專題9.5 拋物線（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學一輪復習題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題9.5拋物線題型一拋物線的定義與方程題型二拋物線方程與位置特征題型三距離的最值問題題型四實際問題中的拋物線題型五拋物線中的三角形和四邊形問題題型六拋物線的簡單幾何性質題型一 拋物線的定義與方程例1．（2023秋·高二課時練習）過拋物線焦點F的直線與拋物線交于P，Q兩點，若P，Q在拋物線準線上的射影為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線的定義及內錯角相等，可得，，可得答案.【詳解】由于為焦半徑，所以，題中求的是角，故把邊轉化到角，如圖，

則，，，又，所以，，從而.故選：C例2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）設拋物線的焦點為，點，過點的直線交于兩點，直線垂直軸，，則________．【答案】【分析】根據拋物線定義求出，再設直線的方程為，得到韋達定理式，求出點橫坐標，再利用拋物線定義即可求出的長.【詳解】由題意得,因為直線垂直于軸,,準線方程為，所以點的橫坐標為,設，根據拋物線的定義知，解得，則，則，可設直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程有可得，，則，則，解得，則，故答案為：.

練習1．（2023秋·高三課時練習）拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點到焦點的距離是6，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．或【答案】B【分析】由已知，拋物線開口向左，設其方程為，則準線方程為，由條件結合拋物線的定義求出的值即可.【詳解】由已知，拋物線開口向左，設其方程為,，則準線方程為，由拋物線的定義知，點到焦點的距離是，所以，所以拋物線的方程是：，故選：B.練習2．（2021秋·高三課時練習）分別求符合下列條件的拋物線方程:(1)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,且過點;(2)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,焦點到準線的距離為.【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）由題意方程可設為或,將代入求解即可;（2）根據拋物線的定義焦點到準線的距離為,即,寫出拋物線方程即可.【詳解】（1）由題意,方程可設為或,將點的坐標代入,得或,∴或,∴所求的拋物線方程為或.（2）由焦點到準線的距離為,可知,∴所求拋物線方程為或或或.練習3．（2023·北京·北京四中?？寄M預測）已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據拋物線的定義求得，然后在直角三角形中利用可求得，從而可得答案．【詳解】如圖，連接，設準線與軸交點為

拋物線的焦點為，準線：又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，所以，所以在中，，則，所以拋物線的方程為.故選：C.練習4．（2023·福建福州·福州三中校考模擬預測）已知拋物線與圓，過拋物線的焦點作斜率為的直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點（在軸的同一側），若，則的值是___________．【答案】8【分析】根據給定條件，寫出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理并結合圓的性質及向量等式求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，于是直線：，顯然，由消去y得：，設，則，又圓的圓心為，半徑為1，由，得，即，于是，整理得，又，解得，則，解得，所以的值是8.故答案為：8練習5．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）已知F是拋物線的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若，則___________【答案】4【分析】先求出準線方程為，根據拋物線定義把焦半徑轉化為焦點到準線距離，在直角梯形中由平行線得比練習線段，從而可得，即，從而可得．【詳解】易知焦點F的坐標為，準線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因為，，，所以，又由定義知，所以.

故答案為：4.題型二 拋物線方程與位置特征例3．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線繞其頂點順時針旋轉之后，正好與拋物線重合，則（

）A． B． C．-2 D．2【答案】A【分析】根據拋物線旋轉規(guī)律可得，其焦點坐標從軸負半軸旋轉到軸正半軸，即可得.【詳解】根據題意可得拋物線的焦點坐標為，拋物線的標準方程為，可得其焦點坐標為，易知繞原點順時針旋轉之后得到，即可得，解得.故選：A例4．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：(1)；(2)．【答案】(1)焦點為，準線方程為；(2)焦點為，準線方程為．【分析】（1）根據拋物線標準方程即可判斷焦點位置及，進而寫出焦點坐標和準線方程；（2）將拋物線化成標準方程可得，即可寫出焦點坐標和準線方程；【詳解】（1）由拋物線方程為，可得，且焦點在軸正半軸上，所以可得其焦點為，準線方程為；（2）將化成標準方程為，可得，且焦點在軸負半軸上，所以焦點為，準線方程為.練習6．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習）在同一坐標系中，方程與的曲線大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合橢圓和拋物線的標準方程定義判斷即可.【詳解】由，則方程表示焦點在軸上的橢圓，方程化為，由于，則方程表示焦點在軸上開口向左的拋物線.故選：A.練習7．（2022·高三單元測試）已知，則方程與在同一坐標系內對應的圖形編號可能是（

）A．①④ B．②③ C．①② D．③④【答案】B【分析】結合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對①②③④分析m、n的正負，即可得到答案.【詳解】對于①：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，矛盾.故①錯誤；對于②：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：異號，符合要求.故②成立；對于③：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，符合要求.故③成立；對于④：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號，且拋物線的焦點在x軸上，矛盾.故④錯誤；故選：B練習8．（2022·高三課時練習）根據下列條件，求拋物線的標準方程，并畫圖：(1)準線方程為；(2)焦點在x軸上且其到準線的距離為6；(3)對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于2；(4)對稱軸是y軸，經過點．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析；(4)答案見解析.【分析】（1）根據拋物線的準線方程為，得到且焦點在y軸上求解；（2）根據焦點在x軸上且其到準線的距離為6，得到求解；（3）根據對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于2，得到求解；（4）根據對稱軸是y軸，設拋物線方程為，將點代入求解.(1)解：因為拋物線的準線方程為，所以，p=3，所以拋物線的方程是；其圖象如下：(2)因為焦點在x軸上且其到準線的距離為6，所以，所以拋物線的方程是或；其圖象如下：(3)因為對稱軸是x軸，頂點到焦點的距離等于2所以，p=4，所以拋物線的方程是或；其圖象如下：(4)因為對稱軸是y軸，設拋物線方程為，因為拋物線經過點，所以，解得，所以拋物線的方程是，其圖象如下：練習9．（2023·全國·模擬預測）十一世紀，波斯（今伊朗）詩人奧馬爾·海亞姆（約1048-1131）發(fā)現(xiàn)了三次方程的幾何求解方法，如圖是他的手稿，目前存放在伊朗的德黑蘭大學．奧馬爾采用了圓錐曲線的工具，畫出圖像后，可通過測量的方式求出三次方程的數(shù)值解．在平面直角坐標系上，畫拋物線，在軸上取點，以為直徑畫圓，交拋物線于點．過作軸的垂線，交軸于點．下面幾個值中，哪個是方程的解？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圓的方程，聯(lián)立圓與拋物線的方程求出P的橫坐標滿足的方程可得解.【詳解】由題意，圓的方程為，如圖，聯(lián)立，消去可得：，即，可得或，即P點的橫坐標滿足方程，故點的橫坐標可以滿足的方程.故選：A練習10．（2022·高三單元測試）（多選）已知，則方程與在同一坐標系內對應的圖形可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先將方程化為標準方程得，，再根據拋物線圖形與橢圓或雙曲線圖形判斷即可.【詳解】解：將對應方程化為標準方程得，，所以拋物線的焦點在軸上，故排除D選項，對于A選項，由圖可知，，，矛盾，故A錯誤；對于B選項，由圖可知，，，滿足，故B正確；對于C選項，由圖可知，，，，滿足，故C正確；故選：BC.題型三 距離的最值問題例5．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為______.【答案】3【分析】設出點的坐標，結合圓的切線的性質求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設，有，圓的圓心，半徑，于是，

因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，而點在拋物線內，當且僅當是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.例6．（2023秋·高三課時練習）若點的坐標為，F(xiàn)為拋物線的焦點，點在拋物線上移動，為使最小，點的坐標應為__________．【答案】【分析】根據點位置和拋物線方程可得焦點和準線，利用拋物線定義可知，當三點縱坐標相同時取最小值，即可求得.【詳解】由以及拋物線可知，點在拋物線內部，如下圖所示：拋物線的焦點坐標，準線方程為；作垂直于準線，垂足為，由拋物線定義可得，則，當且僅當三點共線時，取最小值，此時三點縱坐標相同，所以點的縱坐標為，代入拋物線方程可得.故答案為：練習11．（2023·上海虹口·華東師范大學第一附屬中學校考三模）已知是拋物線的焦點，P是拋物線C上一動點，Q是曲線上一動點，則的最小值為_______．【答案】【分析】根據題意，過點作，垂足為，過點，垂足為，根據拋物線的定義，轉化為，結合圖象，得到，當且僅當在一條直線上時，的最小值，即可求解.【詳解】由拋物線，可得焦點坐標為，準線方程為，又由曲線，可化為，可得圓心坐標為，半徑，過點作，垂足為，過點作，垂足為，交拋物線于，如圖所示，根據拋物線的定義，可得，要使得取得最小值，只需使得點與重合，此時與重合，即，當且僅當在一條直線上時，所以的最小值為.故答案為：.練習12．（2022秋·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知是拋物線上的一個動點，則點到直線和的距離之和的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】B【分析】先判斷直線與拋物線的位置關系，過點作于點，于點，連接，根據拋物線的定義，得到，推出，結合圖形，可得，，共線時，最小，進而可得出結果.【詳解】由消去得，因為，所以方程無解，即直線與拋物線無交點；過點作于點，于點，記拋物線的焦點為，連接，因為點到直線的距離為,為拋物線的準線，根據拋物的定義可得，，則到直線和的距離之和為，若，，三點不共線，則有，當，，三點共線，且位于之間時，，則，又，所以，即所求距離和的最小值為.故選：.練習13．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知點是拋物線上的動點，則的最小值為______.【答案】/【分析】根據已知條件將問題轉化為拋物線上的動點到直線和軸的距離之和的最小值，作出圖形，利用拋物線的定義及點到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題可知，過拋物線上的動點作直線的垂線交直線于，過點作軸的垂線交軸于，交準線于點，為拋物線焦點，由，得，所以，如圖所示則動點到軸的距離為所以，當且僅當三點共線時，有最小值，即(此時為點到直線的距離)，所以到直線的距離為，所以，所以.所以的最小值為.故答案為：練習14．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）設P為拋物線C：上的動點，關于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意得到，再利用拋物線的定義結合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，

因為，且關于P的對稱點為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點，所以.當P在線段AF上時，取得最小值，且最小值為.故選：A練習15．（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高級中學有限公司等）2023屆高三一模數(shù)學試題）（多選）拋物線的焦點為，為拋物線上的動點，若點不在拋物線上，且滿足的最小值為，則的值可以為（

）A． B．3 C． D．【答案】ABC【分析】分類討論A的位置，再由拋物線的定義轉化線段和求最小值或三角形三邊關系判定最小值即可.【詳解】

如上圖所示，若A在拋物線內，易知，拋物線的準線為，過P作PE垂直于拋物線準線，垂足為E，過A作AB垂直于拋物線準線，垂足為B，交拋物線于，由拋物線的定義知，當且僅當A、P、B三點共線時，即重合時取得最小值，，又A在拋物線內，故，所以，即；若A在拋物線外，連接AF交拋物線于G點，則，當且僅當重合時取得最小值，此時即.

綜上.故選：ABC題型四 實際問題中的拋物線例7．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預測）圖中是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂距離水面2米，水面寬度為8米，則當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，設拱橋所在拋物線的方程為，根據拋物線過點，求出的值，即可得到拋物線方程，再令，求出的值，即可得解.【詳解】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，可設拱橋所在拋物線的方程為，又拋物線過點，則，解得，則拋物線的方程為，當時，，故當水面寬度為米時，拱頂與水面之間的距離為米.故選：D例8．（2023春·廣東韶關·高三?？茧A段練習）有一個隧道內設雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為______m.【答案】3.8【分析】由題意，建立平面直角坐標系，明確點的坐標，求出拋物線方程，可得答案.【詳解】由題意，如圖建系：則，，，，如圖可設，拋物線方程為，將代入，可得，求得，故拋物線方程為，將代入拋物線方程，可得，.故答案為：3.8.練習16．（2023春·廣西南寧·高三統(tǒng)考開學考試）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，全國人民都為我國的科技水平感到自豪.某學?？萍夹〗M在計算機上模擬航天器變軌返回試驗.如圖，航天器按順時針方向運行的軌跡方程為，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸，為頂點的拋物線的一部分（從點到點）.已知觀測點A的坐標，當航天器與點A距離為4時，指揮中心向航天器發(fā)出變軌指令.(1)求航天器變軌時點的坐標；(2)求航天器降落點與觀測點A之間的距離.【答案】(1)(2)3【分析】（1）設出點，利用的距離和橢圓方程可求出點的坐標；（2）根據拋物線經過的點求出方程，解出降落點的坐標，可得答案.【詳解】（1）設，由題意，，即，又，聯(lián)立解得或（舍），當時，，故的坐標為.（2）由題意設拋物線的方程為，因為拋物線經過點，，所以，，解得，即；令可得或（舍），即；所以，所以航天器降落點與觀測點A之間的距離為3.練習17．（2023·上海·高三專題練習）如圖所示，一種建筑由外部的等腰梯形PQRS、內部的拋物線以及水平的杠桿AB組成，其中PS和QR分別與拋物線相切于A，B，A，B分別是PS和QR的中點.梯形的高和CD的長度都是4米.(1)求杠桿AB的長度；(2)求等腰梯形的周長.【答案】(1)米(2)米【分析】（1）以所在的直線為軸，為原點，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設分別與軸的交點為點，根據已知條件求出坐標，設拋物線的解析式為，代入求出拋物線方程，令解得可得答案；（2）由（1）米，設，直線的解析式為，把代入解得，利用直線的解析式與拋物線方程聯(lián)立，再由解得，可得，A，B分別是PS和QR的中點得，從而得出答案.【詳解】（1）以所在的直線為軸，為原點，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設分別與軸的交點為點，則軸為圖象的對稱軸，且，，米，，所以，設拋物線的解析式為，代入得解得，所以，當時，解得，所以，所以（米），所以杠桿AB的長度為米；（2）由（1）米，，設，且，直線的解析式為，把代入得，解得，所以直線的解析式為，與拋物線方程聯(lián)立得，因為PS和QR分別與拋物線相切于A，B，所以，，所以，解得，經檢驗，是分式方程的根，符合題意，所以，由勾股定理得米，因為A，B分別是PS和QR的中點，所以米，所以米，即等腰梯形的周長為米.練習18．（2023·全國·高三專題練習）有一正方形景區(qū)，所在直線是一條公路，該景區(qū)的垃圾可送到位于點的垃圾回收站或公路上的流動垃圾回收車，于是，景區(qū)分為兩個區(qū)域和，其中中的垃圾送到流動垃圾回收車較近，中的垃圾送到垃圾回收站較近，景區(qū)內和的分界線為曲線，現(xiàn)如圖所示建立平面直角坐標系，其中原點為的中點，點的坐標為．(1)求景區(qū)內的分界線的方程；(2)為了證明與的面積之差大于1，兩位同學分別給出了如下思路，思路①：求分界線在點處的切線方程，借助于切線與坐標軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明；思路②：設直線：，分界線恒在直線的下方（可以接觸），求的最小值，借助于直線與坐標軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明．請選擇一個思路，證明上述結論．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）根據給定信息，可得分界線上任意點到點F與直線EH距離相等，再列出方程化簡作答.（2）選①，求出分界線在點處的切線方程，再求出該切線與y軸分正方形所成兩部分面積差即可；選②，借助恒成立求出b的最小值得直線L，再求出直線L與y軸分正方形所成兩部分面積差即可.【詳解】（1）分界線C上任意點到點F與直線EH距離相等，直線EH：，點，設分界線C上任意一點為，于是得，整理得，所以景區(qū)內的分界線的方程：.（2）選①：點的坐標為，顯然切線斜率存在，設切線方程為，，由，得，由，得，因此分界線在點處的切線方程為，設切線交軸于點，則，梯形面積，顯然，因此，所以．選②：依題意，對恒成立，即，而，當且僅當時取等號，則，即的最小值為1，直線方程為，設直線交軸于點，則，梯形面積，顯然，因此，所以．練習19．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考期中）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面）反射器和位于焦點上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應用于微波和衛(wèi)星通訊等領域，具有結構簡單、方向性強、工作頻帶寬等特點．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，F(xiàn)是拋物線的焦點，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點F到頂點的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標系，設拋物線的標準方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據，解得與的關系，即可得出．【詳解】如圖所示，建立直角坐標系，設拋物線的標準方程為：，，，代入拋物線方程可得：，解得，由于，得或（舍）又，化為：，解得或（舍）.故選：C.練習20．（2023·全國·高二專題練習）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是，燈深，則光源到反射鏡頂點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據已知條件及設出拋物線的標準方程，結合點在拋物線上即可求解.【詳解】在縱斷面內，以反射鏡的頂點（即拋物線的頂點）為坐標原點，過頂點垂直于燈口直徑的直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示，由題意可得.設拋物線的標準方程為，于是，解得.所以拋物線的焦點到頂點的距離為，即光源到反射鏡頂點的距離為.故選：B.題型五 拋物線中的三角形和四邊形問題例9．（2023·廣東珠海·珠海市斗門區(qū)第一中學?？既＃┮阎獟佄锞€的焦點為，準線與坐標軸交于點是拋物線上一點，若，則的面積為（

）A．4 B． C． D．2【答案】D【分析】根據拋物線的定義和標準方程即可求解.【詳解】由，得，則，根據拋物線的定義知2，解得，代入，得，所以的面積為.故選：D.例10．（2023·福建莆田·?？寄M預測）已知拋物線的焦點為，準線為，、是上異于點的兩點（為坐標原點），若，過的中點作于點，則的最小值為_________．【答案】1【分析】結合圖形，利用拋物線的定義和基本不等式即可求解.【詳解】過點作于點，過點作于點，設，，所以，因為，所以，則的最小值為，當且僅當時，等號成立．故答案為：.練習21．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）設拋物線：（）焦點為，準線為，過第一象限內的拋物線上一點作的垂線，垂足為．設，與相交于．若，且的面積為，則拋物線的方程為________________.【答案】【分析】由拋物線定義可得四邊形為平行四邊形，故可得點即得拋物線方程.【詳解】如圖所示，，．所以．軸，，，所以四邊形為平行四邊形，，．，解得，代入可取，，解得．.故答案為：.練習22．（2023春·海南·高三海南中學校考階段練習）設O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，過焦點F且傾斜角為的直線與拋物線C交于M，N兩點（點N在第一象限），當時，，則____________，【答案】【分析】運用拋物線定義及相似三角形性質可求得結果.【詳解】設直線l與拋物線準線交于點E，過點M作準線的垂線垂足為B，準線與y軸交于點G，如圖所示，

則，由拋物線定義知，，所以在中，，所以，又因為，所以，即：，所以，所以.故答案為：3.練習23．（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為，直線與交于，兩點，，線段的中點為，過點作拋物線的準線的垂線，垂足為，則的最小值為____．【答案】【分析】運用拋物線定義及作差法比較大小可求得結果.【詳解】如圖所示，設拋物線的準線為，作于點，于點，由拋物線的定義可設：，，因為，所以由勾股定理可知：，由梯形中位線的性質可得：，又因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，又因為，，所以，即，當且僅當時取等號.所以，當且僅當時取等號.所以的最小值為.故答案為：.練習24．（2023·全國·模擬預測）已知是拋物線的焦點，點A，B在拋物線上，且的重心坐標為，則（

）A． B．6 C． D．【答案】D【分析】求出拋物線的焦點坐標及準線方程，設出點的坐標，利用三角形重心坐標公式結合斜率坐標公式求出弦AB長的表達式，再利用拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線：的焦點，準線方程為，設點，

由的重心為，得，，解得，，直線的斜率，則，又，所以.故選：D練習25．（2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線的焦點為F，準線l交x軸于點E，過F的直線與C在第一象限的交點為A，則的最大值為______．【答案】【分析】先根據拋物線定義轉化為，再聯(lián)立直線和拋物線得出切線斜率即可求出最大值.【詳解】由題意可知，，．如圖所示，過作，垂足為，因為，所以．只要最小，滿足題意，即最小，結合圖形可知，與相切時，最小．設直線的方程為．由得，，由，解之得或（舍去），此時，取得最大值．

故答案為：題型六 拋物線的簡單幾何性質例11．（2023·全國·高三對口高考）已知是拋物線上的兩個點，O為坐標原點，若且的垂心恰是拋物線的焦點，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，結合拋物線的對稱性，得到關于軸對稱，設直線的方程為，由的垂心恰好是拋物線的焦點，得到，根據，列出方程，即可求解.【詳解】由點是拋物線上的兩點，且，根據拋物線的對稱性，可得關于軸對稱，設直線的方程為，則，因為的垂心恰好是拋物線的焦點，所以，可得，即，解得，即直線的方程為.故選：C.

例12．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期末）已知，則方程表示的曲線可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由方程得或，通過分類討論，