2.5等腰三角形的軸對稱性（2）（分層練習(xí)）解析版

2.5等腰三角形的軸對稱性（2）分層練習(xí)考查題型一等腰三角形的判定1．（2022春·廣東深圳·八年級?？茧A段練習(xí)）對“等角對等邊”這句話的理解，正確的是（

）A．只要兩個角相等，那么它們所對的邊也相等B．在兩個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等C．在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等D．以上說法都是正確的【答案】C【解析】解：“等角對等邊”是等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等的簡寫形式，意思是：在一個三角形中，如果有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等．故C正確；A、B可以舉反例說明，如圖：DE∥BC，∠ADE=∠B，但AE≠AC．故A、B都錯誤；故D也錯誤．故選：C．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，關(guān)于△ABC，給出下列四組條件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的條件共有（）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】D【解析】解：①∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正確；②∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，則AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故②正確；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，則AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，故③正確；④∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正確；即正確的個數(shù)是4，故選：D．3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知等腰三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC=36°．現(xiàn)要將其剪成三張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形（不能有剩余）．兩名同學(xué)提供了如下方案：方案Ⅰ方案Ⅱ如圖1，①分別作AB，AC的垂直平分線，交于點P；②選擇PA，PB，PC．如圖2，①以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點D，交AB于點E；②連接DE，BD．對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是________．【答案】Ⅰ、Ⅱ【解析】解：∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴PA=PB（垂直平分線上的點到兩端點的距離相等），同理，得PA=PC，∴PA=PB=PC，∴△PAB，連接BD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∴∠DBC=180°-72°×2=36°，∴△BDC是頂角為36°的等腰三角形．∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=36°，∴BD=BE，∴△BDE是頂角為36°的等腰三角形．∵∠BED=∠BDE=1∴∠AED=180°-∠BED=108°，∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=36°，∴，∴AE=DE，∴△AED是頂角為108°的等腰三角形，故答案為Ⅰ、Ⅱ.4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，∠B=∠C，BD=CE，求證：△ABD≌△ACE【解析】證明：∵∠B=∠C，∴AC=AB，在△ABD和△ACE中，AB∴△ABD≌△ACE（SAS）考查題型二等邊三角形的性質(zhì)1．（2023春·廣東梅州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，點E在AC上，AE＝AD，則∠EDC等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，∵AD是等邊三角形ABC的中線，∴∠CAD＝12∠BAC＝30°，AD⊥BC∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵∠AED＋∠ADE＋∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝15°，故選：A．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點O是BC上任意一點，OE，OF分別于兩邊垂直，等邊三角形的高為2，則OE+OF的值為．【答案】2【解析】解：連接OA，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∵OE⊥AB,OF⊥AC，等邊三角形的高為2，又∵S△ABC∴?1∴OE+OF=2，故答案為：2．3．（2023秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．【解析】證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝12∠BCD＝30°∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角對等邊）．考查題型三等邊三角形的判定1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）下列說法：①在△ABC中，若AB=AC，則△ABC為等邊三角形；②在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，則△ABC為等邊三角形；③有兩個角都是60°的三角形是等邊三角形；④一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形．其中正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：①根據(jù)等腰三角形的定義可得△ABC為等腰三角形，結(jié)論錯誤；②根據(jù)判定定理1可得△ABC為等邊三角形，結(jié)論正確；③一個三角形中有兩個角都是60°時，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得第三個角也是60°，那么這個三角形的三個角都相等，根據(jù)判定定理1可得△ABC為等邊三角形，結(jié)論正確；④根據(jù)判定定理2可得△ABC為等邊三角形，結(jié)論正確．故選：C．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形紙片ABCD：①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF；②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿BH和CH剪下△BCH．則判定△BCH為等邊三角形的依據(jù)是（

）A．三邊都相等的三角形是等邊三角形 B．三個角都相等的三角形是等邊三角形C．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形 D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】A【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴B=BC=CD=DA，由翻折變換得，AB=BH，∴BH=BC，∵EF是BC的垂直平分線，∴BH=CH，∴BH=CH=BC，∴△BHC是等邊三角形，故選：A．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）飛機螺旋槳三個葉片的長度相等，每兩個葉片（中心線）所成的角為120°．如果用線段把每兩個葉片的外端連結(jié)起來，那么所得的三角形是等邊三角形嗎？請說明理由．【詳解】解：如圖，由題意得：OA=OB=OC，∴△OAB,△OAC,△OBC均為等腰三角形，∵，∴∠BAO=∠ABO=1同理可得：∠BCO=∠CBO=30°,∠ACO=∠CAO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=60°，∠BAC=∠BAO+∠CAO=60°∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形．4．（2023春·山西太原·八年級山西大附中?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，已知D是邊BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E、F為垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求證：△ABC是等邊三角形．【解析】證明：∵D是BC的中點，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角對等邊）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．考查題型四等邊三角形的判定和性質(zhì)綜合運用1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AD=BE B．∠DOE=60° C．DE=DP D．PQ【答案】C【詳解】解：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∠ACD=∠BCE=120°，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，故選項A不合題意；∵∠DOE=∠DAC+∠BEC，∴∠DOE=∠CBE+∠BEC=∠ACB=60°，故選項B不合題意；在△ACP和△BCQ中，∠CAD=∠CBEAC=BC∴△ACP≌△BCQ(ASA∴PC=CQ，又∵∠BCD=60°，∴△CPQ是等邊三角形，∴∠CPQ=60°，∴∠CPQ=∠ACB，∴PQ∥AE，故選項∵DC=DE，若DE=DP，則DC=DP，則∠DPC=∠DCP=60°，而∠DPC一定不等于60°，故選項C不成立，符合題意，故選：C．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E、F分別在AB、BC、AC上；若BD=CE，BE=CF，求證：(1)△DBE≌△ECF；(2)△DEF是等邊三角形．【解析】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°在△DBE和△ECF中BD=CE∴△DBE≌△ECF；（2）∵△DBE≌△ECF，∴DE=EF，∠BDE=∠CEF，∵∠CED=∠BDE+∠B=∠CEF+∠DEF∴∠DEF=∠B=60°∴△DEF是等邊三角形．3．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）等邊△ABC中，點P在△ABC內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試說明你的結(jié)論．【解析】解：△APQ為等邊三角形．∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，在△ABP與△ACQ中，∵AB=AC∠ABP=∠ACQ∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ，∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，∴△APQ是等邊三角形．（2023春·八年級課時練習(xí)）在邊長為9的等邊三角形ABC中，點Q是BC上一點，點P是AB上一動點，以每秒1個單位的速度從點A向點B移動，設(shè)運動時間為t秒．(1)如圖1，若BQ=6，PQ∥AC，求(2)如圖2，若點P從點A向點B運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點B經(jīng)點C向點A運動，當(dāng)t為何值時，△APQ為等邊三角形？【解析】（1）解：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，PQ∥∴∠BQP=∠C=60°，∠BP