第06講 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第06講二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)1.會用配方法將二次函數(shù)一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，從而確定頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸.2.掌握二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象的性質(zhì)并會應(yīng)用.3.會利用二次函數(shù)的對稱性畫出二次函數(shù)的圖象.4.掌握二次函數(shù)字母系數(shù)與圖象的關(guān)系.知識點(diǎn)1二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與y=a（x-h)2+k之間的相互關(guān)系頂點(diǎn)式化成一般式從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．一般式化成頂點(diǎn)式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．知識點(diǎn)2二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的畫法1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；2.簡易畫法：五點(diǎn)定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，描出這兩個交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．注意：當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)或無交點(diǎn)時，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，知識點(diǎn)3二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時，y有最大值，知識點(diǎn)4二次函數(shù)圖象和性質(zhì)a、b、c及b2-4ac的符號之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b2-4ac＞0與x軸有兩個交點(diǎn)b2-4ac＜0與x軸沒有交點(diǎn)【題型1：二次函數(shù)的y=ax2+bx+c頂點(diǎn)、對稱軸與最值問題】【典例1】（2022秋?郊區(qū)期末）拋物線y＝﹣4x2+3的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）【變式1-1】（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）拋物線y＝﹣3x2+6x﹣1的對稱軸是（）A．直線x＝2 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝﹣1【變式1-2】（2022秋?廈門期末）點(diǎn)A（0，5），B（4，5）是拋物線y＝ax2+bx+c上的兩點(diǎn)，則該拋物線的頂點(diǎn)可能是（）A．（2，5） B．（2，4） C．（5，2） D．（4，2）【題型2:二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖像變換問題】【典例2】（2023?納溪區(qū)模擬）把函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象向左平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3【變式2-1】（2023?納溪區(qū)模擬）把函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象向左平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3【變式2-2】（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經(jīng)平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1【變式2-3】（2023?神木市一模）把拋物線y＝x2+bx+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線y＝x2﹣4x+3，則b、c的值分別為（）A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6【題型3：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)】【典例3】（2023?成都模擬）下列關(guān)于拋物線y＝x2+4x﹣5的說法正確的是（）①開口方向向上；②對稱軸是直線x＝﹣4；③當(dāng)x＜﹣2時，y隨x的增大而減??；④當(dāng)x＜﹣5或x＞1時，y＞0．A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【變式3-1】（2022秋?綿陽期末）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y與x的部分對應(yīng)值如表：x…1346…y…8182018…下列結(jié)論中，正確的是（）A．拋物線開口向上 B．對稱軸是直線x＝4 C．當(dāng)x＞4時，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)x＜4.5時，y隨x的增大而增大【變式3-2】（2022秋?金水區(qū)期末）關(guān)于二次函數(shù)y＝x2+4x﹣1，下列說法不正確的是（）A．圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1） B．圖象的對稱軸在y軸的左側(cè) C．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣5） D．當(dāng)x＜2時，y的值隨x值的增大而減小【變式3-3】（2023?秦都區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c上的部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：x…﹣10123…y…3﹣1m3…以下結(jié)論錯誤的是（）A．拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1） B．當(dāng)x＞1時，y隨x增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的根為0和2 D．當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是0＜x＜2【題型4:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y值大小比較】【典例4】（2023?漢中二模）二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象經(jīng)過A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），D（5，y4）四個點(diǎn)，y2＜0，y4＞0，則下列結(jié)論正確的是（）A．y3y4＞0 B．y2y3＜0 C．y1y2＜0 D．y1y3＞0【變式4-1】（2023?宜州區(qū)二模）P1（﹣2，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）均在二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＞y3＞y2 B．y1＝y(tǒng)2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3【變式4-2】（2023?邯鄲模擬）已知點(diǎn)A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函數(shù)的y＝﹣x2+2x+3圖象上，若y1＜y2，則n的取值范圍為（）A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2【變式4-3】（2023?洞頭區(qū)二模）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是拋物線y＝﹣x2+4x+c上的點(diǎn)，則（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2【變式4-4】（2023?南崗區(qū)模擬）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2）是拋物線y＝﹣x2﹣4x+1上的點(diǎn)，則（）A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．y1≤y2【題型5:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值問題探究】【典例5】（2022秋?江門校級期末）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，則m＝（）A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或【變式5-1】（2023?山丹縣模擬）二次函數(shù)y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6【變式5-2】（2022秋?江陽區(qū)期末）若函數(shù)y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值為4，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4【變式5-3】（2022秋?鹽山縣校級期末）當(dāng)y＝x2﹣6x﹣3的值最小時，x的取值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9【變式5-4】（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1時有最小值m，則整數(shù)m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2【題型6:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像問題】【典例6】（2023?興慶區(qū)校級二模）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx﹣a在坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）A． B． C． D．【變式6-1】（2023?綏化模擬）函數(shù)y＝ax2+bx+1和y＝ax﹣b（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式6-2】（2023?新都區(qū)模擬）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數(shù)y＝acx+b的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式6-3】（2023?拱墅區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+1和一次函數(shù)y＝ax﹣a（a是常數(shù)，且a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系的圖象可能是（）A． B． C． D．【題型7:二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a,b,c系數(shù)間的關(guān)系】【典例7】（2023?梅州一模）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，有如下結(jié)論：①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．其中正確的結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-2】（2023?廣東模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，有如下結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④對任意實(shí)數(shù)m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正確的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【變式7-3】（2023?雁塔區(qū)校級三模）如圖，直線x＝1是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸，則下列結(jié)論：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正確的是（）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【變式7-4】（2023?滕州市校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個1．（2021?蘭州）二次函數(shù)y＝x2+4x+1的圖象的對稱軸是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣42．（2021?河池）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法中，錯誤的是（）A．對稱軸是直線x＝ B．當(dāng)﹣1＜x＜2時，y＜0 C．a(chǎn)+c＝b D．a(chǎn)+b＞﹣c3．（2022?六盤水）如圖是二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象，該函數(shù)的最小值是﹣4．4．（2022?鹽城）若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是．5．（2022?長春）已知二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3，當(dāng)a≤x≤時，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為．5．（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）當(dāng)c＝2，m＝n時，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；（2）點(diǎn)（x0，m）（x0≠1）在拋物線上．若m＜n＜c，求t的取值范圍及x0的取值范圍．6．（2022?紹興）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時，求y的最大值．（3）當(dāng)m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．1．（2023?高陽縣校級模擬）拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為（）A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（0，﹣3） D．（2，﹣3）2．（2022秋?云州區(qū)期末）已知點(diǎn)（﹣3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在函數(shù)y＝x2+4x+3的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y23．（2023?拱墅區(qū)模擬）將二次函數(shù)y＝5x2的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為（）A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣24．（2023?宛城區(qū)校級模擬）將拋物線y＝x2﹣2x+1向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到拋物線y＝x2+bx+c，則b，c的值為（）A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝65．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣2，當(dāng)y＞1時，則x的取值范圍為（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞16．（2022秋?大連期末）畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象時，列表如下：x…12345…y…010﹣3﹣8…關(guān)于此函數(shù)有下列三個結(jié)論：①函數(shù)圖象開口向上；②當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減??；③當(dāng)x＝0時，y＝﹣3．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023?鄞州區(qū)校級一模）二次函數(shù)y＝x2+bx+1中，當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，則一次項(xiàng)系數(shù)b滿足（）A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣28．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）二次