因式分解的應(yīng)用與探究(含答案)-

因式分解的應(yīng)用與探究【溫馨提示】《分解因式》一章中，我們主要學(xué)習(xí)了分解因式的概念、會用兩種方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式〔直接用公式不超過兩次〕進行因式分解〔指數(shù)是正整數(shù)〕。具體要求有：1、經(jīng)歷探索分解因式方法的過程，體會數(shù)學(xué)知識之間的整體〔整式乘法與因式分解〕聯(lián)系。2、了解因式分解的意義，會用提公因式法、平方差公式和完全平方公式〔直接用公式不超過兩次〕進行因式分解〔指數(shù)是正整數(shù)〕。3、通過乘法公式：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2，〔a±b〕2＝a2±2ab＋b2的逆向變形，進一步開展觀察、歸納、類比、概括等能力，開展有條理思考及語言表達能力。在中考中，除了考查對一個整式進行分解因式等常規(guī)題型外，因式分解作為一種重要的解題方法和工具，經(jīng)常出現(xiàn)于各種題型中，以下幾種就值得引起注意。范例精講例1【構(gòu)造求值型】【山西04】x＋y＝1，那么的值為；分析：通過條件，不能分別求出x、y的值，所以要考慮把所求式進行變形，構(gòu)造出x＋y的整體形式，即＝〔x2＋2xy＋y2〕＝〔x＋y〕2＝.在此過程中，我們先提取公因式，再用完全平方公式對原式進行因式分解，產(chǎn)生x＋y的整體形式，最后將x＋y＝1代入求出最終結(jié)果.例2【構(gòu)造求值型】x2＋2x＋y2＋6y＋10＝0，求xy的值．答：xy＝3例3【構(gòu)造求值型】：a＝10000，b＝9999，求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9解：a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9＝〔a－b〕2－2×〔a－b〕×3＋32＝〔a－b－3〕2＝例4【構(gòu)造求值型】【廣西桂林04】計算：；分析：為了便于觀察，我們將原式“倒過來〞，即原式＝＝＝＝＝＝……＝22＋2＝4＋2＝6此題的解題過程中，巧妙地用到了提公因式法進行分解因式，使結(jié)構(gòu)特點明朗化，規(guī)律凸現(xiàn)出來。此題解法很多，比方，我們還可以采用整體思想，把原式看作一個整體，利用方程與提公因式法分解因式相結(jié)合的方法解答此題。設(shè)M＝，那么－M＝，即，解得M＝6.例5【探索規(guī)律型】觀察以下各式：12＋〔1×2〕2＋22＝9＝32，22＋〔2×3〕2＋32＝49＝72，32＋〔3×4〕2＋42＝169＝132，……你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用含有n〔n為正整數(shù)〕的等式表示出來，并說明其中的道理。例6【探索規(guī)律型】閱讀以下因式分解的過程，再答復(fù)所提出的問題：1＋x＋x〔1＋x〕＋x〔1＋x〕2＝〔1＋x〕［1＋x＋x〔1＋x〕］＝〔1＋x〕2〔1＋x〕＝〔1＋x〕3⑴上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次；⑵假設(shè)分解1＋x＋x〔1＋x〕＋x〔1＋x〕2＋…＋x〔1＋x〕2004，那么需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是；⑶分解因式：1＋x＋x〔1＋x〕＋x〔1＋x〕2＋…＋x〔1＋x〕n〔n為正整數(shù)〕.例7【開放創(chuàng)新型】【四川03】多項式9x2＋1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，那么加上的單項式可以是〔填上一個你認(rèn)為正確的即可〕；分析：根據(jù)完全平方公式a2±2ab＋b2＝〔a±b〕2的特點，假設(shè)9x2＋1表示了a2＋b2的話，那么有a＝3x，b＝1，所以，缺少的一項為±2ab＝±2·3x·1＝±6x，此時，9x2＋1±6x＝〔3x±1〕2；如果認(rèn)為9x2＋1表示了2ab＋b2的話，那么有a＝4.5x2，b＝1，所以，缺少的一項為a2＝〔4.5x〕2＝20.25x4，此時，20.25x4＋9x2＋1＝〔4.5x2＋1〕2.從另外一個角度考慮，“一個整式的完全平方〞中所指的“整式〞既可以是上面所提到的多項式，也可以是單項式.注意到9x2＝〔3x〕2，1＝12，所以，保存二項式9x2＋1中的任何一項，都是“一個整式的完全平方〞，故所加單項式還可以是－1或者－9x2，此時有9x2＋1－1＝9x2＝〔3x〕2，或者9x2＋1－9x2＝12.綜上分析，可知所加上的單項式可以是±6x、20.25x4、－1或者－9x2.例8【開放創(chuàng)新型】【福建南平03】請你寫出一個三項式，使它能先提公因式，再運用公式來分解.分析：利用整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，寫出一個等式，在它的兩邊都乘一個因式，比方：2m〔m＋n〕2＝2m〔m2＋2mn＋n2〕＝2m3＋4m23a〔2x－5y〕2＝3a〔4x2－20xy＋25y2〕＝12ax2－60axy＋75ay2于是編寫的三項式可以是2m3＋4m2n＋2mn2，分解因式的結(jié)果是2m〔m或者編寫的三項式可以是12ax2－60axy＋75ay2，分解因式的結(jié)果是3a〔2x－5y〕2，等等abab例9【數(shù)形結(jié)合型】【陜西02，橋西02～03】如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形〔a＞babab〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕例10【數(shù)形結(jié)合型】baaabb【福建福州05】如圖，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形〔a＞b〕，把剩下的局部拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影局部的面積，驗證了公式a2－b2＝〔a＋b〕〔baaabb例11【數(shù)形結(jié)合型】xxyyx－yx－y【濟南02】請你觀察右下方圖形，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是〔x＋y〕〔x－y〕＝x2－y2或x2－y2＝〔x＋y〕〔x－y〕或〔x－y〕2＝xxyyx－yx－y例12【數(shù)形結(jié)合型】【山西03】有假設(shè)干張如下圖的正方形和長方形卡片，那么aa⑴bb⑵baaa⑴bb⑵ba⑶卡卡片數(shù)量〔張〕方案⑴⑵⑶〔A〕112〔B〕111〔C〕121〔D〕211分析：此題的本意就是判斷哪些卡片的面積之和是〔a＋b〕2.因為a2＋2ab＋b2＝〔a＋b〕2，對照如下圖的正方形和長方形卡片，可知三種卡片的面積分別為a2、b2和ab，它們分別需要1張、1張、2張，由此可選出正確答案為〔A〕.ababbaba例13【數(shù)形結(jié)合型】【山西太原03】如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白局部的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式〔a＋b〕2－4abababbaba分析：外框圍成的大正方形面積為〔a＋b〕2，4個矩形的面積之和為4ab，中間的空白局部的面積為〔a－b〕2.于是，可以列出等式〔a＋b〕2－4ab＝〔a－b〕2.對于它的正確性，可以用因式分解的方法證明：〔a＋b〕2－4ab＝a2＋2ab＋b2－4ab＝a2－2ab＋b2＝〔a－b〕2.例14【數(shù)形結(jié)合型】abab給你假設(shè)干個長方形和正方形的卡片，如下圖，請你運用拼圖的方法，下載相應(yīng)的種類和數(shù)量的卡片，拼成一個矩形，使它的面積等于a2＋5ab＋4b2，并根據(jù)你拼成的圖形分解多項式a2＋5ab＋4abab解：由a2＋5ab＋4b2知，可用1張大正方形，5張長方形，4張小正方形，abababbbba2＋5ab＋4b2＝〔a＋b〕〔a＋4b〕優(yōu)化訓(xùn)練選擇題：計算結(jié)果為〔〕〔A〕2100〔B〕－2〔C〕0〔D〕－2100是一個關(guān)于x的完全平方式，那么m的值為〔〕〔A〕4〔B〕±4〔C〕〔D〕16是一個關(guān)于x的完全平方式，那么m的值為〔〕〔A〕4〔B〕－4〔C〕16〔D〕±4設(shè)m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，那么正確的關(guān)系是〔〕〔A〕m＝n×2001〔B〕m＝n〔C〕m＝n÷2002〔D〕m＝n＋2002填空題：x、y為正整數(shù)，且x2＝y(tǒng)2＋37，那么x＝；方程x2－y2＝29的整數(shù)解為；有假設(shè)干個大小相同的小球一個挨一個擺放，剛好擺成一個等邊三角形〔如圖1〕；將這些小球換一種擺法，仍一個挨一個擺放，又剛好擺成一個正方形〔如圖2〕，那么這種小球最少有個；三、解答題：圖1圖2計算：；求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．觀察：1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…⑴請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；⑵根據(jù)⑴，計算2000×2001×2002×2003＋1的結(jié)果〔用一個最簡式子表示〕．一個自然數(shù)a恰等于另一個自然數(shù)b的平方，那么稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)，如64＝82，64就是一個完全平方數(shù)．假設(shè)a＝20022＋20022×20032＋20032，求證：a是一個完全平方數(shù)，并寫出a的平方根．公園長椅上坐著兩位白發(fā)蒼蒼的老人，旁邊站著兩個年輕人，他們在交談，老人說：“我們倆的年齡的平方差是195……〞不等老人說完，青年人就說：“真巧，我們倆年齡的平方差也是195。〞這時一對中年夫婦也湊過來說：“真是巧極了，我們倆年齡的平方差也是195。〞現(xiàn)在請你想一想，這三對人的年齡各是多少？其實符合年齡平方差為195的應(yīng)有4對，如果你有余興，不妨把第4對人的年齡也找出來。答案:選擇題：【橋西01～02】計算結(jié)果為〔D〕〔A〕2100〔B〕－2〔C〕0〔D〕－2100是一個關(guān)于x的完全平方式，那么m的值為〔C〕〔A〕4〔B〕±4〔C〕〔D〕16是一個關(guān)于x的完全平方式，那么m的值為〔D〕〔A〕4〔B〕－4〔C〕16〔D〕±4【重慶02競賽】設(shè)m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，那么正確的關(guān)系是〔B〕〔A〕m＝n×2001〔B〕m＝n〔C〕m＝n÷2002〔D〕m＝n＋2002填空題：【橋西02～03】x、y為正整數(shù)，且x2＝y(tǒng)2＋37，那么x＝19；方程x2－y2＝29的整數(shù)解為，；有假設(shè)干個大小相同的小球一個挨一個擺放，剛好擺成一個等邊三角形〔如圖1〕；將這些小球換一種擺法，仍一個挨一個擺放，又剛好擺成一個正方形〔如圖2〕，那么這種小球最少有36個；圖1圖2三、解答題：計算：；解：原式＝＝＝求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．解：原式＝〔x－2y〕2＋〔y－1〕2＋2003，∴當(dāng)x＝2，y＝1時，原式取得最小值2003．【黃岡02競賽，橋東03～04】觀察：1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…⑴請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；⑵根據(jù)⑴，計算2000×2001×2002×2003＋1的結(jié)果〔用一個最簡式子表示〕．解：⑴結(jié)論：n〔n＋1〕〔n＋2〕〔n＋3〕＋1＝〔n2＋3n＋1〕2，證明：n〔n＋1〕〔n＋2〕〔n＋3〕＋1＝〔n2＋3n〕〔n2＋3n＋2〕＋1＝〔n2＋3n〕2＋2〔n2＋3n〕＋1＝〔n2＋3n＋1〕2；⑵2000×2001×2002×2003＋1＝〔20002＋3×2000＋1〕2＝40060012；一個自然數(shù)a恰等于另一個自然數(shù)b的平方，那么稱自然數(shù)a為完全平方數(shù)，如64＝82，64就是一個完全平方數(shù)．假設(shè)a＝20022＋20022×20032＋20032，求證：a是一個完全平方數(shù)，并寫出a的平方根．解：先從較小的數(shù)字探索：a1＝12＋12×22＋22＝32＝〔1×2＋1〕2，a2＝22＋22×32＋32＝72＝〔2×3＋1〕2，a3＝32＋32×42＋42＝132＝〔3×4＋1〕2，a4＝42＋42×52＋52＝212＝〔4×5＋1〕2，…于是猜測：a＝20022＋20022×20032＋20032＝〔2002×2003＋1〕2＝〔4010007〕2，證明采用配方法〔略〕．推廣到一般，假設(shè)n是正整數(shù)，那么a＝n2＋n2〔n＋1〕2＋〔n＋1〕2是一個完全平方數(shù)［n〔n＋1〕＋1］2．解題策略：猜測是數(shù)學(xué)中重要的思想和方法之一。較大的數(shù)字問題可仿較小數(shù)字問題來處理，實現(xiàn)了以簡馭繁的策略。在解題時，如果你不能解決所提出的問題，可先解決“一個與此有關(guān)的問題〞。你能不能想出一個更容易著手的問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？你能否解決這個問題的一局部？這就是數(shù)學(xué)家解題時的“絕招〞。公園長椅上坐著兩位白發(fā)蒼蒼的老人，旁邊站著兩個年輕人，他們在交談，老人說：“我們倆的年齡的平方差是195……〞不等老人說完，青年人就說：“真巧，我們倆年齡的平方差也是195。〞這時一對中年夫婦也湊過來說：“真是巧極了，我們倆年齡的平方差也是195。〞現(xiàn)在請你想一想，這三對人的年齡各是多少？其實符合年齡平方差為195的應(yīng)有4對，如果你有余興，不妨把第4對人的年齡也找出來。解：由x2