2022年南寧市重點高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知向量2=（2,—4）,b=（k,3）,且￡與萬的夾角為135°,貝！U=（）

A.-9B.1C.—9或1D.一1或9

3

2.一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是二,則判斷框中應(yīng)填入的條件是（）

4

C.z>4?D.i<4?

3.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢

達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,

33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（）

1234

A.-B.—C.—D.一

5555

4.若點仁二:位于由曲線二=?二_胃+]與二=_；圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則「.的取值范圍是（）

A,[-3,1]B,[-3,5]C,（-x,-3]u[5,+X）D-（-X,-3]U[J,+X）

5.劉徽（約公元225年-295年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的，“割

之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓

術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正“邊形等分成〃個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)"變得很大時，這“個等腰三角形的

面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想，得到sin2的近似值為（

7171

B>D.

90總270360

6.已知函數(shù)/(x)=f-3x+5,g(x)=ox-lnx,若對Vxe(O,e),池,工2￡（。,0）且工產(chǎn)工2，使得

/（x）=g5）a=i,2）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

7A7、7\

16

44

C.o,-Ue4D.一,e

e

7/7

(31)(一)

7.已知復(fù)數(shù)2=（i為虛數(shù)單位）,則下列說法正確的是()

?2019

A.Z的虛部為4復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限

C.z的共樞復(fù)數(shù)==4—2iD.忖=26

8={小<1},則(

8.已知集合A=卜,<1},)

A.AnB=|x|x<l}B.A^jB=\x\x<e

C.=x<D.AnB=1x|O<x<l|

22

9.已知直線/：履一丫一3人+1=0與橢圓q：與+%=1（。>匕>0）交于A、B兩點,與圓。2：（x-3）2+（y-l）2=l

交于。、。兩點.若存在攵￡[—2,—1],使得/=麗，則橢圓G的離心率的取值范圍為（）

A.B?仁,1)D心」）

10.已知圓G：（%—l）2+（y+l）2=l,圓G：。一4）2+（丁一5）2=9,點M、N分別是圓C、圓G上的動點，P

為x軸上的動點，貝！||附|一仍根的最大值是（）

A.2逐+4B.9C.7D.2石+2

11.（%+1）（2%+1）（3%+1>-（，比+1乂"€n*）的展開式中》的一次項系數(shù)為（）

D-

12.函數(shù)二（二）=+三三的定義域為（）

A.，，3)U(3,+oo)B.(-a),3)U(3,+oo)

C.邑+oo）D.（3,+oo）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在棱長為1的正方體ABC。-4與中，P、。是面對角線AG上兩個不同的動點.以下四個命題：①存在

P、。兩點，使BPLOQ；②存在尸、。兩點，使BP、OQ與直線BC都成45。的角；③若|PQI=1,則四面體

BOPQ的體積一定是定值；④若|PQ|=I,則四面體BOP。在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值.其中為

真命題的是—.

14.在數(shù)列{4}中，6=l,an+l=2n-a?,則數(shù)列{%}的通項公式a,=.

15.設(shè)全集U=R,集合A={x|Y-2x<0},8={x|x>l},則集合Ac&B）=.

16.如圖，直線/，平面a,垂足為0,三棱錐A-BC。的底面邊長和側(cè)棱長都為4,C在平面a內(nèi)，3是直線/上

的動點，則點3到平面ACD的距離為,點。到直線AD的距離的最大值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐中，底面A5CO為菱形，底面ABC。，N8AO=60。，AB=PA=4,E是

RI的中點，AC,BD交于點0.

（1）求證：OE〃平面尸5C；

（2）求三棱錐E-PBD的體積.

18.（12分）已知函數(shù)二仁）=?-_j??叩記-仁.的最小值為-

(I)解不等式二｛二；w5；

(H)若正實數(shù)-，-滿足,求證：，，.

~~T+T=,+由—口

19.(12分)如圖所示，已知AC_L平面COE,BD//AC,AECD為等邊三角形,F為邊ED上的中點,且

CD=BD=2AC=2.

(I)求證：面43E;

(II)求證：平面ABEL平面BOE;

(ID)求該幾何體E-ABDC的體積.

20.(12分)f(x)=ex-mx.

(1)若曲線y=lnx在點(eZ,2)處的切線也與曲線y=/(x)相切，求實數(shù)〃?的值；

(2)試討論函數(shù)f(x)零點的個數(shù).

21.(12分)在銳角AABC中，a,b,c分別是角A,B,。所對的邊，AABC的面積S=2,且滿足

acosB=Z?(1+cosA),則(c+a-A)(c+/?-a)的取值范圍是()

A.(8V2-8,8)B.(0,8)C.蟲3心,8百D.巫B,8

I3)(3,

22.(10分)在AABC中，內(nèi)角ARC的對邊分別為a,b,c,且8cos2交一一2cos2A=3

2

(1)求A；

(2)若a=2,且AAbC面積的最大值為6,求AAHC周長的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，求上的值.

【詳解】

a%2k—126

解：由題意可得cos135—-n——=——7=^^==-----,

⑷?⑸V4+16->Ae+92

求得左=—9,或左=1,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型，得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì)，然后對循環(huán)體進(jìn)行分析，找出循環(huán)規(guī)律，判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次

數(shù)以及i的關(guān)系，最終得出選項.

【詳解】

經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu)，判斷框為跳出循環(huán)的語句，

第一次循環(huán)：S=0+」-=L7=1+1=2；

1x22

第二次循環(huán)：5=上1+」1一=一7，i=2+l=3；

22x33

213

第三次循環(huán)：5=-+—=-,[=3+1=4,

33x44

此時退出循環(huán)，根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句，.?"<4?,故選D.

【點睛】

題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：（1）不要混淆處理框

和輸入框；（2）注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；（3）注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；（4）處

理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；（5）要注意各個框的順序，（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題

中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達(dá)到輸出條件即可.

3.C

【解析】

先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數(shù)為C；=10,再求出6和28恰好在同一組

包含的基本事件個數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，

則基本事件總數(shù)為C；=10,

則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù)+C；=4,

10-43

...6和28不在同一組的概率P=一歷一=(.

故選：C.

【點睛】

本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.

4.D

【解析】

畫出曲線-=「_]+;與-=；圍成的封閉區(qū)域，-一表示封閉區(qū)域內(nèi)的點.和定點「門連線的斜率，然后結(jié)合

圖形求解可得所求范圍.

【詳解】

畫出曲線二=?二_」+j與二=二圍成的封閉區(qū)域，如圖陰影部分所示.

_.表7K封閉區(qū)域內(nèi)的點，?二二、和定點二連線的斜率,

設(shè)二二法，結(jié)合圖形可得二2二二或二二二二,

由題意得點A,B的坐標(biāo)分別為二30)二了

二>/或二<-3*

'王的取值范圍為(-乙-3]"，+￡)?

u一)

故選D.

【點睛】

解答本題的關(guān)鍵有兩個：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問題，即把看作兩點間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲線

三

所圍成的封閉區(qū)域.考查轉(zhuǎn)化能力和屬性結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

3600136()。

設(shè)圓的半徑為一,每個等腰三角形的頂角為拜-，則每個等腰三角形的面積為-rsin二一，由割圓術(shù)可得圓的面積為

n2n

7rr2=n-r2sin—，整理可得sin—=二,當(dāng)〃=180時即可為所求.

2nnn

【詳解】

由割圓術(shù)可知當(dāng)?變得很大時，這?個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，

360°

設(shè)圓的半徑為r，每個等腰三角形的頂角為——，

n

I360。

所以每個等腰三角形的面積為-r2sin--,

2n

士1.360°,360°2乃

所以圓的面積為萬，2=〃.一廠2sin-----，即ansin------=——，

2nnn

所以當(dāng)〃=180時，可得sin-----=sin2°=,

18018090

故選:A

【點睛】

本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.

6.D

【解析】

先求出了(X)的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)g(x)在區(qū)間(o,e)上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范

圍即可.

【詳解】

因為g(x)=?-加3故g，(X)="X_l,

當(dāng)aKO時,g'(x)<0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞減；

當(dāng)azg時，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(O,e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令g<x)=O,解得％=：,

故g(x)在區(qū)間(0,小單調(diào)遞減，在區(qū)間[J上單調(diào)遞增.

又g(「=l+/〃a,g(e)=?-l,且當(dāng)"趨近于零時，g(x)趨近于正無窮;

對函數(shù)/(x),當(dāng)xe(O,e)時，2，5)；

根據(jù)題意，對Vxe(0,e),%6(0,0)且%/々，使得/0)=8(%)"=1，2)成立,

只需｝g(e)N5,

即可得1+勿a<U,0—125,

4e

「6n

解得ae-,e4.

上)

故選：D.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜

合困難題.

7.D

【解析】

利用i的周期性先將復(fù)數(shù)z化簡為z=T+2i即可得到答案.

【詳解】

4i+24i+24i+2

因為12=一1，/=],j5=i，所以i的周期為4,故z=后^=—^=—=—4+2i,

11—1

故二的虛部為2,A錯誤；z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-4,2),在第二象限，B錯誤；z的共

22

物復(fù)數(shù)為W=-4—2i，C錯誤；|z|=7(-4)+2=275.D正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識，是一道基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

求出集合3,計算出ACB和AU8,即可得出結(jié)論.

【詳解】

=B=[卜'<1}={x|x<O},Ac3={xk<0},ADB={X|X<1}.

故選：C.

【點睛】

本題考查交集和并集的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.A

【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到A,8坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率攵與A3坐標(biāo)的關(guān)系，由

此化簡并求解出離心率的取值范圍.

【詳解】

設(shè)4（不凹）,6（馬,%），且線/：依一y-3Z+l=0過定點（3,1）即為G的圓心，

X1+%=%+X。=2x3=6

因為亞=。方，所以*

）1+%=汽+%=2x1=2

又因為膜:%二/所以"（1）=”-孫

所以皿=一《?山*

所以k=—E[―2,—1],

aX+%

2「12122「12]…小2\「12

所,b以3與’所,a-c以’所以（i-）e

所以T理闿

故選：A.

【點睛】

本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達(dá)到“設(shè)而

不求'’的目的，大大簡化運算.

10.B

【解析】

試題分析：圓G：(x—lp+(y+l)2=l的圓心E(L-l),半徑為1，圓。2：(%—4y+(y—5)2=9的圓心/(4,5),半徑

是3.要使|PN|-|PM|最大，需|PN|最大，且|尸網(wǎng)最小，|PN|最大值為|PF|+3,|PM的最小值為|陽-1,故

|PN|一|PM|最大值是(|P尸|+3)-(|PE|-1)=|P尸］一|「耳+4/(4,5)關(guān)于％軸的對稱點尸(4,一5),

\PF\-\PE\=|PFf|-1PE|<|EF'\=J(4-Ip+(-5+1)2=5,故|P月。目+4的最大值為5+4=9,故選B.

考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定.

【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使|尸洲-|加|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值

為歸耳+3,|尸網(wǎng)的最小值為|尸耳-1,故1PM-歸閘最大值是(|尸產(chǎn)|+3)-(|產(chǎn)耳-1)=|尸尸|一|尸耳+4,再利用對稱

性，求出所求式子的最大值.

11.B

【解析】

根據(jù)多項式乘法法則得出x的一次項系數(shù)，然后由等差數(shù)列的前幾項和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.

【詳解】

由題意展開式中X的一次項系數(shù)為1+2+…+〃="2=C>

故選：B.

【點睛】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，應(yīng)用多項式乘法法則可得展開式中某項系數(shù).同時本題考查了組合數(shù)公式.

12.A

【解析】

根據(jù)嘉函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.

【詳解】

因為函數(shù)二=、y=7+上:卜三一

解得二2阻二HS;

二函數(shù)二(二)=二=1+三的定義域為卜J)u(3,+Z),故選A.

【點睛】

定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實際問題：由實際

意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解；（3）若已知函數(shù)二仁）的定義域為［二二］,則函數(shù)二（二（二））的定義域由不

等式二<-（-）<二求出.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.①?④

【解析】

對于①中，當(dāng)p點與4點重合，。與點G重合時，可判斷①正確；當(dāng)點P點與4點重合，BP與直線go所成的角

最小為60。，可判定②不正確；根據(jù)平面將四面體8OPQ可分成兩個底面均為平面高之和為PQ的棱錐,

可判定③正確；四面體8DP。在上下兩個底面和在四個側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.

【詳解】

對于①中，當(dāng)P點與4點重合，。與點G重合時，BPLDQ,所以①正確；

對于②中，當(dāng)點P點與4點重合，9與直線BC所成的角最小，此時兩異面直線的夾角為6（）,所以②不正確；

對于③中，設(shè)平面44GR兩條對角線交點為。，可得平面OBD,

平面將四面體8OP?？煞殖蓛蓚€底面均為平面OBD,高之和為PQ的棱錐，

所以四面體BOPQ的體積一定是定值，所以③正確；

對于④中，四面體3DPQ在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，

四面體8OPQ在四個側(cè)面上的投影，均為上底為也，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，

故四面體6OPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.

故答案為：①③④.

【點睛】

本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面

直線的關(guān)系和椎體的體積，以及投影的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.

〃，〃為奇數(shù)

14<

為偶數(shù)

【解析】

由題意可得。,-1-=2(幾⑵，又q=l,數(shù)列｛叫的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列，對〃分奇數(shù)和

(為奇數(shù)

偶數(shù)兩種情況，分別求出％,從而得到數(shù)列%的通項公式4=,田站.

.〃-1,"為偶數(shù)

【詳解】

?：an+l=2n-an,

???4+1+4=2〃①，a“+a,i=2(〃-1)(〃..2)②,

①-②得：2+1-?！盻|=2(〃..2),又,.?q=l,

???數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項為首項為1,公差為2的等差數(shù)列,

.?.當(dāng)"為奇數(shù)時，a?=n,

當(dāng)”為偶數(shù)時，則鹿一1為奇數(shù)，=2(〃-1)一&-]=2(〃-1)一(〃-1)=〃-1,

〃，/7為奇數(shù)

二數(shù)列｛q｝的通項公式％

為偶數(shù)

為奇數(shù)

故答案為：

〃-1,〃為偶數(shù)

【點睛】

本題考查求數(shù)列的通項公式，解題關(guān)鍵是由已知遞推關(guān)系得出《用-。,1=2(幾.2),從而確定數(shù)列的奇數(shù)項成等差

數(shù)列，求出通項公式后再由已知求出偶數(shù)項，要注意結(jié)果是分段函數(shù)形式.

15.(0,1]

【解析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.

【詳解】

由題可知，集合A中f-ZxcOnxlx—ZjcOnOcxvZ

集合8的補集43={x|xWl},則Ac03）={x|0<x41}

故答案為：9,1]

【點睛】

本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎(chǔ)題.

16.|>/62>/2+2

【解析】

三棱錐A-BCD的底面邊長和側(cè)棱長都為4,所以8在平面AC。的投影為AACD的重心，利用解直角三角形，即可

求出點B到平面AC。的距離；OBLOC,可得點。是以BC為直徑的球面上的點，所以。到直線AD的距離為以

8C為直徑的球面上的點到AO的距離，

最大距離為分別過和的兩個平行平面間距離加半徑，即可求出結(jié)論.

【詳解】

A4CD邊長為4,則中線長為4x3,

2

,~（~2⑻24L

點3到平面AC。的距離為，16-4x4x*=-^6,

\132）3

點。是以8c為直徑的球面上的點，

所以。到直線AD的距離為以BC為直徑的球面上的點到AD的距離，

最大距離為分別過8c和AD的兩個平行平面間距離加半徑.

又三棱錐4-BCD的底面邊長和側(cè)棱長都為4,

以下求過8c和的兩個平行平面間距離，

分別取8C,A。中點E,F,連BF,CF,EF,

則BE=C￡BC,同理EF_LAD,

分別過E,F>^EM/IAD,FNHBC,

直線BC,EM確定平面a,直線AZZ/W確定平面僅，

則EF上FN,FNCAD=F,:.EF工0,同理EFLa,

:.a///3,EF為所求，?；CF=J16-4=，

:.EF=q12-4=26，

所以。到直線AD最大距離為2夜+2.

4r-

故答案為：§通；272+2.

【點睛】

本題考查空間中的距離、正四面體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力，屬于較難題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)證明見解析(2)迪

3

【解析】

(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE〃尸C,即可證出OE〃平面尸8C；

VV

(2)由￡是的中點，V^.PBD=~A-PBD=~P-ABD，求出SAAB。，即可求解.

【詳解】

(1)證明：如圖所示:

?.?點O,E分別是AC,必的中點,

是△E4C的中位線，：.OE//PC,

又VOE(Z平面PBC,PCU平面PBC,

〃平面PBC；

(2)解：'：PA=AB=4,：.AE=2,

:底面A8CZ)為菱形，ZBAD=60°,

JSAA3。=一x4x4xs由60°=473,

2

J三棱錐E-M。的體積

1

1/_V1,7_1D4c8百

VE-PBD_A~PBD~~2P-ABD_~2PA?S4ABD_3

E

【點睛】

本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積，注意等體積法的應(yīng)用，考查邏輯推理、數(shù)

學(xué)計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.（I）｛1_：v廣v1（H）見證明

【解析】

（I）由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點分段求解不等式的解集即可；

（II）首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.

【詳解】

（1）①當(dāng)二時，二（二）=（二一」）+（二+2）=2二+即二=7

<匚=2；

②當(dāng)一2M二M一；時，二（二）=（J-二）+（二+2）=3M5，

A-2<Z<2?

③當(dāng)二<一二時，二（二）=（/一二）一（二+2）=-2二-1=5，即二之一3，

?"--3<-<-2-

綜上所述，原不等式的解集為｛二?=二三j.

（11）???二（二）=l：-J|+|Z+2|>l（--7）-（Z+2）|=?

當(dāng)且僅當(dāng)一-v:時，等號成立.

一二一二,

，二｛二的最小值二=

*

??育+嗡］［宙+淑］2日X力+1資=5,

即，」，

^+―>6

當(dāng)且僅當(dāng)k,，,即「一—時，等號成立.

-x-==-x-=

U73UVJ

又..，工r時，等號成立.

1,1尸—wJ—\J

=十==v)□=—□=—

???

【點睛】

本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應(yīng)用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

19.(I)見解析；(H)見解析；(in)百.

【解析】

(I)取BE的中點G,連接AG,FG,通過證明四邊形AGEC為平行四邊形，證得CE//AG,由此證得CR〃平面

ABE.(II)利用b_LED,CF1BD,證得CE_L平面6。七，從而得到AG_L平面8OE,由此證得平面

平面BOE.(HD作EHLCD交CD于點H,易得EH上面ABDC,利用棱錐的體積公式，計算出棱錐的體積.

【詳解】

(I)取BE的中點G,連接AG,PG,則/G|?8O,AC\\-BD,

-2=2

故四邊形AGFC為平行四邊形.

故B||AG.

又面ABE,AGu平面A3E,所以CE||面43E.

(n)AECD為等邊三角形，F(xiàn)為DE中點,所以C/_LED.又CF_LBD,

所以CF_L面BOE.

又C/||AG,故46_1面8。后，所以面A8E_L平面BOE.

(HI)幾何體ABECD是四棱錐E-ABDC,作EHLCD交CD于點H,即，面ABDC,

Vj即c=gg(l+2)2百=6.

【點睛】

本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.

20.(1)〃?=1—*2(2)答案不唯一具體見解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點的坐標(biāo)(天,/-，5)，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一

e'"—m—e~

條，從而得到方程組、5,，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進(jìn)而求得機=1-"2；

e*"=1

(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得=對〃?分三種情況進(jìn)行一級討論，即m<0,加=0,

m>0,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.

【詳解】

解：(1)曲線y=lnx在點(e?,2)處的切線方程為y-2=l(x-e2),即y=[x+l.

ee~

x

令切線與曲線fix)=e-nvc相切于點(%,e"-mx0),則切線方程為y=(淖-m)x-(x0-l),

e'°_/6跖=1

:.(〃z+)[i一in(〃z+e-2)]=1,

令m+e-2=r,貝!|f(l-lnr)=l,

記g(f)=/(I-In/),g'(r)=1—(1+Inr)=-lnr

于是，g?)在(0,D上單調(diào)遞增，在(1,”)上單調(diào)遞減，

2

二g(/)max=g(D=l，于是f=〃z+e-2=i，m=\-e~.

(2)f'(x)=ex-m,

①當(dāng)相<()時，/'(x)>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增，且/(0)=1-機>0,/(1)=^-1<0

m

???函數(shù)/(x)在R上有且僅有一個零點；

②當(dāng)〃2=0時，/、(x)=e'在R上沒有零點；

③當(dāng)相>0時，令/'(x)>0,則x>lnm,即函數(shù)/(x)的增區(qū)間是(In+8),

同理，減區(qū)間是(-℃,lnm),

/Wmin=m(l-lnm).

i)若則/(x)mm=m(l—lnm)>0,〃x)在R上沒有零點；

ii)若〃z=e,則/(x)="-"有且僅有一個零點；

iii)若心e,則/(x)min=皿1一Inm)<0.

/(21n/M)=nr-2m\nm=m(m-2lnm),

2

令〃(m)=〃z-21n〃z,則/i'(zn)=l----,

m

.?.當(dāng)”?>e時，〃(根)單調(diào)遞增，h(m)>h(e)>0.

f(2\nm)=nr-2m\nm=m(m-2\nm)>m(e-2)>0

又?.?/(())=l>0,

.../(x)在R上恰有兩個零點，

綜上所述，當(dāng)0Wm<e時，函數(shù)f(x)沒有零點；當(dāng)機<0或，〃=e時，函數(shù)f(x)恰有一個零點；當(dāng)，”>?時，/(的恰

有兩個零點.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識，求解