考研數(shù)學(xué)真題極極限和連續(xù)

考研數(shù)學(xué)真題極限與連續(xù)數(shù)學(xué)考研取得高分主要的幾個環(huán)節(jié)：?1.客觀題（選擇題、填空題）必須處理好一一快、準(zhǔn)！?2.手必須熟，筆不離手，不但會算而且算的快、算的準(zhǔn)！?3.歸納總結(jié)每一章的重點題型、常用方法、常用結(jié)論及有關(guān)技巧!重點題型一：求極限?L函數(shù)求極限常考題型：七種未定式的極限常用方法：等價代換、洛必達(dá)法則、泰勒公式、拉格朗日中值定?常用結(jié)論：?*-?a■j*jnminrs.描_值城窮關(guān)蘿linftJJ-.4^..rijj.4+ff_其嘩hki'.Z-bd+jl-y?1等鎗代裁羣邏guiri*i(忽如AML隹Oh_fiH

A*.J-laJ—yf'ij-?rt?1■^yJ,|1霣_的_?代》i

Ckunj

―umni、unj

?iiniaj—IniI*I-r?t

?*4--】?：rfn+jrb—1*?trd十j+++十+肉、aibj-"j~yIflJ*(S)如霰??人卜f_*bu^-=a*h?么fl—卜/-f'apa—皿、學(xué)么a+蘆?if+/T.1幾十轚?甬徽的奉瞧屑拜式In■b4-r今Ph(1^)*=I+!><?).4,寶限職#的等快<J(rhf1(j>((jJ*f1Q>(1)*lrlr)*f*(jh/tr)-r(JhH/⑴

dr-’*/*<，)*(數(shù)二)解法3/(j)/w/44liniX—Iiff/

Vrlf/(j'—/)dz0[2005]—f)f(t)dt設(shè)函數(shù)/Cr)連續(xù)_且/(0)乒0.求極限lini_：—=1_lim-(x—O/(f)dfL」。,t-=10if0’"i/hh0遡221戸/卜輪=101__L22L￡_=1__1121_=丄lim/(.r)+/(0)■f(0)+/(0)'Vr-*0解=2lim-6j*■r<larctanfl+/)d/dw',=于是arctan(l+/)ds/(u)dw]?=/(:)==yA=

A34-6*raretan(l+/)d/(J-'uarctand+/)d^du0Q—Qr2jarctan(l+j?y)2、、

Z1t

；x=L

lim-?-------=—hmarctanf1十jt)J-+0OT3其中f(u)=oarctanfl+r)d/dw=o-Ca

1iXarctand+⑽

o_3i'原極限-2lim^j-M)（數(shù)三）[Iarctand+/)d/1d?箱限!^-勺「-;-注J0LC.r解lm-rr*&2+cosj~—3rb2+cosi,丁Hi2-ln（l+‘，-=lini-x（^S）求極限li二一KShhm0,i2+cosi2+cost

n

原式"r*QXr*fl2+COSJ=lim—^—r~r*0r（數(shù)二）解—04*而=2(tani)'i=2sc(^=4,4故時?雛也可以轉(zhuǎn)化為麵極限利用洛必達(dá)法則，但+如上醜接湊導(dǎo)數(shù)注26tan[7―)_1_h.

V4uf求!im---r?1這是？”型，直接有l(wèi)iratan（了A=1醐ifinJF*X(++斗1lani￡III-1n[測-I]|計算limtarf(-7-+—).\4nz，[郵(f巧)-[]=〆，tan~1=lim—h1J的定義方便.[20U]Bilim(tanjr)（數(shù)三）34}

l答應(yīng)填這是*T”型，直接有1im(tanj

-e二e1，而A=\mtan^J-=lim——~~-~=-<^2，故lim(tan.^cosz-sinz^cos^(l-lanx)巧注如沒想到對分母提出一個cos也可采用洛必達(dá)法則計算lim-H—^cossinx2.已知極限反求參數(shù)常用結(jié)論-—0—0,則litngUO—1.lim=AJimg(x)=0,則lim/(j)=0,gCr)9i.fkl(數(shù)一)1-COST即l=yA—At:命=1胱Ij_」m7-，-cosi//—cosjA+jJ廣cosJ則必有1_-??)=0,否則，上式右端求導(dǎo)后的極限是0,腳根據(jù)洛必達(dá)法則，左端極限也應(yīng)該是0,這1^)與左端極限是1矛盾!故卜1，進(jìn)而53[1987~1

]■求正常心與6，使弒I*?r姑I_I*1十f_pVil—’I*J解1-lim—.-；---lim-：-----linir/mmjw-cosi4blimT1-r^-Jlimx1-r^9L-|3.數(shù)列求極限?？碱}型：n項和（積）、遞推關(guān)系的數(shù)列常用方法：假幣準(zhǔn)則、定積分定義、單調(diào)有界準(zhǔn)則[1998]29解由于丌S1D~n_________4sin—n求iin+2ksin—.1m.msin—sin—<jj+11nn十一所以乂■fTIsin一"+丄叫-1Iulim丄Ssin^=ff*?flf=l

III1.2sinjr.rdz—一onlimb

，2于是巾夾過準(zhǔn)則推知原式答案為丌(數(shù)二)|E_]H■-i.r：■廣*所以即H=0,；r+l<I)c、in/udr足典型的循環(huán)積分(兩次分部積分后再次出現(xiàn)本身\注(2)本題實際上有著更?般的結(jié)論:門答解imlim?Itr，sinnr(Li=—e-rsinnr+j#|^'cosMrdr=—fsinni

—r;c_r(x)s打r—hj應(yīng)填o.令=limraphs若在，階連續(xù)異數(shù)?則hm/U)smnrdr=0,可用夾逼準(zhǔn)劓去推導(dǎo).留給讀若自練.e_r

sinnrcLr=___________o(i-mM7-

+?cosm,,一7+1一+('<?icc)snr4-sin)c_/1!

"17T1I?！笹iaw/j+sinn)t_l

,+

^+Ue-Jsinnrclr=limoIF?(數(shù)一數(shù)二數(shù)三)[2(110](I)比較pi30的大小，說明理由I(11)記|Inf|Jn(I+f)]Mdi與廣|In/|d/(n=1，2,…)J0J0IInH[ln(l+d]ffd/(H=].2,…)0fl由定積分的性質(zhì)，得0\\nt\

ln(l+/)]Nd/^l/N

|Inf|d/.（n）由（i）知0w為0.廠1

,t

IInHd/=0,故山央逼準(zhǔn)則知,Jo11071十1J1(”+1k’解(1)當(dāng)(?1時,因為(<ln(l+構(gòu)，所以0<|!n，|[h(l+f)]fl<r|ln小|In'|[ln(l+/)],Jdz<廣|Inf|At.⑴本題第一剛到基本不輒南＜_丄）＜川e＜（），》■■1嚴(yán)find/hu（2）第二問實kk有更一般的結(jié)論:若/Cr＞在［0，1］上連續(xù).則lim|.r7（T）d.r

=0（讀者可用夾遙非?r-?J0則簡單驗證）.由于linVIIntI=0_記/（/）—t

|IntI，0＜/＜1，則可補(bǔ)充定義/（0）=0.這樣i-*o+/（O=f|InfI在［0,1］上連續(xù)，再根據(jù)上面的結(jié)論便有Ilimllinif1

|In;|［1n（1+，）］7k=riIInf|=—所以limt*Inz|d/=0.故由夾逼準(zhǔn)則知limiz^O.o0ri（數(shù)二）1U=1.2,?“），證明數(shù)列的極限存在.I證即數(shù)列W單猢城少_故由單S有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知數(shù)列UJ的極限存在.fM/(Hl)C/(j)dj</(na=l>2r-)t［1999］設(shè)八j）是區(qū)間［0，+?O上單調(diào)減少且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)人=S/（?-「/Gr）drBr1-|—心=/h+b—?dú)Wa-=/Cddi=X/^)_X/<^^=S/(()—/'(J)心Ji!_i*-i*-iL

“」（數(shù)二數(shù)三）Tl-ln(1':卜7)[2011]（I_:對任意的正整數(shù)?.OTj|<ln[l十$<丄成立(

II>設(shè)t^=l+j+**.+^—ln"(H=l，2r“).證明數(shù)列W收斂.證法3令F(z)=丄一Inf1+丄)(r〉O)，uf知|imF(j)=0.T\Tfr*細(xì)(D證由<I>知，當(dāng)時a?

=1+++…十—Inrt>ln(l+l)+lnf1+各1

ln(1+—)—In=ln(l+/?卜Inh>0，故數(shù)列UJ單調(diào)減少且有下界，所以kJ收斂，■又GfCr)=_{"，、十、，<0(j〉0)，z(z^l)(I十J)H即G(i)(_r〉O)單調(diào)城少，所以G(.r)>0(_r〉O).故GU)>0,即士<ln(l十丄).?十1\nf11綜上可知，有叔<ln(l++)<+■（數(shù)二）［2012］（丨細(xì)方程？+f+…+x=l（n為大于1的整數(shù)）在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個而4!>0.所以■r?〉^jr,r+1，a=2*3?1，65-i+^7l十…+A,|，實根；（U?1沖的1根為?醐1腑,存在,并求此極限.<II）解由于所以數(shù)列有界，za，：；+…+」、=1，xr!+-r：i1+J口-----^-1（=1lillLf?=,J.IV警年BUU單調(diào)喊少，由以t討論知.數(shù)列trd單調(diào)有界，故收斂，設(shè)a=K.由于J,JM令）wxj,并注意到則有解得zI_a'zC.r,—.1^1）!I+（人十人+l

>+…+（」廠［十.j'^\rw+1+--*+.r^i）］>O,顯然方括號內(nèi)各項均為TF.F是有重點題型二：無窮小的比階常用方法：等價代換、洛必達(dá)法則、泰勒公式考點點睛兩個無窮小的比階本質(zhì)上就是極f艮的問題.故常用的方洛擾是求型極限的方法:等；價代換.洛必達(dá)法則，泰勒公式.；⑴若J(j)?ar\j40,則jiO葉,/(j)是滯階無貧小量.；(2)=則jt+O時/Cr)是.r的無窮小量.!(3)若/(J)-￡10+￡^+(1/

qj*1+?/+■■■，|a(

==0j=…=且u,#0,則j一是j

的"降無窮小先(4)若f(i^~j"十刑/(t)?■即當(dāng)t->0時，/<j)是,r妁m階充窮小量■[1993—]]設(shè)/Cr)=|sin/.1-*0時，/(_r)是g(j)的(/\)等價尤窮/|、.(OS階無窮小.(B)同階但_等價的無窮爪(D)低階無窮小.答應(yīng)選(Bhf(

“**inisin*/*1\e?imfcuvCi***111Jrj1解法2/0時，sinZ?j‘1sinJ*~Ti則a:sint'dt

?01/‘df=■故選(B)0i一!?十a(chǎn)(當(dāng)j-*0時，sin(sinM^x2)1=T所以，當(dāng)i*0時,/Cr)與?Cr)是同階但非等價的無窮小.(數(shù)二)故山)足和)同階似不等價的無究小fs.70(A)髙階無窮小.(C＞同階但不等價的無窮小.解法2a^inj

丄(l+n，df0U十tJ'dz[1999]設(shè)—d/,/?(T)=Jo/..?i*sinI■j4itx——-—5_u=a_—?hni(l十sinj)射=—聲1，答應(yīng)選(C).解法1先利用洛必達(dá)法則求出hmg.Ff根裾此極限值進(jìn)行判定.作r；n1*Sji*ryr^y-d/|Id/=="rr?K，Jf-ed/=Jo(1十sinjJ‘?mj?i(1+/)'d/_則4,r-*0時_aU)是的0(B)低階尤窮小.(I))等價無窮小，(數(shù)二)___S3[1997]設(shè)函數(shù)f(j)=o答應(yīng)選(B).1.解法2/U)=(A)低階無窮小,(C＞等價無窮小.*l-co?xr，5r6sinrd/，g(j*)=:_-+7,則當(dāng)j-^O

時，/(/是gG)的a0＜B＞高階無窮小.階fl不等價的無窮小.解法1名次剌ffl洛必伏決ffl_并利雕m^=l.束棖剛nr44廣d/——?,紀(jì)o24仏*02

IJL'l-(nsjsin?山?0(j：〉=++，故選(B>.bob■JI_￡AiJL2sint

?(1—cos?cos(1—cosx)2=133?+4P..2(1—cosj?)..2sinxA=!^^+47'=^m=0'(數(shù)一數(shù)二)[2004]把j-*0+時的無窮小量fl=(D)jS.y.fl.解法2利用變限分的等價*0-時.《=n'rz?39，卜」:..2jtantrt=1血-=0COSJ=-7/.故選(B)4Jo4cos/2ck?ld/=j，/3=tan\/Fd/?=—/.cosJo后面的是前一個的高階無窮小ft*則正確的棑列次序足⑷咖亂z，A((')?,廣tan^d/,y=[^sin排列起來，使排在..2jtanr?=lmi-7-=0，sin^zsinj-1所以7是較tr高階的無窮小

是較y高階的無窮小量，即選項正確.23tan0?fl答應(yīng)選(B).*/lan^d/n解法1因j-*0*￡1j^*€+cos/ci/（數(shù)二）[0[2005]當(dāng)[ht.a(jr)-kx'

J-)—/I+larwinjc~

人。s_r足等價尤窮小il?則k-（數(shù)一數(shù)一數(shù)二）43設(shè)函數(shù)_f(j}=_r+aln(l+j>+6jsinxfg(T)=^j\若/(1>與〆?!)在r~**0時是等價無■窮小，求d，M的值.*33解巾于ln(j=jT'^:y+o(j,3).IA

b■所以*7J/tr)=j+?ln(1+x)+frrsinj=j+?(j―+y)+&?+01?)=(1+士+(6—號)/+*|\^+0(/).■內(nèi)為/(.r)與g(j}=^/在J-刊時等價?聽以l+a=0J?—專1?卜號，解得a=-1，6=_~j，*=_去*重點題型三：連續(xù)與間斷常用結(jié)論：考點點睛:1.連續(xù)的兩種定義)=/(-r0)或lim^y=+=Ot;2.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)兩個連續(xù)函教的和、差.枳、商(分母不為0)所荇的函教仍是連續(xù)函教.(2)漣續(xù)函釹復(fù)合連續(xù)其軚所洱的焱鮫仍是連續(xù)函致.■(3)基本初等函教在其定義域內(nèi)連續(xù).*(4)初等S教在其定義區(qū)閱內(nèi)連續(xù).:1間斷點的判定(1)找函教的同斷點往往是找函教區(qū)間內(nèi)部的無定義點.若是分段函教還應(yīng)該考慮分段點.(2>判定是忤么類型的間斷點是通過求該點的效艱來磅定的，特別應(yīng)注意常出現(xiàn)的+>”,wardan型要分左右極限.(數(shù)二)E3[2005]S函數(shù)則e-,~l(A).r=0，x=I都是/Cr)的第一類間斷良(B)t=0,j=1都是/(t)的第二類間斷屯(Ch=0是/(/)的第一類間斷點u=l是/Cr)的第二類間斷點.(l)h'=0是/U)的第二類間斷點,.r=l是/(t?第一魏斷點.應(yīng)選(:兒解lim—，敁.r=0是第：類間斷點.一1W為lim^—=-lJim^=0f故j=1是第一類間斷點,eTd—[卜1

e1'1-1[2013]函數(shù))ln|;|炯去間斷點的個數(shù)為(A)0.答應(yīng)選(CL(肌(02.(1))3.解巾函數(shù)的表達(dá)式可知需要考S的點只有三個:0?—1，1，在其他點處函數(shù)均連續(xù).因為r

|什一1一」-|MnLrl1^j*(T+l)ln|r|Din|j*|j^?T(T+l)ln|T|J^ajt+1可知t-0是函數(shù)的一個可去間斷點.，

|斤一1re^-l，‘Tin|j-|r

11ferU、+l)ln|i|=!ir?x7+lMd=tv+l)ln卜|士JTTY，可知x=l是函數(shù)的另一個可去間斷點.r

|t|'—1Pe^l'I—jlti|z|v1而JHGr+l)ln|:rJHCr+l)ln|,rhcr+l)ln

W=蛔品=°°可知^=-1是函數(shù)的無窮間斷點I不是可去間斷點.綜上可知，選項(C)符合題意.（數(shù)二）98j—aicsini[2(HI3]設(shè)g數(shù)八jO=<i<0，1=f）’問a為何K時，在T=o處連續(xù);（J為何伉j〉0.時,戶0是/Cr）的可去間斷點?解i-e{Ind+aj5)_i-tzj3-hm-:一-lim--:—r-o-j—arcsmx

w~J^arc5inj___(.3oj':

(.orz—J_____________=Iim-----；—=Iim——-7—■lim/I■r*CT1一1.r]—j-*—]r*0*?F76ii,r-=lim----=一6(f.^0-____yi—?rr,、P

eur+jr2—(l「1■，-eur

+j^-d.r—1hninm--------—Ihm-；-jsmv________=4l]m-e—^^---=2+2)=2a:+(令lini/(J)=lim/Cr).^|'-6a=2a2+4<j=—1或a=—2.■rXfJ^CT當(dāng)a=~l

時，Iim/b)=6=/