專題13 圖形變換綜合問題（原卷版）【浙江專用】

決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘（浙江專用）專題13圖形變換綜合問題【例1】（2019?紹興）正方形ABCD的邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點(diǎn)D．在點(diǎn)E從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【例2】（2019?金華）圖2，圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是門軸的滑動(dòng)軌道，∠E＝∠F＝90°，兩門AB、CD的門軸A、B、C、D都在滑動(dòng)軌道上，兩門關(guān)閉時(shí)（圖2），A、D分別在E、F處，門縫忽略不計(jì)（即B、C重合）；兩門同時(shí)開啟，A、D分別沿E→M，F(xiàn)→N的方向勻速滑動(dòng)，帶動(dòng)B、C滑動(dòng)：B到達(dá)E時(shí)，C恰好到達(dá)F，此時(shí)兩門完全開啟，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如圖3，當(dāng)∠ABE＝30°時(shí)，BC＝cm．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動(dòng)15cm時(shí)，四邊形ABCD的面積為cm2．【例3】（2019?寧波）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點(diǎn)D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時(shí)，AP的長為．【例4】（2019?舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個(gè)平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長為cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為cm2．【例5】（2019?紹興）如圖，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點(diǎn)P，記k＝MN：EF．（1）若a：b的值為1，當(dāng)MN⊥EF時(shí)，求k的值．（2）若a：b的值為12，求k（3）若k的值為3，當(dāng)點(diǎn)N是矩形的頂點(diǎn)，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE時(shí)，求a：b的值．【例6】（2019?臺(tái)州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是BA延長線上的一點(diǎn)，連接PC交AD于點(diǎn)F，AP＝FD．（1）求AFAP（2）如圖1，連接EC，在線段EC上取一點(diǎn)M，使EM＝EB，連接MF，求證：MF＝PF；（3）如圖2，過點(diǎn)E作EN⊥CD于點(diǎn)N，在線段EN上取一點(diǎn)Q，使AQ＝AP，連接BQ，BN．將△AQB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)Q'落在邊AD上．請判斷點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)B'是否落在線段BN上，并說明理由．【例7】（2019?金華）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O．求證：BD＝2DO．（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．②若AD＝6BD，是否存在點(diǎn)E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由．【例8】（2019?衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BM并延長分別交DE，AC于點(diǎn)F、G．（1）求CD的長．（2）若點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，求EFDF（3）請問當(dāng)DM的長滿足什么條件時(shí)，在線段DE上恰好只有一點(diǎn)P，使得∠CPG＝60°？1．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P，Q在對角線BD上，且BQ=23BP，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，連接HQ，以PH、HQ為鄰邊作平行四邊形PHQG，設(shè)BQ＝（1）若m＝2時(shí)，求此時(shí)PH的長．（2）若點(diǎn)C，G，H在同一直線上時(shí)，求此時(shí)的m值．（3）若經(jīng)過點(diǎn)G的直線將矩形ABCD的面積平分，同時(shí)該直線將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，求此時(shí)m的值．2．（2020?東陽市模擬）如圖，已知點(diǎn)A（0，8），B（16，0），點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），連結(jié)AP，把△OAP沿著AP折疊后，點(diǎn)O落在點(diǎn)C處，連結(jié)PC，BC，設(shè)P（t，0）．（1）如圖1，當(dāng)AP∥BC時(shí)，試判斷△BCP的形狀，并說明理由．（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，求t的值．（3）如圖2，過點(diǎn)B作BH⊥直線CP，垂足為點(diǎn)H，連結(jié)AH，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．3．（2020?永康市一模）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對折，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G．（1）如圖2，當(dāng)EF∥BD，且點(diǎn)G落在對角線BD上時(shí)，求DG的長；（2）如圖3，連接DG，當(dāng)EF∥BD且△DFG是直角三角形時(shí)，求AE的值；（3）當(dāng)AE＝2AF時(shí)，F(xiàn)G的延長線交△BCD的邊于點(diǎn)H，是否存在一點(diǎn)H，使得以E，H，G為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似，若存在，請求出AE的值；若不存在，請說明理由4．（2020?寧波模擬）如圖，矩形ABCD中．AB＝6，BC＝8，在所給的3個(gè)矩形中分別畫1個(gè)菱形，要求菱形的頂點(diǎn)都在矩形的邊上，且畫出菱形后整個(gè)圖形分別符合下列條件，并在橫線上直接寫出菱形的面積．①是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；②既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形且菱形四個(gè)頂點(diǎn)落在矩形不同邊上；③是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形且菱形面積最大．S＝；S＝；S＝．5．（2020?寧波模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊上一點(diǎn)，先把正方形ABCD沿線段AE剪開，再將四邊形ABCE沿某一條線段m剪開，使剪開后的三塊圖形能以不重疊、無縫隙的方式重新拼成與原圖形不全等的菱形或矩形．設(shè)DE＝x．（1）當(dāng)x＝0.5時(shí)，求所拼菱形的邊長，并在圖中畫出線段m的位置．（2）當(dāng)所拼矩形的一邊長為0.8時(shí)，求矩形的另一邊長和x的值．（3）舉例說明存在分?jǐn)?shù)x，能使所拼菱形或矩形的邊長都是分?jǐn)?shù)．6．（2020?寧波模擬）如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)D是BC延長線上一點(diǎn)．若△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，求CD的長；（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，求BD的長．7．（2020?金東區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝82．點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點(diǎn)為G．（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)．①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．②當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長．（2）當(dāng)AE＝3，點(diǎn)G在△DEF一邊所在直線上時(shí)，求AD的長．8．（2020?黃巖區(qū)模擬）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為70°時(shí)，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝60厘米，DC＝40厘米，求點(diǎn)D'到BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）10．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖①是一個(gè)小箱子ABCDE放在桌面MN上的示意圖，BC這部分可彎曲，在彎曲時(shí)形成一段圓弧，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點(diǎn)B，C分別為切點(diǎn)，小箱子蓋面CD與桌面MN平行，此時(shí)CD距離桌面14cm，已知AB的長10cm，CD的長為25.2cm．（1）如圖①，求弧BC的長度（結(jié)果保留π）．（2）如圖②，若小箱子ABCDE打開后弧BC所對的圓心角度數(shù)為60°，求小箱子頂端D到桌面MN的距離DH（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7311．（2020?椒江區(qū)模擬）如圖，在四邊形ADBC中，BA平分∠DBC，且∠BDA＝∠BAC＝90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)F．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）當(dāng)∠DBA＝30°時(shí)，求BFBA（3）是否存在點(diǎn)F，使F是AB的三等分點(diǎn)？若存在，請求出∠DBA的度數(shù)；若不存在，請說明理由；（4）求∠BDE的最大值．12．（2020?鄧州市一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠BEC＝°．（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點(diǎn)B，D，E在同一直線上．請判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）【解決問題】如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，AE＝3．將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)C到直線DE的距離是多少？（要求畫出示意圖并直接寫出答案）13．（2020?豐臺(tái)區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連結(jié)CD并延長交AB于點(diǎn)F，連結(jié)BD，CE．（1）求證：△ACE≌△ABD；（2）當(dāng)CF⊥AB時(shí)，∠ADB＝140°，求∠ECD的度數(shù)．14．（2020?黃巖區(qū)模擬）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點(diǎn)D是射線OM上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，設(shè)OD＝m．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△CDE的形狀是三角形．（2）探究證明如圖2，當(dāng)6＜m＜10時(shí)，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）解決問題是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．15．（2020?河南模擬）某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時(shí)，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①CF與BC的位置關(guān)系；②CF，DC，BC之間的數(shù)量關(guān)系為（直接寫出結(jié)論）；（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，（1）中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，將△DAF沿線段DF翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，連接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，請求出線段CE的長．16．（2020?拱墅區(qū)模擬）如圖1，已知O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點(diǎn)F，OD到點(diǎn)E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖2）．（1）探究AE'與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)α＝30°時(shí)，求證：△AOE'為直角三角形．17．（2020?營口模擬）把兩個(gè)全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．18．（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC（1）李明同學(xué)做了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP'，可說明△APP'是