數(shù)字電子技術(shù)(第四版)第一章數(shù)制與編碼

第一章 數(shù)制與編碼1第一章 數(shù)

制

與

編

碼進位計數(shù)制數(shù)制轉(zhuǎn)換編碼第一章 數(shù)制與編碼1數(shù)字設(shè)備及計算機存在兩種不同類型的運算：邏輯運算和算術(shù)運算。邏輯運算實際上是實現(xiàn)某種控制功能，而算術(shù)運算是對數(shù)據(jù)進行加工。算術(shù)運算的對象是數(shù)據(jù)，因此對數(shù)的基本特征和性質(zhì)應(yīng)有所了解。同時，數(shù)字設(shè)備中采用二進制數(shù)，因而，在數(shù)字設(shè)備中表示的數(shù)、字母、符號等等都要以特定的二進制碼來表示——這就是二進制編碼。所以本章將對數(shù)制的一些基本知識進行介紹，同時還將介紹一些常用的編碼。第一章 數(shù)制與編碼11.1

進位計數(shù)制目前計數(shù)通常采用進位計數(shù)法。進位計數(shù)法是將數(shù)劃分為不同的數(shù)位，按位進行累計，累計到一定數(shù)量之后，又從零開始，同時向高位進位。由于位數(shù)不同，因此同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位中所表示的數(shù)值是不同的，低位數(shù)值小，高位數(shù)值大。進位計數(shù)法使用較少的數(shù)碼就能表示較大的數(shù)。第一章 數(shù)制與編碼1每個數(shù)位規(guī)定使用的數(shù)碼符號的總數(shù)，稱為進位基數(shù)，又稱進位模數(shù)，用R表示。若每位數(shù)碼用ai表示，n為整數(shù)的位數(shù)，m為小數(shù)的位數(shù)，則進位計數(shù)制表示數(shù)的式子為N=an－1an－2…ai…a1a0a－1a－2…a－m當某位的數(shù)碼為1時所表征的數(shù)值，稱為該數(shù)位的權(quán)值。第一章 數(shù)制與編碼1權(quán)值隨數(shù)位的增加呈指數(shù)規(guī)律增加，最低位的權(quán)值為1，第i位的權(quán)值為Ri。這樣，第i

位數(shù)碼ai所表示的絕對值就是數(shù)碼ai乘上該位數(shù)的權(quán)值，即ai×Ri。故上式可寫成下述按權(quán)展開式N=an－1Rn－1+…+aiRi+…+a0R0+a－1R－1+…+a－mR－m該式對任何進位制均是適用的。第一章 數(shù)制與編碼11.1.1

十進制十進制是人們最熟悉的一種數(shù)制，它的進位規(guī)則是

“逢十進一”。每位數(shù)碼用下列十個符號之一表示，即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。例如一個多位十進制數(shù)為N=(1989.524)D下標D表示十進制數(shù)。根據(jù)位權(quán)的概念寫出按權(quán)展開式：N=1×103+9×102+8×101+9×100+5×10－1+2×10－2+4×10－3第一章 數(shù)制與編碼11.1.2

二進制二進制是目前數(shù)字設(shè)備、計算機采用的數(shù)制。它的進位規(guī)則是“逢二進一”，

每位數(shù)碼只有下列兩個符號：

0，1。

而表示兩種狀態(tài)的電路是很容易實現(xiàn)的，

例如，

三極管的導(dǎo)通與截止，

節(jié)點電位的高與低，

繼電器的閉合與斷開等。 一個多位二進制數(shù)表示如下：N=（1101.01)B第一章 數(shù)制與編碼1下標B表示為二進制。其按權(quán)展開式為N=1×23+1×22+0×21+1×20+0×2－1+1×2－2為便于理解和熟悉二進制，下面列出十進制數(shù)和二進制數(shù)的關(guān)系式：(1101.01)B=1×23+1×22+1×20+1×2－2=8+4+1+0.25=(13.25)D第一章 數(shù)制與編碼1二進制書寫起來太長，故在數(shù)字設(shè)備和計算機中，常采用八進制或十六進制，可有效地縮短字長。因8=23，16=24，故一位八進制數(shù)相當于三位二進制數(shù)，一位十六進制數(shù)相當于四位二進制數(shù)，這樣就分別將字長縮短為原來的1/3和1/4。第一章 數(shù)制與編碼11.1.3

八進制和十六進制八進制的進位規(guī)則是“逢八進一”，每位數(shù)碼用下列八個符號之一表示：0，1，2，3，4，5，6，7。一個多位八進制數(shù)表示如下：N=（37.4)O下標O表示為八進制。其按權(quán)展開式為N=3×81+7×80+4×8－1=24+7+0.5=(31.5)O第一章 數(shù)制與編碼1為便于比較，表1-1列出不同數(shù)制的對照關(guān)系。由表可以十分方便寫出二進制與八進制、十六進制的關(guān)系：10101100.1001=(254.44)O=(AC.9)H由于二進制機器實現(xiàn)起來十分容易，而十進制為人們熟悉，八進制和十六進制可壓縮字長，因此，這幾種數(shù)制都會用到，這樣必然會遇到不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)換問題。第一章 數(shù)制與編碼1第一章 數(shù)制與編碼1.2

數(shù)制轉(zhuǎn)換1.2.1

其它進制數(shù)與十進制數(shù)相互轉(zhuǎn)換11.其它進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)其它進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)用加權(quán)法，即將其它進制數(shù)寫成按權(quán)展開式，然后各項相加，則得相應(yīng)的十進制數(shù)。［例1］

N=(1011.011)B=(?)D按權(quán)展開N=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2－1+1×2－2+1×2－3=8+2+1+0.25+0.125=(11.375)D今后數(shù)碼為0的那些項可以不寫。第一章 數(shù)制與編碼1［例2］

N=(153.07)O=(?)DN=1×82+5×81+3×80+7×8－2=64+40+3+0.109

375=(107.109

375)D［例3］

N=（E93.A)HN=14×162+9×161+3×160+10×16－1=3584+144+3+0.625=(3731.625)D第一章 數(shù)制與編碼12.十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為其它進制數(shù)十進制數(shù)分為整數(shù)和小數(shù)兩部分，它們的轉(zhuǎn)換方法不同。整數(shù)轉(zhuǎn)換，采用基數(shù)除法，即將待轉(zhuǎn)換的十進制數(shù)除以將轉(zhuǎn)換為新進位制的基數(shù)，取其余數(shù)，其步驟如下：第一章 數(shù)制與編碼1將待轉(zhuǎn)換十進制數(shù)除以新進位制基數(shù)R，其余數(shù)作為新進位制數(shù)的最低位（LSB）；將前步所得之商再除以新進位制基數(shù)R，記下余數(shù)，作為新進位制數(shù)的次低位；重復(fù)步驟（2），將每次所得之商除以新進位制基數(shù)，記下余數(shù)，得到新進位制數(shù)相應(yīng)的各位，直到最后相除之商為0，這時的余數(shù)即為新進位制數(shù)的最高位(MSB)。第一章 數(shù)制與編碼1［例4］

(241)D=(？)B=(？)O=(？)H即第一章 數(shù)制與編碼1當?shù)玫蕉M制數(shù)后，可直接通過二進制數(shù)寫出八進制和十六進制數(shù)。純小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換，采用基數(shù)乘法，即將待轉(zhuǎn)換的十進制的純小數(shù)，逐次乘以新進位制基數(shù)R，取乘積的整數(shù)部分作為新進位制的有關(guān)數(shù)位。第一章 數(shù)制與編碼1步驟如下：將待轉(zhuǎn)換的十進制純小數(shù)乘以新進位制基數(shù)R，取其整數(shù)部分作為新進位制純小數(shù)的最高位；將前步所得小數(shù)部分再乘以新進位制基數(shù)R，取其積的整數(shù)部分作為新進位制小數(shù)的次高位；重復(fù)前一步，直到小數(shù)部分變成0時，轉(zhuǎn)換結(jié)束?；蛘咝?shù)部分雖未變成0，但新進位制小數(shù)的位數(shù)已達到預(yù)定的要求（如位數(shù)的要求或者精度的要求）時，轉(zhuǎn)換也可

結(jié)束。第一章 數(shù)制與編碼1［例5］

(0.875)D=(?)B即(0.875)D=(0.111)B第一章 數(shù)制與編碼1［例6］

(0.39)D=(?)B即第一章 數(shù)制與編碼1此例中不能用有限位數(shù)實現(xiàn)準確的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換后的小數(shù)究竟取多少位合適呢？實際中常用指定轉(zhuǎn)換位數(shù)，如指

定轉(zhuǎn)換為八位，則（0.39)D=(0.01100011)B；也可根據(jù)轉(zhuǎn)換精度確定位數(shù)。如此例要求轉(zhuǎn)換精度優(yōu)于0.1%，即引入一個小于1/210=1/1024的舍入誤差，則轉(zhuǎn)換到第十位時，轉(zhuǎn)

換結(jié)束。如果是一個有整數(shù)又有小數(shù)的數(shù)，則整數(shù)小數(shù)應(yīng)分開轉(zhuǎn)換，再相加得轉(zhuǎn)換結(jié)果。第一章 數(shù)制與編碼1［例7］

（52.375)D=(?)B整數(shù)為52，按整數(shù)轉(zhuǎn)換方法——基數(shù)除法進行轉(zhuǎn)換。即(52.375)D=(110100.011)B第一章 數(shù)制與編碼11.2.2 二進制數(shù)與八進制數(shù)、十六進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換由于二進制數(shù)與八進制數(shù)和十六進制數(shù)之間正好滿足23和24關(guān)系，因此它們之間的轉(zhuǎn)換十分方便。二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)、十六進制數(shù)時，將二進制數(shù)由低位向高位每三位或每四位一組，若最高位一組不足位，則整數(shù)在有效位左邊加0，小數(shù)在有效位的右邊加0，然后按每組二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)或十六進制數(shù)。第一章 數(shù)制與編碼1［例8］

(111010101.110)B=(?)O=(?)H(111010101.110)B=111/010/101.110=(725.6)O=0001/1101/0101.1100=(1D5.C)H八進制數(shù)、十六進制數(shù)轉(zhuǎn)為二進制數(shù)是上述的逆過程，分別將每位八進制數(shù)或十六進制數(shù)用二進制代碼寫出來，

然后寫成相應(yīng)的二進制數(shù)。第一章 數(shù)制與編碼［例9］

(563)O=(?)B,(563)H=(?)B(563)O=101/110/011=(101110011)B1(563)H=0101/0110/0011=(10101100011)B當要求將八進制數(shù)和十六進制數(shù)相互轉(zhuǎn)換時，可通過二進制來完成。第一章 數(shù)制與編碼1［例10］

(8FC)H=(？)O(8FC)H=1000/1111/1100=(100011111100)B=100/011/111/100=(4374)O第一章 數(shù)制與編碼11.3

編

碼在數(shù)字設(shè)備中，任何數(shù)據(jù)和信息都是用代碼來表示的。在二進制中只有兩個符號，如有n位二進制，它可有2n種不同的組合，即可以代表2n種不同的信息。指定某一組合去代表某個給定的信息，這一過程就是編碼，而將表示給定信息的這組符號叫做碼或代碼。實際上，前面討論數(shù)制時，我們用一組符號來表示數(shù)，這就是編碼過程。由于指定可以是任意的，故存在多種多樣的編碼方案。本節(jié)將討論幾種常用的編碼。第一章 數(shù)制與編碼11.3.1

二—十進制（BCD）碼由于二進制機器容易實現(xiàn)，所以數(shù)字調(diào)和中廣泛采用二進制。但是，人們對十進制熟悉，對二進制不習慣。兼顧兩者，我們用一組二進制數(shù)符來表示十進制數(shù)，這就是用二進制碼表示的十進制數(shù)，簡稱BCD碼（Binary

CodedDecimal的縮寫）。它具有二進制數(shù)的形式，卻又具有十進制數(shù)的特點。它可以作為人與數(shù)字系統(tǒng)聯(lián)系的一種中間表示。第一章 數(shù)制與編碼1一位十進制數(shù)有0~9十個數(shù)符，必須用四位二進制數(shù)來表示，而四位二進制數(shù)有十六種組態(tài)，指定其中的任意10個組態(tài)來表示十進制的十個數(shù)，其編碼方案是很多的，即而目前使用的編碼還未到十種。

BCD編碼大致分為有權(quán)BCD碼和無權(quán)BCD碼。從十六種組合中取出10種組合，組成BCD碼，余下的6種組合對應(yīng)的代碼為非法碼，不允許出現(xiàn)，否則將產(chǎn)生錯誤。第一章 數(shù)制與編碼11.有權(quán)BCD碼在有權(quán)BCD碼中，每一個十進制數(shù)符均用一個四位二進制碼來表示，這四位二進制碼中的每一位均有固定權(quán)，即表示固定的數(shù)值。常見的有權(quán)BCD碼如表1-2前三列所示。第一章 數(shù)制與編碼1第一章 數(shù)制與編碼1表中所列權(quán)值就是該編碼方式相應(yīng)各位的權(quán)，如8421BCD碼，它們的權(quán)值由高到低各位權(quán)值為8、4、2、1。代碼為1001，其值為8+1=9。而同一代碼1001，對應(yīng)其它代碼所表示的數(shù)就不同。

5421碼為6；2421碼為3，其原因是權(quán)值不同。有權(quán)碼的按權(quán)展開式為N=a3W3+a2W2+a1W1+a0W0第一章 數(shù)制與編碼1式中a3~a0為各位的代碼，W3~W0為各位的權(quán)值。按上式可以由給定編碼方案，求出各位的權(quán)值；也可由給定的權(quán)值，求出其編碼方案。有權(quán)BCD碼中用得最多的是8421BCD碼，因為它最直觀，取四位二進制的前十種代

碼，能很容易地實現(xiàn)8421BCD到十進制數(shù)的相互轉(zhuǎn)換。如十進制數(shù)586.13用8421BCD碼表示為586.13=0101

1000

0110.0001

0011第一章 數(shù)制與編碼1同樣地，要將8421BCD碼轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，則只要從最低位開始，將BCD碼按四位一組，然后按8421BCD碼的權(quán)值寫出十進制數(shù)即可。如(0011011110010110)8421BCD=0011/0111/1001/0110=3796如要將BCD碼轉(zhuǎn)為十進制數(shù)、八進制數(shù)、十六進制數(shù)，則首先應(yīng)將BCD碼轉(zhuǎn)為十進制數(shù)，然后再按前節(jié)所講的十進制與其它進制的轉(zhuǎn)換方法進行轉(zhuǎn)換。第一章 數(shù)制與編碼12.無權(quán)BCD碼余3代碼是一種無權(quán)碼，四位二進制中每一位均無固定的權(quán)位，它與8421BCD有如下的關(guān)系：余3BCD=8421BCD+3如余3BCD的1100所代表的十進制數(shù)為8+4－3=9。第一章 數(shù)制與編碼11.3.2

可靠性代碼代碼在產(chǎn)生和傳輸?shù)倪^程中難免發(fā)生錯誤。為減少錯誤的發(fā)生，或者在發(fā)生錯誤時能迅速地發(fā)現(xiàn)或糾正，廣泛采用了可靠性編碼技術(shù)。利用該技術(shù)編制出來的代碼叫可靠性代碼，最常用的有格雷碼和奇偶校驗碼。第一章 數(shù)制與編碼11.格雷(Gray)碼具有如下特點的代碼叫格雷碼：任何相鄰的兩個碼組(包括首、尾兩個碼組)中，只有一個碼元不同。在編碼技術(shù)中，把兩個碼組中不同碼元的個數(shù)叫做這兩個碼組的距離，簡稱碼距。由于格雷碼的任意相鄰的兩個碼組的距離均為1，故又稱之為單位距離碼。另外，由于首、尾兩個碼組也具有單位距離特性，因而格雷碼也叫循環(huán)碼。格雷碼屬于無權(quán)碼。第一章 數(shù)制與編碼1下面列出二、三、四位格雷碼，從中可找出一定的規(guī)律。第一章 數(shù)制與編碼1其規(guī)律如下：以虛線為界，將高位0改為1，其余各位倒著往上數(shù)，順著往下寫，即得格雷碼。按此規(guī)律可以寫出更多位的格雷碼。格雷碼的單位距離特性可以降低其產(chǎn)生錯誤的概率，并且能提高其運行速度。例如，為完成十進制數(shù)7加1的運算，當采用四位自然二進制碼時，計數(shù)器應(yīng)由0111變?yōu)?000，由于計數(shù)器中各元件特性不可能完全相同，因而各位數(shù)碼不可能同時發(fā)生變化，可能會瞬間出現(xiàn)過程性的錯碼。第一章 數(shù)制與編碼1變化過程可能為0111→1111→1011→1001→1000。雖然最終結(jié)果是正確的，但在運算過程中出現(xiàn)了錯碼1111、1011、1001，這會造成數(shù)字系統(tǒng)的邏輯錯誤，而且使運算速度降低。若采用格雷碼，由7變成8，0100→1100只有一位發(fā)生變化，就不會出現(xiàn)上述錯碼，而且運算速度會明顯提高。格雷碼也可組成BCD碼，如表1-2所示。第一章 數(shù)制與編碼12.奇偶校驗碼奇偶校驗碼是一種可以檢測一位錯誤的代碼，它由信息位和校驗位兩部分組成。信息位可以是任何一種二進制