專題04 橢圓中的參數(shù)及范圍問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項(xiàng)重難點(diǎn)突破練（新高考專用）

第第頁專題04橢圓中的參數(shù)及范圍問題限時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線：上，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】點(diǎn)在雙曲線：上，所以.所以橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所?點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，所以，所以或.綜上：.故選：A2．橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】由題意，橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，設(shè)，則，又由，可得，因?yàn)?，即，可得，所以直線斜率的取值范圍．故選：．3．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A．B．C． D．【解析】設(shè)，由直線與橢圓交于兩點(diǎn)可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以且，由題意知：，兩式相減得：，即，又，由橢圓的離心率的取值范圍是，即，所以，即，故選：D.4．已知橢圓，若橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】橢圓，即：，設(shè)橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，中點(diǎn)為，則，，所以，∴，∴，代入直線方程得，即，因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，∴，解得，即的取值范圍是．故選：A．5．已知橢圓的短軸長為，焦距為，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A．[1，7] B．[1，28] C． D．【解析】根據(jù)條件可得，，故，則根據(jù)橢圓定義可知，所以令，則因?yàn)?，所以，所以，則.故選：C6．已知為橢圓的左頂點(diǎn)．如果存在過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】記Q為橢圓的右頂點(diǎn)，將坐標(biāo)系橫向壓縮到原來的，橢圓變?yōu)閳A，則，面積比，線段長度比，不隨坐標(biāo)系拉升而改變，設(shè)，

又由圓的相交弦定理：，得（），故，又由于()，故有，結(jié)合，可化為：，解得.故選：A7．已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】如圖，直線與直線相交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，點(diǎn)M為中點(diǎn)，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以O(shè)M是三角形的中位線，所以，其中，因?yàn)镻與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，設(shè)，則，則，所以，又，所以，∴的取值范圍是.故選：D.8．已知三個(gè)頂點(diǎn)都在曲線上，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），分別為的中點(diǎn)，若直線的斜率存在且分別為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由得：，即，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又分別為中點(diǎn)，，，，，設(shè)，，則，又，兩式作差得：，即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的取值范圍為.故選：D.二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．已知點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)分別作斜率為-2，2的直線，與直線，分別交于，兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù)的取值可能為（

）A． B．1 C．2 D．3【解析】設(shè)，，，則，，由題得四邊形為平行四邊形，所以，故故.因?yàn)?，所以，故?shí)數(shù)的取值范圍為，故選:CD.10．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，的平分線與軸交于點(diǎn)，則的可能取值為（

）A． B． C． D．【解析】由橢圓方程可得，由可得，則直線的方程為，即，直線的方程為，即，在的平分線上，①，，，則①式可化為，即，又，，結(jié)合選項(xiàng)可得m的可能取值為1，0，.故選：ACD.11．已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且直線AM的斜率為.點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為B．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是C．的取值范圍為D．橢圓上有且只有4個(gè)點(diǎn)，使得是直角三角形【解析】由題意可知直線的方程為，令，可得，則，又橢圓C過點(diǎn)，所以，解得，所以C的方程為.設(shè)橢圓的半焦距為，則，橢圓的離心率為，故A錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，所以，所以，又，解得，故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；又，，則，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；若為直角三角形，且點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則，故，該方程無解，故以點(diǎn)Р為直角頂點(diǎn)的不存在，又當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的三角形，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的三角形，所以C上有且只有4個(gè)點(diǎn)P，使得是直角三角形，故D正確.故選：CD.12．已知直線l：y=kx+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓C的下焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，，使得B．當(dāng)時(shí)，，C．當(dāng)時(shí)，，使得D．當(dāng)時(shí)，，【解析】在橢圓中，，，，由題意可得，上焦點(diǎn)記為，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，所以，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由題意可得，兩式作差可得，因?yàn)橹本€的斜率存在，則，所以，，整理可得，又因?yàn)?，消去可得，其中，所以，，所以，，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，，，同理，所以，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，使得，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由B選項(xiàng)可知，，即，即，由可得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，而點(diǎn)到直線的距離為，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取最小值，故D正確.故選：BCD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可以為．【解析】設(shè)，由題意可知，即．因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，所以，解得，可以取1（只要在內(nèi)即可）．故答案為：1（答案不唯一）．14．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若恒有，則橢圓離心率的取值范圍為．【解析】設(shè)過點(diǎn)F的直線l的直線方程為與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程得，整理為：，，，若恒有，則，所以是鈍角，即，，，，整理為恒成立，所以，即，整理為，【】解得：或（舍）所以，離心率15．橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，直線y＝kx（k＞0）與C相交于M，N兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓（其中M在第一象限），且直線傾斜角不小于，則橢圓C的長軸長的取值范圍是.【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的中心對(duì)稱性和，，，四點(diǎn)共圓，則四邊形為矩形，所以以為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，則，所以，又由題意，即，故，即因?yàn)橹本€傾斜角不小于，所以直線的傾斜角不小于，則，化簡可得，因?yàn)?，所以，則，又，所以，故，解得，所以，綜上.16．已知橢圓C：，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，若滿足，則的取值范圍．【解析】已知橢圓C：，則其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，若滿足，所以，則設(shè)直線方程為，則，所以，顯然恒成立，所以，則整理得，所以，又，所以，解得，所以的取值范圍為.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓上的點(diǎn)且坐標(biāo)為．(1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(2)若C為橢圓上異于B的一點(diǎn)，且，求λ的值；(3)設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的周長的最大值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，又，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”），所以的最大值為4.（2）設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為，又B，F(xiàn)1兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，由得，故，，又，所以，化簡得，解得或，當(dāng)時(shí)，重合，與點(diǎn)C異于點(diǎn)B不符，所以.（3）因?yàn)?，?dāng)P點(diǎn)位于直線BF2與橢圓的交點(diǎn)處（異于B）時(shí)取等號(hào)，又,,所以的周長，所以的周長最大值為8.18．已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，的面積為，離心率．(1)求橢圓的方程；(2)若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若弦長的取值范圍為，求斜率的取值范圍．【解析】（1）解：由題意可知，可得，，所以，橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，且該圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，

則，得，聯(lián)立得，則，設(shè)、，則，所以，，，因?yàn)榈娜≈捣秶?，即，整理可得，又因?yàn)椋?，，解得，因此，的取值范圍?19．已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，為弦的中點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【解析】（1）由題意可知，所以，所以①，又，所以②，由①②可得，，所以橢圓的方程為．（2）解：設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立，得，由題知，可得③，由韋達(dá)定理可得，，從而，，，則，即④，把④代入③得，解得，又，故的取值范圍是．20．已知橢圓的下頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)與橢圓上任意一點(diǎn)的距離的最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若存在過點(diǎn)的直線，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍.【解析】（1）根據(jù)題意得:，∴，∴∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意得:的中垂線過點(diǎn)，由,化簡得:，，設(shè)，，，的中點(diǎn)，，∴的中垂線方程為:，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得:，故，代入且.21．已知橢圓C：與y軸交于，兩點(diǎn)，橢圓上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)D到A，B兩點(diǎn)的斜率分別為，，已知．(1)求橢圓C的方程；(2)過定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)D的直線，與橢圓交于另外一點(diǎn)H，若AH的斜率為，求的取值范圍．【解析】（1）取在橢圓上,,又，，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為,其中,將直線方程帶入得,,其判別式為,或，取為交點(diǎn),,,又,,取,，令，解得，令，，在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又的值域?yàn)?即的取值范圍為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，綜上的取