專題6 全等三角形與三條線段的和差問題（原卷版）

專題6全等三角形與三條線段的和差問題（原卷版）類型一a＝b＋c或a＝b－c類型解決策略一等量代換名師點金：通過圖中線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，通過全等得到線段等，直接代換，將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問題．模型一旋轉(zhuǎn)型全等1．（2021秋?臨沂期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是直線AB上的一動點（不和A，B重合），BE⊥CD交CD所在的直線于點E，交直線AC于F．（1）點D在邊AB上時，如圖，試探索AB、FA和BD之間的等量關(guān)系，并說明理由；（2）點D在AB的延長線或反向延長線上時，請選擇一種情況，畫出圖形，寫出AB、FA和BD之間的等量關(guān)系，并說明理由．模型二一線三垂直模型2．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是過點A的一條直線，BD⊥l，CE⊥l，垂足分別為D、E．（1）如圖①，求證：DE＝BD+CE；（2）若直線l繞A點旋轉(zhuǎn)到圖②位置時，其余條件不變，請把圖形補充完整，寫出BD、CE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

模型三一線三等角（不為直角）模型3．（2023春?惠民縣期末）如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA＝CB，E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝∠CFA＝α．?（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上．①如圖1，若∠BCA＝90°，α＝90°，證明BE＝CF．②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于α與∠BCA關(guān)系的條件，使①中的結(jié)論仍然成立，并說明理由．（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，α＝∠BCA，請?zhí)岢鲫P(guān)于EF，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并簡述理由．

解決策略二截長補短法名師點金：截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段；或者將短線段直接延長至等于長線段。無論截長還是補短都需要將幾條線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過兩對全等實現(xiàn)。模型一角平分線與線段和差方法1根據(jù)角平分線作對稱性全等4．已知，如圖，BD是△ABC的角平分線，AB＝AC，（1）若BC＝AB+AD，請你猜想∠A的度數(shù)，并證明；（2）若BC＝BA+CD，求∠A的度數(shù)？（3）若∠A＝100°，求證：BC＝BD+DA．5．（2021春?鄞州區(qū)校級期末）如圖，△ABC的∠B和∠C的平分線BD，CE相交于點F，∠A＝60°，（1）求∠BFC的度數(shù)．（2）求證：BC＝BE+CD．

6．（2023春?達(dá)川區(qū)期末）如圖，在△ABC和△BCD中，AC＝CD，∠BAC+∠BDC＝180°，在BD的延長線上取點E，使DE＝AB，連接CE．（1）試說明：∠ABC＝∠DBC；（2）連接AD交BC于點F，若∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，試說明：BD＝AB+AF．方法2根據(jù)平分平行出等腰（知二推三）7．（2022秋?建昌縣期末）如圖，AD∥BC，AE平分∠BAD，點E為DC中點，求證：AD+BC＝AB．

模型二倍半角與線段和差8．（2023春?扶風(fēng)縣期末）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=12∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系：（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF=12∠BAD，（（3）在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD所在直線上的點，且∠EAF=12∠BAD．請直接寫出線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系：

模型三手拉手模型與線段和差9．（2023春?榮成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B兩點作互相平行的直線AM，BN，過點C的直線分別交直線AM，BN于點D，E．（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關(guān)系，并說明理由．模型四倍長中線模型與線段和差10．（2022秋?葫蘆島期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點，E為CD的中點．（1）如圖1，連接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的長．（2）如圖2，F(xiàn)為AC上一點，連接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求證：BD+CF＝AB．

模型五根據(jù)一邊一角相等構(gòu)造全等11．（2022秋?青神縣期末）如圖，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點E在AB上，點F在射線AC上，連結(jié)AD，若AD＝AB．求證：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．類型二2a＝b＋c或2a＝b－c類型12．（2023春?北林區(qū)期末）如圖，已知DE⊥AE，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，BD＝CD，BE＝CF．（1）證明：AD平分∠BAC；（2）證明：AB+AC＝2AE．

13．（2023春?渠縣校級期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且∠B＝∠ADB，過點C作CM垂直于AD的延長線，垂足為M．（1）若∠DCM＝α，試用α表示∠BAD；（2）求證：AB+AC＝2AM．14．（2023春?漳州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC