2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題18 解直角三角形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）（全國(guó)通用）（教師版）

專題18解直角三角形（10個(gè)高頻考點(diǎn)）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)的定義】 1【考點(diǎn)2銳角三角函數(shù)的增減性】 5【考點(diǎn)3同角三角函數(shù)的關(guān)系】 7【考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】 9【考點(diǎn)5特殊角的三角函數(shù)】 13【考點(diǎn)6解直角三角形】 16【考點(diǎn)7解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問題】 24【考點(diǎn)8解直角三角形的應(yīng)用之方位角問題】 29【考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問題】 35【考點(diǎn)10解直角三角形應(yīng)用之其他問題】 40【要點(diǎn)1銳角三角函數(shù)】在中，，則的三角函數(shù)為定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)【考點(diǎn)1銳角三角函數(shù)的定義】【例1】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC:BC=1:2，連接AC，過點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P1,1，則tan∠OAP的值是（

A．33 B．22 C．1【答案】C【分析】由P1,1可知，OP與x軸的夾角為45°，又因?yàn)镺P∥AB，則△OAB為等腰直角形，設(shè)OC=x，OB=2x【詳解】∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），則OP與x軸正方向的夾角為45°，又∵OP∥AB，則∠BAO=45°，△OAB為等腰直角形，∴OA=OB，設(shè)OC=x，則OB=2OC=2x，則OB=OA=3x，∴tan∠OAP=【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)推出特殊角是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·上海·上海市進(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┰赗t△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（

A．tanB=34 B．sinB=43【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，∴根據(jù)勾股定理得：BC=A∴tanB=ACBC=43故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·山東濱州·陽(yáng)信縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若AD＝3，A．32 B．53 C．52【答案】B【分析】由直徑所對(duì)圓周角為直角，得出：∠ACD=90°，再由勾股定理求得CD的長(zhǎng)，由【詳解】解：∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∵AD=3，AC=2，∴CD=5∴cosD=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角，勾股定理，靈活運(yùn)用這些知識(shí)求銳角三角函數(shù)是關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（

A．817 B．715 C．1517【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF=BF，設(shè)AF=EF=x，則BF=5?x，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根據(jù)折疊可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，∴在△AFD和△EFB中∠A=∠E=90°∠AFD=∠EFB∴ΔAFD≌∴AF=EF，DF=BF，設(shè)AF=EF=x，則BF=5?x，在RtΔBEF中，B即5?x2解得：x=85，則∴cos∠ADF=故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明ΔAFD≌【考點(diǎn)2銳角三角函數(shù)的增減性】【例2】（2022·上海靜安·統(tǒng)考一模）如果0°<∠A<45°，那么sinA與cosA的差（A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【答案】B【分析】cosA=【詳解】∵cosA=∴當(dāng)0°<∠A<45°時(shí)，45°<90°?∠A<90°，∴sinA<cos故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正弦函數(shù)值隨著角的增大而增大．【變式2-1】（2022·上海·?？寄M預(yù)測(cè)）如果銳角A的度數(shù)是25°，那么下列結(jié)論中正確的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan【答案】A【分析】根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可．【詳解】解：∵0°＜25°＜30°∴0<∴0<sin故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0°~90°間變化時(shí)，①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）．【變式2-2】（2022·甘肅張掖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若0°<α<90°，則下列說法不正確的是（

）A．sinα隨α的增大而增大 B．cosα隨α的減小而減小 C．tanα隨α的增大而增大 D．0<sinα【答案】B【分析】如圖，作半徑為1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均為直徑，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，利用銳角三角函數(shù)的定義分析可得答案．【詳解】解：如圖，作半徑為1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均為直徑，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，∴OA=OB=1,由sin∠BOH=顯然，∠BOH＜∠AOG，而BH＜AG，所以當(dāng)0°<α<90°時(shí)，sinα隨α同理可得：當(dāng)0°<α<90°時(shí)，cosα隨α的減小而增大，故B錯(cuò)誤；當(dāng)0°<α<90°時(shí)，tanα隨α的增大而增大，故C正確；當(dāng)α=∠AOG，當(dāng)點(diǎn)A逐漸向F移動(dòng)，邊AG逐漸接近OA，∴sinα=sin當(dāng)0°<α<90°時(shí)，0<sinα<1，故D正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022·浙江寧波·校聯(lián)考一模）sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是（）A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70°C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70°【答案】D【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比較sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進(jìn)行比較.【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°=sin20°，正弦值隨著角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°．故選D．【考點(diǎn)3同角三角函數(shù)的關(guān)系】【例3】（2022春·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考自主招生）已知m為實(shí)數(shù)，且sinα，cosα是關(guān)于x的方程4x2?mx+1=0A．18 B．34 C．7【答案】C【分析】先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到{sinα?cos【詳解】∵sinα，cosα是關(guān)于x的方程∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得{sin∴==1?2×(故選：C．【點(diǎn)睛】本題屬于初升高題目，考查了二倍角公式的運(yùn)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1,【變式3-1】（2022·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝23，則cosAA．133 B．132 C．53【答案】C【分析】根據(jù)sin2A+cos2A＝1，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：sin2A+cos2A＝1，∴cos2∴cosA=故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)值的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握sin2A+cos2A＝1．【變式3-2】（2022·陜西西安·交大附中分校校考模擬預(yù)測(cè)）已知tanα=5，則3【答案】5【分析】由于tanα=sinαcosα=5，則【詳解】解：∵tan∴sin∴3sin故答案是：517【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：解題的關(guān)鍵是掌握平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1【變式3-3】（2022·湖北·校聯(lián)考一模）已知：實(shí)常數(shù)a、b、c、d同時(shí)滿足下列兩個(gè)等式：⑴asinθ+bcosθ?c=0；⑵acos【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把兩個(gè)式子移項(xiàng)后，兩邊平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ=1，即可找到這四個(gè)數(shù)的關(guān)系．【詳解】由①得asinθ+bcosθ=c，兩邊平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ=c2③，由②得acosθ-bsinθ=-d，兩邊平方，a2cos2θ+b2sin2θ-2absinθcosθ=d2④，③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）=c2+d2，∴a2+b2=c2+d2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，sin2θ+bcos2θ=1的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【考點(diǎn)4互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】【例4】（2022·福建南平·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形ABCD放置在一組等距的平行線中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1，若∠DCE=β，則矩形ABCD的周長(zhǎng)可表示為（

）A．22cosβC．22sinβ【答案】B【分析】構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義求得線段BC和CD的表達(dá)式，進(jìn)而求得矩形的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過D作DF⊥CE于點(diǎn)F，過B作BG⊥CE于點(diǎn)G，∵∠DFC=90°，∠DCE=β，DF=2，∴DC=DF∵矩形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠BCG+∠DCF=90°，∵∠BGC=90°，∴∠GBC+∠BCG=90°，∵∠BCG+∠DCF=90°，∴∠DCF=∠GBC=β，∵∠BGC=90°，∠GBC=β，BG=5，∴BC=BG∵DC=DF∴矩形ABCD的周長(zhǎng)為2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義求相應(yīng)線段的表達(dá)式是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·安徽宣城·校聯(lián)考一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（）A．sinA＝sinB B．cosA＝sinBC．sinA＝cosB D．sin（A+B）＝sinC【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義依次分析各項(xiàng)即可．【詳解】如圖，A.∵sinA＝ac，sinB=bc，∴當(dāng)a≠b時(shí)，sinA≠sinBB.∵cosA＝bc，sinB＝bc，∴cosA＝sinC.∵sinA=ac，cosB＝ac，∴sinA＝cosBD.∵∠A+∠B=∠C，∴sin（A+B）＝sinC，不符合題意；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．【變式4-2】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，tan∠BAC?tan∠ABC=1，⊙O經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，若DE=10，AB=24，則⊙O的半徑為（

）A．102 B．C．13 D．25【答案】C【分析】連接BO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)G，連接AG，AE，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠GAB=90°，從而證出∠G＋∠GBA=90°，然后根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AEC=∠G，根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)可得△ABC為直角三角形，∠C=90°，然后根據(jù)圓周角定理證出AG=【詳解】解：連接BO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)G，連接AG，AE∴∠GAB=90°∴∠G＋∠GBA=90°∵四邊形AEBG是圓O的內(nèi)接四邊形∴∠AEC=∠G∴∠AEC＋∠GBA=90°∵tan∠BAC?tan∠ABC=1，∴△ABC為直角三角形，∠C=90°∴∠AEC＋∠EAC=90°∴∠GBA=∠EAC∴AG∴AG=DE=10在Rt△AGB中BG=A∴⊙O的半徑BO=12故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓周角定理及推論、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理，掌握?qǐng)A周角定理及推論、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的性質(zhì)和勾股定理是解決此題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，則△ABC與△A′B′C′的面積比為（）A．25：9 B．5：3 C．： D．5：3【答案】A【詳解】試題分析：過A作AD⊥BC于D，過A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB?sinB，A′D′=A′B′?sinB′，BC=2BD=2AB?cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′?cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=12AD?BC=12AB?sinB?2AB?cosB=25sinB?cosB，S△A′B′C′=12A′D′?B′C′=12A′B′?cosB′?2A′B′?sinB′=9sinB′?cosB′，∴S△BAC考點(diǎn)：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．【要點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值】三角函數(shù)30°45°60°1【考點(diǎn)5特殊角的三角函數(shù)】【例5】（2022·山東濟(jì)寧·?？级＃┤鐖D，在正方形ABCB1中，AB=3，AB與直線l所夾銳角為60°，延長(zhǎng)CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長(zhǎng)C1B2交直線lA．2×332019 B．2×332020【答案】C【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出A1B1、A2B2、A3B3【詳解】解：∵AB與直線l所夾銳角為60°，且∠BAB1是正方形∴∠B又∵∠AB∴在Rt△AB1∵正方形ABCB1的邊長(zhǎng)∴A1同理可求得：A2B2以此類推可知：A2022∵Rt△A2021A2022∴A2021故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、含特殊角的銳角三角函數(shù)等知識(shí)，含30°的直角三角形的性質(zhì)．利用從特殊到一般尋找規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的意義，即可解答．【詳解】解：在實(shí)數(shù)2，x0（x≠0）=1，cos30°=32，38=2中，有理數(shù)是所以，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，AC=CD，則cosB的值為（

）A．34 B．32 C．13【答案】D【分析】證明△ABC是等邊三角形，得出∠B=60°，由特殊角的三角函數(shù)值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，∵AC=CD，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=12故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點(diǎn)H是高AD和BE的交點(diǎn)，∠CAD＝30°，CD＝4，則線段BH的長(zhǎng)度為（

）A．6 B．43 C．8 D．【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)直角三角形兩銳角互余、三角函數(shù)、分式方程的性質(zhì)，得AD=43【詳解】根據(jù)題意，得∠ADC=∠BEC=90°∴∠CAD+∠ACD=∠CBE+∠ACD=90°∴∠CBE=∠CAD=30°∵CD＝4∴tan∴AD=43經(jīng)檢驗(yàn)，AD=43是4∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，∴∠ABE=∠ABC?∠CBE=15°∴∠BAE=90°?∠ABE=75°∴∠BAD=∠BAE?∠CAD=45°∴∠BAD=∠ABE=45°∴BD=AD=43∴cos∠CBE=∴BH=8經(jīng)檢驗(yàn)，BH=8是43故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．【要點(diǎn)3解直角三角形的類型和解法】已知條件圖形解法對(duì)邊鄰邊斜邊對(duì)邊鄰邊斜邊ACBb已知斜邊和一個(gè)銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊【考點(diǎn)6解直角三角形】【例6】（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，AB=32．Rt△BEF中，∠BEF=90°,EF過點(diǎn)D，BE,BF分別交AD,CD于點(diǎn)G，M，連接OE,OM,EM．若BG=DF,tan∠ABG=【答案】3+3【分析】連接BD，則BD過正方形ABCD的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，解直角三角形可得BG＝25，AG＝13AB，然后證明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝HF，進(jìn)而可證△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝13CD，BM＝FM，然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出DF＝FM，則BG＝DF＝FM＝BM＝25，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形中位線定理分別求出【詳解】解：如圖，連接BD，則BD過正方形ABCD的中心點(diǎn)O，作FH⊥CD于點(diǎn)H，∵AB=32，tan∴tan∴AG＝13AB＝2∴BG＝AG∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，在△ABG和△HFD中，∠A=∠DHF=90°∠AGB=∠HDF∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，∵在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝13AB＝13CD，BC＝在△BCM和△FHM中，∠C=∠FHM=90°∠BMC=∠FMH∴△BCM≌△FHM（AAS），∴MH＝MC＝13CD，BM＝FM∴DH＝MH，∵FH⊥CD，∴DF＝FM，∴BG＝DF＝FM＝BM＝25∴BF＝45∵M(jìn)是BF中點(diǎn)，O是BD中點(diǎn)，△BEF是直角三角形，∴OM＝12DF=5，EM∵BD＝2AB=6，△BED∴EO＝12∴△OEM的周長(zhǎng)＝EO＋OM＋EM＝3＋5＋25故答案為：3+35【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及三角形中位線定理，綜合性較強(qiáng)，能夠作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為_________．【答案】2【分析】先求解AB=3【詳解】解：由題意可得：DE=1,DC=15?12=3,∵∠A=60°,∠ABC=90°,∴AB=BC同理：AD=DE∴BD=AB?AD=3故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運(yùn)算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長(zhǎng)”是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BC為⊙O的直徑，點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG∥CE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，連接BD，交CE于點(diǎn)F．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)AC＝10【分析】（1）連接OD，BE，根據(jù)“同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等”及等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODB=∠EBD，進(jìn)而得到OD//BE，根據(jù)圓周角定理結(jié)合題意推出AD⊥OD，即可判定AD是⊙O的切線；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差求解即可．（1）證明：如圖，連接OD，BE，∵點(diǎn)D為CE的中點(diǎn)，∴CD=∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠CBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴OD//BE，∵BC為⊙O的直徑，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∵AD//CE，OD⊥CE，∴AD⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵DG//CE，∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，∵tan∠GDB＝2，∴tan∠BFE＝2，在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝BFEF∴BE＝6，∵EF＝3，CF＝5，∴CE＝EF+CF＝8，∴BC＝CE∴OD＝OC＝5，在Rt△BCE中，sin∠ECB＝BEBC∴sinA＝sin∠ECB＝35在Rt△AOD中，sinA＝ODOA=3∴OA＝253∴AC＝OA﹣OC＝103【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了平行線的性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握切線的判定、圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AD（AD不與AC重合），旋轉(zhuǎn)角記為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點(diǎn)E，連接EC．(1)如圖①，當(dāng)α=20°時(shí)，∠AEB的度數(shù)是_____________；(2)如圖②，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，求證：BD+2CE=2(3)當(dāng)0°<α<180°,AE=2CE時(shí)，請(qǐng)直接寫出BDED【答案】(1)45°(2)見解析(3)22+2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AD，當(dāng)α=20°時(shí)可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算∠ADB的角度，再由∠BAC=90°，AE是∠DAC的平分線可知∠DAE=35°，由三角形外角的性質(zhì)，通過∠AEB=∠ADB?∠DAE即可得出答案；（2）延長(zhǎng)DB到F，使BF=CE，連接AF，先證明△ADE≌△ACE，可推導(dǎo)∠DEA=∠CEA、∠ADE=∠ACE、∠DE=CE，再由已知條件及等腰三角形的性質(zhì)推導(dǎo)∠DEA=∠CEA=45°，然后證明△ABF≌△ACE，推導(dǎo)∠FAE=90°，在Rt△AFE中，由三角函數(shù)可計(jì)算EF=2AE，即可證明（3）分兩種情況討論：①當(dāng)0°<α<90°時(shí)，借助（2）可知BD=(22?2)CE，再求BDED的值即可；②當(dāng)90°≤α<180°時(shí)，在線段BD上取點(diǎn)F，使得BF=CE，結(jié)合（2）中△ADE≌△ACE，可知DE=CE、∠ADE=∠ACE，易證明△ABF≌△ACE，可推導(dǎo)∠BAF=∠CAE、AE=AF、∠EAF=90°，∠AEF=∠AFE=45°，在Rt△AFE中，由三角函數(shù)可計(jì)算EF=2AE【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)可知，AB=AD，當(dāng)α=20°時(shí)，可知∠ABD=∠ADB=180°?α∵∠BAC=90°，AE是∠DAC的平分線，∴∠DAE=∠BAC?α∴∠AEB=∠ADB?∠DAE=80°?35°=45°．故答案為：45°；（2）證明：延長(zhǎng)DB到F，使BF=CE，連接AF．∵AB=AC，AD=AB，∴AD=AC，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠CAE，∵AE=AE，∴△ADE≌△ACE，∴∠DEA=∠CEA，∠ADE=∠ACE，∠DE=CE，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ADE+∠ADB=180°，∴∠ACE+∠ABD=180°，∵∠BAC=90°，∴∠BEC=360°?(∠ACE+∠ABD)?∠BAC=360°?180°?90°=90°，∵∠DEA=∠CEA∴∠DEA=∠CEA=1∵∠ABF+∠ABD=180°，∠ACE+∠ABD=180°，∴∠ABF=∠ACE，∵AB=AC，BF=CE，∴△ABF≌△ACE，∴AF=AE，∠AFB=∠AEC=45°，∴∠FAE=180°?∠AFB?∠DEA=180°?45°?45°=90°，在Rt△AFE中，∠FAE=90°，∵cos∠AEF=∴EF=AE∵EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE，∴BD+2CE=2（3）①當(dāng)0°<α<90°時(shí)，由（2）可知，DE=CE，BD+2CE=2∴BD=2當(dāng)AE=2CE時(shí)，可知BD=2∴BDED②當(dāng)90°≤α<180°時(shí)，如下圖，在線段BD上取點(diǎn)F，使得BF=CE，由（2）可知，△ADE≌△ACE，∴DE=CE，∠ADE=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABF=∠ADE，∴∠ABF=∠ACE，∵BF=CE，∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴∠BAF=∠CAE，AE=AF，∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠CAF+∠BAF=∠BAC=90°，∴∠AEF=∠AFE=180°?∠EAF在Rt△AFE中，cos∠AEF=∴EF=AE∴BD=BF+EF+DE=CE+2當(dāng)AE=2CE時(shí)，可知BD=2∴BDED綜上所述，當(dāng)0°<α<180°,AE=2CE時(shí)，BDED=22【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并通過作輔助線構(gòu)建全等三角形．【考點(diǎn)7解直角三角形的應(yīng)用之仰角俯角問題】【例7】（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國(guó)寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①）．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量古槐的高度，如圖②所示，當(dāng)無人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，豎直起飛到正上方45米E點(diǎn)處時(shí)，測(cè)得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，塔基B與樹底D的水平距離為20米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，【答案】古槐的高度約為13米【分析】過點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過點(diǎn)C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM=12米，進(jìn)而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出EN=32.08米，即可求出答案．【詳解】解：過點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過點(diǎn)C作CN⊥EH于N，由題意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，在Rt△AME中，∠EAM=26.6°，∴tan∠EAM=∴AM=EM∴BH=AM=12米，∵BD=20，∴DH=BD?BH=8米，∴CN=8米，在Rt△ENC中，∠ECN=76°，∴tan∠ECN=EN∴EN=CN?tan∴CD=NH=EH?EN=12.92≈13（米），即古槐的高度約為13米．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問題，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85A．28m B．34m C．37m D．46m【答案】C【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出DB=58AB，在Rt△ABC【詳解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ABDB∴DB=AB在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABCB∴tan22°=解得：AB=112故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，小明在大樓45m高（即PH=45m，且PH⊥HC）的窗口P處進(jìn)行觀測(cè)，測(cè)得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，已知該山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1:3（點(diǎn)P，H，B，C，A在同一個(gè)平面上，點(diǎn)H，(1)∠PBA的度數(shù)等于________度（直接填空）(2)求A，B兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，【答案】(1)90(2)A、B兩點(diǎn)間的距離約為52.0米【分析】（1）根據(jù)坡度求得∠ABF=30°，結(jié)合題意，得出∠HBP=60°，進(jìn)而得出∠PBA=90°,∠BAP=45°（2）根據(jù)∠PBA=90°,∠BAP=45°，得出PB=AB，解△PHB即可求解．【詳解】（1）如解圖所示；過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵山坡的坡度i（即tan∠ABC）為1:∴tan∠ABF=∴∠ABF=30°，∵在窗口P處進(jìn)行觀測(cè)，測(cè)得山坡上A處的俯角為15°，山腳B處的俯角為60°，∴∠HPB=30°,∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°,∠BAP=45°，故答案為：90；（2）∵∠PBA=90°,∠BAP=45°∴PB=AB，∵PH=45米，sin60°=解得：PB=303故AB=303答：A、B兩點(diǎn)間的距離約為52.0米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過程如下：(1)探究原理：制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一段固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A,B共線（如圖②），此目標(biāo)P的仰角∠POC=∠GON．請(qǐng)說明兩個(gè)角相等的理由．(2)實(shí)地測(cè)量：如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹，為了測(cè)量樹高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米；求樹高PH．（(3)拓展探究：公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距離地面高度PH（如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E,F（E,F,H在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α,β，再測(cè)得E,F間的距離m，點(diǎn)O1,O2到地面的距離O1【答案】(1)證明見解析(2)10.2米(3)mtan【分析】（1）根據(jù)圖形和同角或等角的余角相等可以證明出結(jié)果；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意，可以計(jì)算出PH的長(zhǎng)，注意最后的結(jié)果；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題目中的數(shù)據(jù)，可以用含α、β、m的式子表示出PH．【詳解】（1）證明：∵∠COG=90°,∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON（2）由題意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，∠OQP=90°,∠POQ=60°，在Rt△POQ中tan∠POQ=PQ∴PQ=5∴PH=PQ+QH=53故答案為：10.2米．（3）由題意得：O1由圖得：tanO2∴O∴m=∴PD=∴PH=PD+DH=m故答案為：mtan【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形中的仰角、俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【考點(diǎn)8解直角三角形的應(yīng)用之方位角問題】【例8】（2022·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）因東坡文化遠(yuǎn)近聞名的遺愛湖公園，“國(guó)慶黃金周”期間，游人絡(luò)繹不絕，現(xiàn)有一艘游船載著游客在遺愛湖中游覽，當(dāng)船在A處時(shí)，船上游客發(fā)現(xiàn)岸上P1處的臨皋亭和P2處的遺愛亭都在東北方向；當(dāng)游船向正東方向行駛600m到達(dá)B處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)遺愛亭在北偏西15°方向；當(dāng)游船繼續(xù)向正東方向行駛400m到達(dá)C處時(shí)，游客發(fā)現(xiàn)臨皋亭在北偏西60°方向．則臨皋亭P1處與遺愛亭P2處之間的距離為_____．（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（8002?4006【分析】如圖，作P1M⊥AC于M，設(shè)P1M＝x，在兩個(gè)直角三角形中，利用三角函數(shù)即可x表示出AM與CM，根據(jù)AC＝AM+CM即可列方程，從而求得P1M的長(zhǎng)，進(jìn)一步求得AP1的長(zhǎng)，作BN⊥AP2于N，在兩個(gè)直角三角形中，利用三角函數(shù)即可求出AN與P2N，求得P1N，從而求得P1P2．【詳解】解：作P1M⊥AC于M，設(shè)P1M＝xm，在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，∴AM＝P1M＝xm，在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，∴MC=3P1M=3∵AC＝1000m，∴x+3=1000，解得x＝500（3?∴P1M＝500（3?1）m∴P1A=P1M22作BN⊥AP2于N，∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，∴∠P2＝60°，在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600m∴BN＝AN=22AB＝3002（∴P1N＝500（6?2）﹣3002=（5006?800在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，∴P2N=33BN=33×3002∴P1P2＝1006?（5006?8002）＝（8002?4006故臨摹亭P1處與遺愛亭P2處之間的距離是（8002?4006）m故答案為：（8002?4006）m【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形解決實(shí)際問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形解決問題．【變式8-1】（2022·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，B地在A地的北偏東56°方向上，C地在B地的北偏西19°方向上，原來從A地到C地的路線為A→B→C，現(xiàn)在沿A地北偏東26°方向新修了一條直達(dá)C地的公路，路程比原來少了20千米．求從A地直達(dá)C地的路程(結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3【答案】從A地直達(dá)C地的路程約為77千米．【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，依據(jù)沿A地北偏東26°方向新修了一條直達(dá)C地的分路，路程比原來少了20千米，即可得到AB+BC?AC=20，進(jìn)而得出2x+2x?3x+x=20，求得x【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，設(shè)BD=x，在Rt△ABD∵∠BAD=56°?26°=30°，∴AB=BDsin30°在Rt△BCD∵∠C=26°+19°=45°，∴BC=BDsin45°∴AC=3由題意得AB+BC?AC=20，∴2x+2解得x≈28.6，∴AC≈2.7×28.6=77.22≈77（千米）．∴從A地直達(dá)C地的路程約為77千米．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，解直角三角形的綜合運(yùn)用，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．【變式8-2】（2022·浙江寧波·一模）如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在北偏東60°方向，1小時(shí)后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東30°方向，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin75°≈0.966，(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？(2)如果漁船在B處改為向東偏南15°方向航行，有無觸礁危險(xiǎn)？【答案】(1)B處離島C有10海里；有觸礁危險(xiǎn)，證明見解析(2)沒有觸礁危險(xiǎn)，證明見解析【分析】（1）過C作CO⊥AB于O，通過證明∠ACB=∠CAB=30°，即可求出CB的長(zhǎng)；判斷C到AB的距離即CO是否大于9，如果大于則無觸礁危險(xiǎn)，反之則有；（2）過C作CD⊥BF交BF于D，交BO于E，求出CD的長(zhǎng)度即可作出判斷．【詳解】（1）過C作CO⊥AB于O，CO為漁船向東航行到C的最短距離，∵在A處測(cè)得島C在北偏東的60°方向，∴∠CAB=30°，又∵B處測(cè)得島C在北偏東30°方向，∴∠CBO=60°，∠ABC=120°，∴∠ACB=∠CAB=30°，∴AB=BC=10×1=10（海里），∵CO⊥AB，∠CBO=60°，∴CO=53∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)；（2）過C作CD⊥BF交BF于D，交BO于E，CD=10×sin∴沒有觸礁危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中，使問題解決．【變式8-3】（2022·四川成都·校聯(lián)考三模）如圖，m，n為河流南北兩岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D點(diǎn)處各有一株古樹．已知B，D兩株古樹間的距離為200米，為了測(cè)量A，B兩株古樹之間的距離，在南岸道路C點(diǎn)處測(cè)得古樹A位于北偏西42°方向，在D處測(cè)得古樹B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B兩株古樹之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，sin42°≈2740，cos42°≈34【答案】A，B兩株古樹之間的距離為336米【分析】由題意可知四邊形CDFE是矩形，在Rt△BDF中，分別求出BF=100米，DF=1003米，在Rt△ACE中，再利用三角函數(shù)求出AE即可．【詳解】解：如圖，由題意可知：四邊形CDFE是矩形，∴CE=DF，CD=EF，在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BD=200米，∴BF=12BD由勾股定理得：DF=BD2?B在Rt△ACE中，∠ACE=42°，CE=DF=1003米，∴AE=tan42°×CE=910×1003∴AB=AE+BE=AE+CD-BF=155.7+280-100≈336米，∴A，B兩株古樹之間的距離為336米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．【考點(diǎn)9解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問題】【例9】（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高CD=20m，背水坡BC的坡度為i1=1:1．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2=1:3，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)【答案】背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m【分析】通過解直角三角形Rt△BCD和RtΔACD，分別求出AD和BD的長(zhǎng)，由AB=AD?BD求出【詳解】解：在Rt△BCD中，∵背水坡BC的坡度i1∴CDBD∴BD=CD=20m在RtΔACD中，∵背水坡AC的坡度∴CDAD∴AD=3∴AB=AD?BD=203答：背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是理解坡度、坡比的含義，構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．【變式9-1】（2022·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖1所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段AC至山谷點(diǎn)C處，再?gòu)狞c(diǎn)C處沿線段CB至山坡②的山頂點(diǎn)B處．如圖2所示，將直線l視為水平面，山坡①的坡角∠ACM=30°，其高度AM為0.6千米，山坡②的坡度i=1:1，BN⊥l于N，且CN=2(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求在此過程中該登山運(yùn)動(dòng)愛好者走過的路程．【答案】(1)105°(2)3.2【分析】（1）根據(jù)山坡②的坡度i=1:1，可求∠BCN=45°，∠ACB=180°?∠BCN?∠ACM即可求解；（2）由余弦值和正弦值分別求出BC、AC即可求解；（1）解：∵山坡②的坡度i=1:1，∴tan∠BCN=∴∠BCN=45°，∵∠ACM=30°，∴∠ACB=180°?∠BCN?∠ACM=180°?45°?30°=105°，（2）∵∠BCN=45°，CN=2∴cos∠BCN=∴BC=2千米，∵∠ACM=30°，AM=0.6km∴sin∠ACM=∴AC=1.2km∴該登山運(yùn)動(dòng)愛好者走過的路程．AC+BC=1.2+2=3.2km【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022·河北石家莊·校聯(lián)考三模）小明在一段斜坡OA?AB上進(jìn)行跑步訓(xùn)練．在訓(xùn)練過程中，始終有一架無人機(jī)在小明正上方隨他一起運(yùn)動(dòng)，無人機(jī)速度為3m/s，距水平地面的高度總為15m（在直線y=15上運(yùn)動(dòng)）現(xiàn)就小明訓(xùn)練中部分路段作出如圖函數(shù)圖象：已知OA=1010m，斜坡OA的坡度i=1：3，斜坡(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為______，OA段y關(guān)于x的函數(shù)解析式為______；(2)小明在斜坡AB上的跑步速度是______m/s，并求AB段y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)若小明沿O?A?B方向運(yùn)動(dòng)，求無人機(jī)與小明之間距離不超過10m的時(shí)長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin22.5°≈513，cos【答案】(1)30,10，y=(2)134，(3)9秒【分析】（1）通過三角函數(shù)值和已知題意信息可以解出A點(diǎn)坐標(biāo)，再通過A點(diǎn)坐標(biāo)和原點(diǎn)進(jìn)而確定OA段的函數(shù)解析式．（2）通過AB段對(duì)應(yīng)的無人機(jī)飛行的路程和速度求出小明所花的時(shí)間，再由三角函數(shù)和（1）問得到小明所走的路程，進(jìn)而解出小明在AB段的速度，由A，B點(diǎn)確定AB段解析式．（3）通過OA段和AB段的函數(shù)解析式分別求出無人機(jī)與小明之間距離為10m時(shí)所用的時(shí)長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算出無人機(jī)與小明之間距離不超過10【詳解】（1）解：如圖，過A點(diǎn)作AC⊥OB于點(diǎn)C，∵AC⊥OB，∴∠∵OA=1010m，斜坡OA的坡度i=AC：OC=1：∴AC=10m，OC=30∴點(diǎn)A坐標(biāo)為30,10，設(shè)OA段y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx（代入A(30，10)，30k=10，解得：k=1∴OA段y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=1故答案為：(30，10)；y=1（2）解：在Rt△ABC中，AC=10m，∵sin∠tan∠ABC=∴AB≈26m，BC≈24m，∵在訓(xùn)練過程中，始終有一架無人機(jī)在小明正上方隨他一起運(yùn)動(dòng)．無人機(jī)速度為3m/s，∴小明在斜坡AB上跑步的時(shí)間為：24÷3=8（s∴小明在斜坡AB上的跑步速度是：26÷8=13∵OC=30m，BC=24∴OB=OC+BC=54m∴B(54，0)，設(shè)AB段y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=mx+n（m≠0）代入A（30，10），B（54，0），得：30m+n=1054m+n=0解得：m=?5∴AB段y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=?5故答案為：134（3）解：在OA段上無人機(jī)與小明之間的距離為10m則有：15?1解得：x=15，∴無人機(jī)飛行的時(shí)間為15÷3=5（s在AB段上，無人機(jī)與小明之間距離為10m時(shí)，則有：15?（?解得：x=42，∴無人機(jī)飛行的時(shí)間為42÷3=14（s∴無人機(jī)與小明之間距離不超過10m的時(shí)長(zhǎng)為：14?5=9（【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)應(yīng)用和解直角三角形，關(guān)鍵在于一次函數(shù)的應(yīng)用和對(duì)題意的推斷能力．【變式9-3】（2022·重慶·西南大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖是某大型商場(chǎng)一層到二層的自動(dòng)扶梯側(cè)面示意圖，小明在一層的A處用測(cè)角儀（測(cè)角儀高度忽略不計(jì)）測(cè)得天花板上的日光燈P的仰角為27°，他向正前方走了5米來到扶梯起點(diǎn)B處，乘坐扶梯BD上行13米到達(dá)二層的D處，此時(shí)用測(cè)角儀測(cè)得日光燈P的仰角為53°，已知自動(dòng)扶梯BD的坡度為1∶2.4．參考數(shù)據(jù)：sin27°≈920，cos27°≈910，tan27°≈(1)求圖中點(diǎn)D到一層地面的高度；(2)根據(jù)規(guī)定，商場(chǎng)兩層總樓高要大于10米，判斷該商場(chǎng)樓高是否符合規(guī)定，并說明理由．【答案】(1)5米(2)該商場(chǎng)樓高符合規(guī)定；理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，交DE于點(diǎn)M，在Rt△BDF中由坡度的定義和勾股定理求解即可；（2）先證明四邊形DMQF是矩形，由題意知在D處用測(cè)角儀測(cè)得日光燈P的仰角為53°，有tan∠PDE=PMDM=tan53°≈43，設(shè)PM=4x，則DM≈3x，然后利用矩形的性質(zhì)可求出PQ=4x+5，AQ≈17+3x，接著再根據(jù)題意知：在A處用測(cè)角儀測(cè)得天花板上的日光燈P的仰角為27°，然后在（1）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，交DE于點(diǎn)M，∴∠DFB=∠DFC=90°，又∵自動(dòng)扶梯BD的坡度為1∶2.4，在Rt△BDF中，BD=13，DF∶BF＝1∶2.4，∴BF=2.4DF，DF2+BF2=BD2，即：DF2+（2）該商場(chǎng)樓高符合規(guī)定．理由：∵PQ⊥AC，DE∥AC，DF⊥AC，∴PQ⊥DE，DF∥MQ，∠AQP=90°，∴四邊形DMQF是平行四邊形，∠PMD=∠QMD=90°，∴四邊形DMQF是矩形，∴MQ=DF，F(xiàn)Q=DM，由題意知：在D處用測(cè)角儀測(cè)得日光燈P的仰角為53°，∴tan∠PDE=PMDM=tan53°≈43，設(shè)PM=4x，則DM≈3x，∵M(jìn)Q=DF=5，∴PQ=PM+MQ=4x+5，∵AB=5，F(xiàn)Q=DM≈3x，∴AQ=AB+BF+FQ≈5+12+3x=17+3x，由題意知：在A處用測(cè)角儀測(cè)得天花板上的日光燈P的仰角為27°，∴在Rt△APQ中，tanA=PQ【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題、解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題、