概率論課件第二章第3講2.3(第三講)

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例解向半徑為r的圓內(nèi)隨機(jī)拋一點(diǎn)，求此點(diǎn)到圓心的距離X的分布函數(shù)X的分布函數(shù)為HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY則稱(chēng)

X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱(chēng)

f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度

.有,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)

,

對(duì)于隨機(jī)變量

X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)

f(x),

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上連續(xù)定義HENANPOLYTECHNICUNIVERSITYxf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY密度函數(shù)的性質(zhì)①②③有④在的連續(xù)點(diǎn)處有①②是密度函數(shù)的本質(zhì)特征？,幾何意義如下在x軸上方,f(x)下方圖形面積為1③的幾何意義等于曲邊梯形面積④設(shè)

是的連續(xù)點(diǎn),由上述性質(zhì)有則當(dāng)充分小時(shí)，有注解：近似于小矩形面積HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY同時(shí)得以下計(jì)算公式HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY問(wèn)題設(shè)

為連續(xù)型

為任意常數(shù),問(wèn)？注對(duì)于連續(xù)型r.v

有問(wèn)題設(shè)

為連續(xù)型為任意常數(shù),則那么是否是不可能事件？HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，{X=a}是不可能事件，則有若X為離散型隨機(jī)變量,連續(xù)型離散型HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY解例計(jì)算概率設(shè)

的密度函數(shù)為①②①確定常數(shù)并求

的分布函數(shù)②的分布函數(shù)是HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例解HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè)，以Y表示觀測(cè)值不大于0.1的次數(shù)，試求隨機(jī)變量Y的分布律．解事件“觀測(cè)值不大于0.1”，即事件{X

0.1}的概率由題意Y服從B(n，0.01)，于是Y的分布律為HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY故有解(1)因?yàn)閄是連續(xù)型隨機(jī)變量,HENANPOLYTECHNICUNIVERSITYHENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例隨機(jī)變量X

的概率密度為12/1/202312/1/202312/1/2023幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量（一）均勻分布如果

的密度函數(shù)為則稱(chēng)服從區(qū)間上的記為均勻分布①②注故

的確是密度函數(shù)的圖形③有即

落在中的概率只與區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān),而與位置無(wú)關(guān),這反映了某種“等可能性”,即

在區(qū)間上“等可能取值”問(wèn)若為常數(shù),則？其它HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY三段木棒能構(gòu)成

將長(zhǎng)度為2l的木棒任意截為兩段,求這兩段木棒與另一長(zhǎng)度為

l

的木棒能構(gòu)成三角形的概率.設(shè)截下的兩段木棒長(zhǎng)度分別故三段木棒能構(gòu)成△的概率為解則例HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY設(shè)隨機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率．例解因?yàn)殡S機(jī)變量X在(2,5)上服從均勻分布，所以X的概率密度為事件“對(duì)X的觀測(cè)值大于3”的概率為設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)，HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY越大曲線(xiàn)越平（二）指數(shù)分布如果

的密度函數(shù)為則稱(chēng)服從參數(shù)為的記為指數(shù)分布①②注故

的確是密度函數(shù)的圖形下方面積為1③的分布函數(shù)為HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例指數(shù)分布通常用來(lái)描述“壽命”的分布電子元件的壽命；生物的壽命；電話(huà)的通話(huà)時(shí)間；機(jī)器的修理時(shí)間；營(yíng)業(yè)員為顧客提供的服務(wù)時(shí)間；······指數(shù)分布廣泛應(yīng)用于可靠性理論和排隊(duì)論指數(shù)分布密度函數(shù)參數(shù)的意義θ指數(shù)分布實(shí)際背景de中參數(shù)表示平均壽命稱(chēng)為失效率HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY指數(shù)分布的重要性質(zhì)--無(wú)記憶性設(shè)考慮概率如果已知壽命長(zhǎng)于年,則再活年的可能性與年齡無(wú)關(guān)！即指數(shù)分布是“永sts說(shuō)明什么？HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY例5

設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命X服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時(shí)).(1)任取一只這種燈管,求能正常使用1000小時(shí)以上的概率.(2)有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000小時(shí)以上,求還能使用1000小時(shí)以上的概率.

X的分布函數(shù)為解HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY指數(shù)分布的重要性質(zhì):“無(wú)記憶性”.HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY（三）正態(tài)分布如果

的密度函數(shù)為其中參數(shù)則稱(chēng)服從參數(shù)為的正態(tài)分布,記為正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)①②故

確是密度函數(shù)HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)④③,即關(guān)于對(duì)稱(chēng)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)在處取極大值⑤即曲線(xiàn)以

軸為漸近線(xiàn)

關(guān)于對(duì)稱(chēng)中間高，兩頭低樣子像座“山”當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí),曲線(xiàn)會(huì)發(fā)生怎樣的變化?問(wèn),圖形向右平移,形狀不變小大大小,圖形向左平移,形狀不變小大,圖形變平坦大小,圖形變尖銳HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY自然界許多指標(biāo)都服從或近似服從正態(tài)分布

成年人的各種生理指標(biāo)：身高、體重、血壓、視力、智商等例一個(gè)班的某門(mén)課程的考試成績(jī)例海浪的高度例一個(gè)地區(qū)的日耗電量例各種測(cè)量的誤差例炮彈彈著點(diǎn)例一個(gè)地區(qū)的家庭年收入例正態(tài)分布實(shí)際背景deHENANPOLYTECHNICUNIVERSITY服從正態(tài)分布的指標(biāo)有什么特點(diǎn)一般說(shuō)，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用都不太大，則這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布.為什么叫“正態(tài)”分布正態(tài)分布密度呈現(xiàn)“中間高，兩頭低”的形態(tài)，它描述了自然界大量存在的隨機(jī)現(xiàn)象，所以正態(tài)分布是自然界的一種“正常狀態(tài)

(normal)”的分布.

正態(tài)分布是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在研究誤差理論時(shí)的到的，故正態(tài)分布也稱(chēng)為高斯分布.問(wèn)題？問(wèn)題？HENANPOLYTECHNICUNIVERSITYOx-8-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

12345678這是什么曲線(xiàn)?高爾頓釘板試驗(yàn)HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY其概率密度和分布函數(shù)分別為可查附表2求的值特別當(dāng)

時(shí),稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY解例6

HENANPOLYTECHNICUNIVERSITY練習(xí)題：1.函數(shù)當(dāng)D=(),f(x)可以成為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.12/1/20232.隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是(1)0.25(2)0.5(3)1(4)2則常數(shù)A=()3.任何一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)f(x)一定滿(mǎn)足（）(4)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)不減12/1/20234.設(shè)ξ服從θ=9的指數(shù)分布,則=（）5.設(shè)隨機(jī)變量,則（）12/1/20236.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布,其概率密度函數(shù)的最大值為（）(1)0；(2)1；(3);(4)12/1/20237.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)為12/1/20238.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)求:(1)密度函數(shù)f(x);(2)9.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求:(1)A,B,C,D的值;(2)X的密度函數(shù);12/1/202310.已知連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的概率密度函數(shù)為求: