有錯誤的選擇幾張投影，讓大家共同分析錯在哪里，最后每個(gè)小組選出一張做的最好的在全班同學(xué)面前進(jìn)行成果展示。歸納總結(jié)：在平面直角坐標(biāo)系中任何一點(diǎn)都能寫出它的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)通常與表示該點(diǎn)的大寫字母寫在一起，注意先橫后縱，逗號隔開，加上括號。問題2：一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有多個(gè)嗎？引導(dǎo)學(xué)生一起探究得到：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，所以點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都是唯一確定的，一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)只有一個(gè)。活動：出示帶網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系，老師指出點(diǎn)的位置，讓學(xué)生搶答點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹O(shè)計(jì)意圖】先模仿用有序數(shù)對表示派出所、唯信網(wǎng)吧位置的方法，老師在屏幕上演示給出點(diǎn)的坐標(biāo)的畫法和寫法，由剛才的實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，由特殊到一般，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型思想，歸納思想。讓學(xué)生在自己所畫的平面直角坐標(biāo)系中由點(diǎn)找坐標(biāo)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后小組交流討論，老師巡視指點(diǎn)，有的同學(xué)可能會把點(diǎn)畫在坐標(biāo)軸上，只要按上面的的畫圖方法一樣能得出它的坐標(biāo)，讓學(xué)生經(jīng)過討論或老師指點(diǎn)后解決；有的學(xué)生可能坐標(biāo)順序?qū)懛戳?，有的可能沒有寫括號,而這些生成都是我們所需要的，是寶貴的教學(xué)資源，能使學(xué)生深刻認(rèn)識坐標(biāo)的內(nèi)涵，最后引導(dǎo)學(xué)生探討點(diǎn)的坐標(biāo)的唯一性，在帶網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系搶答點(diǎn)的坐標(biāo)活動，使學(xué)生更深刻認(rèn)識點(diǎn)的坐標(biāo)。2、由坐標(biāo)找點(diǎn)問題1：在平面直角坐標(biāo)系中知道任何一點(diǎn)都能寫出它的坐標(biāo)，那知道坐標(biāo)能找到對應(yīng)的點(diǎn)嗎？怎么找？如坐標(biāo)為（3，2）的點(diǎn)P該如何找？有了剛才的經(jīng)驗(yàn)，在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過討論就會很快找到方法。總結(jié)：（老師板演講解）先過x軸上表示3的點(diǎn)作垂線，再過y軸上表示2的點(diǎn)作垂線,兩垂線的交點(diǎn)就是坐標(biāo)為（3，2）的P點(diǎn)?；顒樱赫埓蠹以谧约寒嫷牡钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中分別描出坐標(biāo)是（2，3）、(-2,3)、（3，-2）的點(diǎn)Q、S、R，然后小組交流討論。老師巡視指點(diǎn)，并把有錯誤的選擇幾張投影，讓大家共同分析錯在哪里，最后每個(gè)小組選出一張做得最好的在全班同學(xué)面前進(jìn)行成果展示。問題2：P（3，2）與Q（2，3）是同一點(diǎn)嗎？S(-2,3)與R（3，-2）是同一點(diǎn)嗎?引導(dǎo)學(xué)生討論回答：P（3，2）與Q（2，3）不是同一點(diǎn)，P（3，2）是過x軸上表示3的點(diǎn)的垂線與過y軸上表示2的點(diǎn)的垂線的交點(diǎn)，而Q（2，3）是是過x軸上表示2的點(diǎn)的垂線與過y軸上表示3的點(diǎn)的垂線的交點(diǎn)；同理S(-2,3)與R（3，-2）不是同一點(diǎn)。歸納總結(jié)：點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)不能顛倒，點(diǎn)的坐標(biāo)是有序數(shù)對。問題3：一個(gè)坐標(biāo)能對應(yīng)多個(gè)點(diǎn)嗎？經(jīng)過剛才的探究，學(xué)生交流討論后就會很快得到答案，老師對學(xué)生的回答進(jìn)行綜合總結(jié)：過橫坐標(biāo)的垂線與過縱坐標(biāo)的垂線相交，由于它們只有一個(gè)交點(diǎn)，所以一個(gè)坐標(biāo)只能對應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，由剛才的探究知，平面上的一個(gè)點(diǎn)只能對應(yīng)一個(gè)坐標(biāo)。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：以前學(xué)過：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，今天我們經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的?！驹O(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過由點(diǎn)寫出坐標(biāo)的探究活動，特別是在帶網(wǎng)格的平面直角坐標(biāo)系搶答點(diǎn)的坐標(biāo)活動，學(xué)生不但深刻地認(rèn)識了點(diǎn)與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，還把點(diǎn)與坐標(biāo)的思維探究活動推向了高潮，老師趁熱打鐵，引導(dǎo)學(xué)生反過來探究由坐標(biāo)找點(diǎn)，符合辯證的思維訓(xùn)練特點(diǎn)，能很好地培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的探究能力，由于經(jīng)過前面由點(diǎn)寫出坐標(biāo)的探究活動，這次的探究就會顯得駕輕就熟，經(jīng)過動手畫圖