【高一同步】第13講 函數(shù)應(yīng)用教師版

高一數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)講義 高一數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)講義PAGE1第13講函數(shù)應(yīng)用【必備知識(shí)】1函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．備注1：方程的實(shí)數(shù)解函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．備注2：函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解．2二分法；對(duì)于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．3常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型反比例函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)型函數(shù)模型對(duì)數(shù)型函數(shù)模型冪函數(shù)型模型【題型精講】【題型一求函數(shù)零點(diǎn)】【題1】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分解因式求解方程的根.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的實(shí)數(shù)根.由解得，或.故函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.故選：D.【題2】函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義即可求解.【詳解】令，得，則．故選：A【題3】函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程，即可得出答案.【詳解】解方程，即，解得或，因此，函數(shù)的零點(diǎn)為.故選：.【題4】設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到是函數(shù)的根，再利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的根，由題意，，，故選：D.【題5】函數(shù)的零點(diǎn)是.【答案】/0.5【分析】直接令，解出即可.【詳解】令，解得，故答案為：.【題6】已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)為【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，由，即，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，由，解得，綜上可得，函數(shù)的零點(diǎn)為．故答案為：．【題7】已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為．【答案】【分析】本題即求方程的所有根的集合，先解方程，得到，然后再解方程，可得所求．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的所有根，令，根據(jù)函數(shù)，方程的解是，則方程的根，即為方程的根，當(dāng)時(shí)，，由，，當(dāng)時(shí)，，由，，綜上，函數(shù)所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合是.故答案為：.【題8★】已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則.【答案】【分析】根據(jù)題意列出方程，進(jìn)而得到進(jìn)行求解即可.【詳解】由題可知，，所以，所以，所以，所以.故答案為：【題型二判斷零點(diǎn)所在區(qū)間】【題1】函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理知識(shí)可求解判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：，，得：，故區(qū)間上不一定存在零點(diǎn)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)：，，得：，故區(qū)間上不一定存在零點(diǎn)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)：，，得，故區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)：，，得，故區(qū)間上不一定存在零點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.【題2】已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含有的零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷在上遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上都遞增，所以在上遞增，又因?yàn)?，，所以，所以區(qū)間含有的零點(diǎn)，故選：B.【題3】函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)存在性定理即可判定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，所以，，又在上連續(xù)不間斷，且單調(diào)增，所以的零點(diǎn)一定位于區(qū)間，故選：B.【題4】函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，故，所以的零點(diǎn)一定在內(nèi).故選：B.【題5】如果是函數(shù)的零點(diǎn)，那么一定在下列哪個(gè)區(qū)間中（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，易得是上的遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故選：【題6】設(shè)，用二分法求方程在內(nèi)近似解的過(guò)程中得，則下列必有方程的根的區(qū)間為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷．【詳解】由題可知函數(shù)為增函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理知在區(qū)間上必有根．故選：C．【題7】函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，，，，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：B【題8】函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在（

）內(nèi).A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合零點(diǎn)存在性定理列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在連續(xù)不斷，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi).故選：C.【題9】(多選)已知函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】確定函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，計(jì)算，，，，得到答案.【詳解】，，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，，故上有零點(diǎn)；，，故上有零點(diǎn)；故零點(diǎn)所在的區(qū)間為，.故選：AD【題10】(多選)若函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，且，，則下列命題不正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)B．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)【答案】ABC【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑒t中有一個(gè)小于0，另兩個(gè)大于0，或三個(gè)都小于0.若，又，則，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；若，又，則，，所以函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)有零點(diǎn)；若，又，則，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；若，又，則，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，綜上，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，因此ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：ABC.【題11】設(shè)為方程的解，若，則的值為.【答案】【分析】令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出答案.【詳解】由題意可知是方程的解，所以，令，因?yàn)?，為R上的增函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得.根據(jù)，可得.故答案為:.【題12】已知方程的根在區(qū)間，上，則．【答案】【分析】移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)后，根據(jù)零點(diǎn)定理即可求解.【詳解】原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)所在區(qū)間問(wèn)題，函數(shù)是增函數(shù)，所以，，所以，函數(shù)的零點(diǎn)在之間，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間，上，，故答案：．【題型三根據(jù)零點(diǎn)求參】【題1】若不等式的解集為，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根之間的關(guān)系求解，然后根據(jù)零點(diǎn)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以方程的兩根分別為和2，且，則，解得，故函數(shù)，則與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，所以零點(diǎn)為和.故選：D.【題2★】已知函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖，方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可看作的圖象與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，可得.故選：A.【題3】已知的零點(diǎn)為1和3，則．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)榈牧泓c(diǎn)為1和3，即的兩根為1和3，所以，解得，所以，故答案為：【題4】若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】或【分析】分和討論，當(dāng)時(shí)，利用求解可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)零點(diǎn)，所以，解得.綜上，實(shí)數(shù)的值為或.故答案為：或【題5】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】用兩個(gè)零點(diǎn)表示所求關(guān)系式即可求解.【詳解】記題設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則由知所以,所以故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將用兩個(gè)零點(diǎn)表示，結(jié)合零點(diǎn)的范圍可得答案.【題6★】已知關(guān)于x的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】畫(huà)出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像知且，解得答案.【詳解】，畫(huà)出函數(shù)和的圖像，如圖所示：不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則這個(gè)整數(shù)解為，故且，解得.故答案為：【題7★】已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】令，分析可知，方程有三個(gè)不等的實(shí)根，由可得，其中，令，其中，則函數(shù)和的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程有三個(gè)不等的實(shí)根，令，可得，其中，令，其中，則，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線和的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【題8★】已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上存在根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，則，使得成立，即在上存在根，設(shè)，則的圖象與的非負(fù)半軸有公共點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)稱軸的方程為，只需，即，設(shè)，則，使得成立，即，即在上存在根，設(shè)，則的圖象與的負(fù)半軸有公共點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)稱軸的方程為，只需，即，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【題9】已知定義在的函數(shù)，其中．(1)若方程有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由題意可將原方程變形為，利用轉(zhuǎn)化的思想可知函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）易知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則、，結(jié)合恒成立問(wèn)題，列出不等式組，解之即可求解.【詳解】（1）已知，當(dāng)時(shí)則.要使方程有解有解，即方程有根；轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象有交點(diǎn)；又函數(shù)的函數(shù)值大于，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（2）由可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，；故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為：，最小值為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式在區(qū)間上恒成立，等價(jià)于：，即，解得，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即，解得：.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【題10★】已知，(1)若定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，求a的值；(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合，得出方程，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的值；（2）令，得到，得到，令，轉(zhuǎn)化方程可化為上有兩個(gè)不相等的根，方法一：設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解；方法二：把方程化為，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，即恒成立，因?yàn)?，所以且，所以．?）解：由，令，可得，所以，兩邊同乘以并整理，得．令，因?yàn)?，所以，于是方程可化為，?）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（*）在上有兩個(gè)不相等的根，顯然，方法一：設(shè)，拋物線的對(duì)稱軸為，．若，由知，必有一個(gè)零點(diǎn)為負(fù)數(shù)，不合題意；若，要使在上有兩個(gè)零點(diǎn)，由于對(duì)數(shù)軸，故只需，即，解得．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．方法二：方程（*）可化為，若，則，矛盾，故，故，所以，即或，①;此時(shí)，，即，其中，則，即，即，可得，解得②由①②得a的取值范圍是．【題型四二分法求方程近似解】【題1】在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“二分法”的處理過(guò)程寫出第二次所取區(qū)間即可.【詳解】由題意，根據(jù)二分法取值，即判斷或的符號(hào)，所以第二次所取區(qū)間可能是或.故選：A【題2】下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)，必須滿足函數(shù)在零點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，逐一檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得出結(jié)論.【詳解】易知函數(shù)的零點(diǎn)為，而在零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)都為正，不是異號(hào)的，故不能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)；而選項(xiàng)A、B、D中的函數(shù)，它們?cè)诟髯缘牧泓c(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)；故選：C【題3】判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有無(wú)零點(diǎn)，如果有，求出一個(gè)近似零點(diǎn)（精確度0.1）？【答案】有，【分析】根據(jù)題意，利用零點(diǎn)存在定理可判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，再由二分法求近似解可將零點(diǎn)近似限定在內(nèi)，即可求得其近似零點(diǎn).【詳解】因?yàn)椋?，且函?shù)的圖象是連續(xù)的曲線，由零點(diǎn)存在定理可知它在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)近似值1.251.3751.31251.34375由于，所以函數(shù)的一個(gè)近似零點(diǎn)為.【題4】已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求方程在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)近似解．（精確度為0.1）【答案】1.2【分析】根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)就是方程在區(qū)間內(nèi)的解，由二分法求出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)就是方程在區(qū)間內(nèi)的解，由于函數(shù)和均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，，，，則的零點(diǎn)在上，又由，而，則的零點(diǎn)在上，又由，而，則的零點(diǎn)在上，又由，而，則的零點(diǎn)在上，此時(shí)滿足精確度為0.1，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)近似為1.2，故方程在區(qū)間內(nèi)的近似解為1.2．【題型五函數(shù)模型的應(yīng)用】【題1】如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（a，b為常數(shù)），若該果蔬在6℃的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在24℃的保鮮時(shí)間為8小時(shí)，那么在12℃時(shí)，該果蔬的保鮮時(shí)間為（

）A．16小時(shí) B．24小時(shí) C．36小時(shí) D．72小時(shí)【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出解析式，再將代入求值即可.【詳解】由題設(shè)，，所以時(shí)，，此時(shí)小時(shí).故選：D【題2】一種藥在病人血液中的量保持在以上時(shí)才有療效，而低于時(shí)病人就有危險(xiǎn)．現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時(shí)的比例衰減，以保證療效，那么下次給病人注射這種藥的時(shí)間最遲大約是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．5小時(shí)后 B．7小時(shí)后C．9小時(shí)后 D．11小時(shí)后【答案】B【分析】設(shè)小時(shí)后減少到，依題意可得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】設(shè)小時(shí)后減少到，則，則，即，則，則，則注射時(shí)間需小于小時(shí).故選：B．【題3】在一次物理實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)測(cè)量獲得如下數(shù)據(jù)：123455.38011.23220.18434.35653.482下列所給函數(shù)模型較適合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由數(shù)據(jù)中y隨x的變化情況，分析適用的函數(shù)模型.【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大，且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而A中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變，B中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，C中的函數(shù)是隨x的增大而y減小，D中的函數(shù)符合題意.故選:D．【題4】紅星幼兒園要建一個(gè)長(zhǎng)方形露天活動(dòng)區(qū)，活動(dòng)區(qū)的一面利用房屋邊墻（墻長(zhǎng)），其它三面用某種環(huán)保材料圍建，但要開(kāi)一扇寬的進(jìn)出口（不需材料），共用該種環(huán)保材料，則可圍成該活動(dòng)區(qū)的最大面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)這個(gè)活動(dòng)區(qū)垂直于墻的一邊長(zhǎng)是，則平行于墻的一邊是，面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】設(shè)這個(gè)活動(dòng)區(qū)垂直于墻的一邊長(zhǎng)是，則平行于墻的一邊是，面積，墻長(zhǎng)，所以，解得，對(duì)稱軸方程，拋物線開(kāi)口向下，，函數(shù)在上遞減，當(dāng)時(shí)，最大為（），故選：C．【題5】2022年12月7日，國(guó)務(wù)院發(fā)布了精準(zhǔn)防控新冠疫情的十條最新措施，以減輕疫情防控對(duì)企業(yè)經(jīng)營(yíng)和民眾生活帶來(lái)的損失．某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為10萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為10