專題19三角函數(shù)伸縮變換及其應(yīng)用（解析版）

專題19三角函數(shù)伸縮變換及其應(yīng)用【考點預(yù)測】考點一：用五點法作函數(shù)的圖象用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)，由z取來求出相應(yīng)的，通過列表，計算得出五點坐標(biāo)，描點后得出圖象．考點二：函數(shù)中有關(guān)概念表示一個振動量時，A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，x=0時的相位稱為初相．考點三：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標(biāo)不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短或伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）．若則可用誘導(dǎo)公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當(dāng)時）或向右（當(dāng)時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑【典型例題】例1．（2022·全國·高一期末）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：005-50（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求的最小值；（3）在（2）條件下，求在上的增區(qū)間.【解析】（1）由表可知，①，②，聯(lián)立①②解得，，0050-50.（2）∵向左平行移動個單位后可得：，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變）可得：，令，，∴，，∴當(dāng)時，此時最小值為；（3）因為，令，，所以，，又，∴或，∴增區(qū)間為，.例2．（2022·北京景山遠(yuǎn)洋分校高一期中）將函數(shù)向右平移個單位得到函數(shù)（I）求的解析式；（II）用“五點法”做出函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)圖像.

【解析】（I）由題意；（II）列表：0100描點連線：例3．（2022·山東東營·高一期中）已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和其圖象的對稱軸方程;(2)先將函數(shù)的圖象各點的橫坐標(biāo)向左平移個單位長度，縱坐標(biāo)不變得到曲線C，再把C上各點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖象，若，求x的取值范圍.【解析】（1）因為圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以的最小正周期為，所以，，所以，由，可得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，由得，所以所求對稱軸方程為（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到曲線，把C上各點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫降膱D象，由得，所以，，所以，，所以x的取值范圍為例4．（2022·陜西漢中·高一期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖．(1)求f（x）的表達(dá)式；(2)將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度得到曲線C，把C上各點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到函數(shù)g（x）的圖象．若關(guān)于x的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)圖象，可得，，∴∴，將代入f（x），得，即，，又，∴，∴．（2）將函數(shù)（x）的圖象向右平移個單位長度，得曲線C，由題得，∵在[0，]上有兩個不同的實數(shù)解，∴在[0，]上有兩個不同的實數(shù)解．∵，令，∴，則需直線與的圖象在有兩個不同的公共點．畫出在時的簡圖如下：∴實數(shù)m的取值范圍是．例5．（2022·上海理工大學(xué)附屬高一期中）如圖，摩天輪上一點距離地面的高度關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式為，，已知摩天輪的半徑為50m，其中心點距地面60m，摩天輪以每30分鐘轉(zhuǎn)一圈的方式做勻速轉(zhuǎn)動，而點的起始位置在摩天輪的最低點處.(1)根據(jù)條件具體寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點有多長時間距離地面超過85m？【解析】（1）中心點距地面60m，則，摩天輪的半徑為50m，即，，，最低點到地面距離為10m，所以，，又，則，所以所求表達(dá)式為；（2），，取一個周期內(nèi)，有，，．所以在摩天輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點有10分鐘的時間距離地面超過85m．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·上海市向明高一期末）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點的（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度【答案】A【解析】根據(jù)題意得，所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再向右平行移動個單位長度即可得到函數(shù)的圖象.故選：A.2．（2022·天津·高一期末）將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再向左平移個單位，縱坐標(biāo)不變，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到，再向左平移個單位，得到，令，，則，.顯然，時，對稱軸方程為，其他選項不符合.故選：B3．（2022·陜西·延安市第一高一期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，，的部分圖象知，，，解得，再由五點法作圖可得，解得；，．故選：A．4．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末）已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是圖象的一條對稱軸；③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解析】對于①，的最小正周期為，故①正確；對于②，，所以②不正確；對于③，把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度得到，所以③不正確.故選：A.5．（2022·福建師大附中高一期中）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足，當(dāng)時，（

）A．6 B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：，，所以，所以，當(dāng)時，，可得，即，因為，所以，所以，所以，當(dāng)時，，此時，即點，所以，故選：A.6．（2022·陜西師大附中高一期中）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為時，，則，因為時，，則，故，作出函數(shù)圖象：數(shù)形結(jié)合即可得到，故選：B.7．（2022·河南南陽·高一期末）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為，所以為偶函數(shù)，所以，解得，又，所以的最小值為．故選：D．8．（2022·廣東茂名·高一期末）將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向下平移1個單位長度，最后向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.若對任意，都存在，使得，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題，，又對任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又當(dāng)時，，即在上的值域包含.又當(dāng)時，，且有解，故區(qū)間包含，排除AB；又當(dāng)時，，因為，故不包含不合題意排除D；當(dāng)時，此時，故，故此時在上的值域包含滿足條件.綜上所述滿足條件故選：C二、多選題9．（2022·廣東廣州·高一期末）函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（

）．A．該函數(shù)的解析式為B．該函數(shù)圖象的對稱中心為，C．該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，D．把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到該函數(shù)圖象【答案】ACD【解析】由題圖可知，，周期，所以，則，因為當(dāng)時，，即，所以，，即，，又，故，從而，故A正確；令，，得，，故B錯誤；令，，得，，故C正確；函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，可得到，故D正確．故選：ACD.10．（2022·廣東深圳·高一期末）把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖像，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．最小正周期為 B．在區(qū)間上的最大值為C．圖像的一個對稱中心為 D．圖像的一條對稱軸為直線【答案】AD【解析】的圖像向左平移個單位長度得函數(shù)，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，其最小正周期為，A選項正確；由，得，則當(dāng)，即時，取最大值為，B選項錯誤；令，，得，，所以函數(shù)的對稱中心為，，所以不成立，C選項錯誤；令，，解得，，所以函數(shù)的對稱軸為，，當(dāng)時，，D選項正確；故選：AD.11．（2022·江西·高一期中）如圖，一圓形摩天輪的直徑為100米，圓心O到水平地面的距離為60米，最上端的點記為Q，現(xiàn)在摩天輪開始逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，30分鐘轉(zhuǎn)一圈，以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（

）A．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)為B．點Q距離水平地面的高度與時間的函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為C．經(jīng)過10分鐘點Q距離地面35米D．摩天輪從開始轉(zhuǎn)動一圈，點Q距離水平地面的高度不超過85米的時間為20分鐘【答案】CD【解析】由題意知，OQ在分鐘轉(zhuǎn)過的角為，所以以O(shè)Q為終邊的角為，所以點Q距離水平地面的高度與時間的關(guān)系為，故A錯誤；由，得，所以不是對稱中心，故B錯誤；經(jīng)過10分鐘，，故C正確；由，得，得，解得，共20分鐘，故D正確.故選：CD12．（2022·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）已知函數(shù)，下列說法中正確的有（

）A．若，則在上是單調(diào)增函數(shù)B．若，則正整數(shù)的最小值為2C．若，把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到的圖像.則為奇函數(shù)D．若在上有且僅有3個零點，則【答案】ABD【解析】依題意，，對于A，，，當(dāng)時，有，則在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于B，因，則是函數(shù)圖像的一條對稱軸，，整理得，而，即有，，故B正確；對于C，，，依題意，函數(shù)，這個函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點不對稱，故C不正確；對于D，當(dāng)時，，依題意，，解得，故D正確.故選：ABD三、填空題13．（2022·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則______．【答案】0【解析】由圖象可知，函數(shù)的周期T＝8，所以，故，因為，，所以．故答案為：0.14．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇高一期末）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到的圖像與將其向右平移個單位后所得到的圖像重合．則的值為________.【答案】2【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即；函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到的函數(shù)為，函數(shù)的圖像向右平移個單位后所得到的函數(shù)為；因為二者的圖像重合，所以，，即.所以.故答案為：2.15．（2022·安徽阜陽·高一期末）已知函數(shù)的圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則關(guān)于x的方程在區(qū)間[－2022，2022]上有________個實數(shù)解．【答案】8088【解析】由圖可知，由，得，因為，所以．由，得，所以，又因為所以，所以，所以．將函數(shù)f(x)圖象上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，所以，最小正周期為1，因為關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，1）上有2個實數(shù)解，所以關(guān)于x的方程在區(qū)間[－2022，2022]上有8088個實數(shù)解．故答案為：8088.16．（2022·遼寧·同澤高中高一期中）將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若在上沒有零點，則的取值范圍______．【答案】【解析】由題意，，因為在上沒有零點，所以半周期，即，因為，所以，所以，或，解得：或所以，的取值范圍是故答案為：.四、解答題17．（2022·上海市嘉定區(qū)第二高一期末）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.(1)求的解析式及對稱中心；(2)先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，再向右平移個單位后得到的圖像，求函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間和最值.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)，，的部分圖像，可得，，．再根據(jù)五點法作圖，，，故有．根據(jù)圖像可得，是的圖像的一個對稱中心，故函數(shù)的對稱中心為，．（2）先將的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的，可得的圖像，再向右平移個單位，得到的圖像，即，令，，解得，，可得的減區(qū)間為，，結(jié)合，可得在上的單調(diào)遞減區(qū)間為．又，故當(dāng)，時，取得最大值，即；當(dāng)，時，取得最小值，即．18．（2022·廣東·佛山高一期中）某同學(xué)用“描點法”畫函數(shù)在區(qū)間上的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：01(1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出在區(qū)間上的圖象；(2)利用函數(shù)的圖象，直接寫出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)將圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，若圖象的一個對稱中心為，求的最小值【解析】(1)因為，所以數(shù)據(jù)補全如下表：0113故在區(qū)間上的圖象如下圖所示：(2)令，解得，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，(3)向左平移個單位得到，的一個對稱中心，，，又，的最小值為．19．（2022·遼寧·大連二十高一期中）海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時刻與水深值（單位：）記錄表：時刻水深值經(jīng)過長期觀測，這個港口的水深與時間的關(guān)系，可以近似用函數(shù)來描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出時，函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與海底的距離），問該船在一天內(nèi)（）何時能進(jìn)入港口？【解析】(1)，，，；由表格數(shù)據(jù)知：最小正周期，即，；，，解得：，又，，.(2)由題意知：若該船能進(jìn)入港口，則需，即，；，，則當(dāng)或或，即或或時