專題07 解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略（解析版）2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略蘇科版

第第頁專題07解題技巧專題：構(gòu)造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】 1【類型二過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】 12【類型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 21【典型例題】【類型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2022秋·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖中，、的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個(gè)等腰三角形，且與、的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點(diǎn)作交于，交于．請(qǐng)直接寫出與、間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)；(2)成立；理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，、的平分線相交于點(diǎn)，可得，，，，再加上題目中給出的，可得出等腰三角形的個(gè)數(shù)；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出與、之間的關(guān)系；（2）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出與、的關(guān)系；（3）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出與、的關(guān)系．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵、的平分線相交于點(diǎn)，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共個(gè)，與、的數(shù)量關(guān)系是：，故答案為：；．（2）與、的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）與、間的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分別是與的角平分線，∴，，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)．線段間的等量代換是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶合川·八年級(jí)期末）如圖，在中，，是的角平分線，交AB于點(diǎn)F．的一個(gè)外角的平分線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)若，求的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的概念得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明出；（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到，然后根據(jù)角平分線的概念得到，，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵是的角平分線，∴∵∴∴∴；（2）∵，∴∴∵是的角平分線，是的角平分線，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的概念，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．2．（2023春·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若是上的一點(diǎn)，且，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等，已知頂角，可以求出底角，再根據(jù)角平分線的定義求出，最后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出；（2）先證明，再得出，，根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵∴；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形全等，考核學(xué)生的推理能力，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知平分且點(diǎn)M是射線上一動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)N．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求證：；(3)試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出角度之間的關(guān)系，利用角平分線求出相等的角，最后推出答案.（2）延長(zhǎng)交于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得是等腰三角形，由“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)可得，再根據(jù)ASA證明，由此可證.（3）延長(zhǎng)交于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得是等腰三角形，由“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)可得，再根據(jù)ASA證明由此可證最后可證得.【詳解】（1）∵平分，．（2）如圖，延長(zhǎng)交于E，

∵平分為等腰三角形，

在和中，，（3）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，

∵平分為等腰三角形，，

在和中，，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.4．（2023春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知△ABC．(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖①，若點(diǎn)D是和的角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)D作分別交，于E，F(xiàn)．填空：與的數(shù)量關(guān)系是______．請(qǐng)說明理由(2)猜想論證如圖②，若點(diǎn)D是外角和的角平分線的交點(diǎn)，其他條件不變，填：與的數(shù)量關(guān)系是______．請(qǐng)說明理由(3)類比探究如圖③，若點(diǎn)D是和外角的角平分線的交點(diǎn)．其他條件不變，則（1）中的關(guān)系成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)寫出關(guān)系式，再證明．【答案】(1)(2)，理由見詳解(3)不成立，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)，得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，同理得到，結(jié)合圖形證明即可；（2）仿照（1）的證明方法，先利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，再利用等角對(duì)等邊，得到邊與邊的關(guān)系，解答即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到，得到，結(jié)合圖形解答即可．【詳解】（1）解：平分，，，，，，同理，，故答案為：；（2）解：平分，，，同理，，故答案為：；（3）解：不成立．．理由如下：，．平分，，，，同理：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，掌握平行線的性質(zhì)定理、等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)．(1)當(dāng)是的角平分線，點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖①，求證：；（提示：延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)．）(2)當(dāng)是的角平分線，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖②；當(dāng)是外角的角平分線，點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在（1）、（2）的條件下，若，則_____________．【答案】(1)見解析(2)圖②，；圖③，；(3)2或14【分析】（1）延長(zhǎng)、相交與點(diǎn)G，先證明，再證明，得到，即可得到結(jié)論；（2）如圖②，設(shè)與相交于于點(diǎn)P，先證，再證，得到，即可得到結(jié)論；如圖③，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，先證明，再證，，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論，結(jié)合圖形，分三種情況討論求解即可．【詳解】（1）證明：如圖①，延長(zhǎng)、相交與點(diǎn)G，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（2）如圖②，設(shè)與相交于于點(diǎn)P，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；如圖③，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，∵是外角的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即；（3）如圖①，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴,∴，∴；如圖2，∵不成立，此種情況不存在；如圖③，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：2或14【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類型二過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】例題：（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：等邊中．(1)如圖1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點(diǎn)M在AB邊上（M為非中點(diǎn)，不與A，B重合），點(diǎn)N在CB的延長(zhǎng)線上且，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，滿足，求的值．【答案】(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出，設(shè),則,可求出答案；（2）如圖2，過點(diǎn)M作交AC于點(diǎn)G，根據(jù)可證明，得出，則結(jié)論得證；（3）如圖3，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)M，根據(jù)可證明，得出，得出，則答案可求出．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，，設(shè)，則，，∴，∴．（2）如圖2，過點(diǎn)M作交AC于點(diǎn)G，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴．（3）如圖3，過點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)M，∴為等邊三角形，∴，，∵P為AC的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P為AC的中點(diǎn)，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度角直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并說明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過程）．(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，且，若的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)，見解析(3)3【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到，再由等邊三角形的性質(zhì)得到，然后證，得出即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，證出為等邊三角形，得出，再證，得出，即可得出結(jié)論；（3）點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，作，同（2）得出為等邊三角形，，則，，即可得出答案．【詳解】（1），理由如下：，，三角形為等邊三角形，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，，，，，，；（2），理由如下：過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，則，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，；（3）點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，作，同（2）可得則為等邊三角形，如圖所示，同理可得，∵，，∴，，∵，則．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·遼寧大連·八年級(jí)期末）是等邊三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)是上任意一點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接．求的度數(shù)【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，再由“三線合一”的性質(zhì)及角平分線得出，再由等角對(duì)等邊即可證明；（2）延長(zhǎng)至，使，連，根據(jù)全等三角形的判定得出，，再由其性質(zhì)結(jié)合圖形找出各角之間的關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：在等邊中，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，平分，∵，∴，∴，，∴，∴．（2）如圖所示，延長(zhǎng)至，使，連，∵為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∴．∴，，，∴又∵，∴在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等邊中，是的中點(diǎn)，，的兩邊分別交直線、于、．(1)問題：如圖1，當(dāng)、分別在邊、上，，時(shí)，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；(2)探究：如圖2，當(dāng)落在邊上，落在射線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？寫出理由；(3)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)落在射線上，F(xiàn)落在射線上時(shí)，，，則___________．【答案】(1)；理由見解析(2)；理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)證明，可得結(jié)論；（2）如圖1，分別過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由（1）同理得出．證明，則可得出結(jié)論；（3）如圖2，過點(diǎn)作，由等邊三角形的性質(zhì)和判定證明，從而得的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：，理由如下：是等邊三角形，，是的中點(diǎn)，，，，，，；故答案為：；（2）解：結(jié)論成立．．理由：如圖1，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由（1）可得：，，，，，．在和中，，，；（3）解：如圖2中，過作交于點(diǎn)，，同理可證，，．，，，，，，，，，．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了垂直的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．【類型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】例題：（2022秋·黑龍江大慶·八年級(jí)大慶市第六十九中學(xué)校考期中）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D．求證：．

【答案】證明見解析【分析】方法一：（截長(zhǎng)）在上截取，連接．結(jié)合角平分線的定義，證明，得到，，再利用三角形外角的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，即可證明結(jié)論；方法二：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接．結(jié)合角平分線的定義，證明，得到，再利用三角形外角的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，即可證明結(jié)論；方法三：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，，再結(jié)合三角形角平分線的定義和外角的性質(zhì)，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】證明：方法一：（截長(zhǎng)）在上截取，連接．

在和中，，，，，，，，；方法二：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接．

在和中，，，，，，，；方法三：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連接，

，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形角平分線的定義，外角的性質(zhì)，利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”模型添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，，(1)如圖①，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上截取，連接，易證．請(qǐng)證明；(2)①如圖②，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時(shí)，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想并證明．【答案】(1)證明見解析(2)①；②，證明見解析【分析】（1）先證明，然后證明，進(jìn)而推導(dǎo)可得結(jié)論；（2）①首先在上截取，連接，易證，則可得，又由，，所以，即，易證，則可求得；②首先在的延長(zhǎng)線上截取，連接，易證，可得，又由，易證，則可求得．【詳解】（1）∵為的角平分線，∴，在和中，∵∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①猜想：．證明：如圖，在上截取，連接，∵為的角平分線時(shí)，∴，∵，∴，∴，，∵，∴．∵，∴，∴，∴．②猜想：．證明：在的延長(zhǎng)線上截取，連接．∵平分，∴．在與中，，，，∴．∴，．∴．又，，．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題背景】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿