時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析

時域離散信號和系統(tǒng)的頻域分析The

Frequency-domainAnalysis

of

the

DiscreteTime

Signal

&

System第一頁，共四十五頁。內(nèi)容提要時域離散信號的傅里葉變換周期序列的傅里葉級數(shù)序列的Z變換討論Z變換的定義和收斂域逆Z變換Z變換的定理和性質(zhì)系統(tǒng)的頻率響應系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及特點第二頁，共四十五頁。·

信號和系統(tǒng)的分析方法：時域分析和頻域分析模擬信號：連續(xù)時間函數(shù)表示信號，微分方程表示系統(tǒng)，F(xiàn)T或LT表示其頻域時域離散信號：序列表示信號，差分方程描述系統(tǒng)，F(xiàn)T或Z變換表示其頻域第三頁，共四十五頁。2.2.1時域離散信號的傅里葉變換而f(jΩ)的傅里葉反變換定義為：連續(xù)時間信號f(t)的傅里葉變換定義為：第四頁，共四十五頁。時域離散信號x(n)的傅里葉變換定義為X(ejω)的傅里葉反變換定義為在物理意義上，X(ejω)表示序列x(n)的頻譜，ω為數(shù)字域頻率。

X(ejω)一般為復數(shù)，可用它的實部和虛部表示為或用幅度和相位表示為(2.2.1)第五頁，共四十五頁。例2.9求下列信號的傅里葉變換解：時域離散信號的傅里葉變換具有以下兩個特點：X(ejω)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)。當x(n)為實序列時，X(ejω)的幅值|

X(ejω)|在0≤ω≤2π區(qū)間內(nèi)偶對稱函數(shù)，相位arg[X(ejω)]是奇對稱函數(shù)。第六頁，共四十五頁。Note：并不是任何序列x(n)的傅里葉變換都是存在的。條件：只有當序列x(n)絕對可和，即時，式(2.

2.1)中的級數(shù)才是絕對收斂的，或x(n)的傅里葉變換存在。第七頁，共四十五頁。2.2.2

時域離散信號傅里葉變換的性質(zhì)(1)FT的周期性n,

M為整數(shù)(2.2.6)因此序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。X(ejω)是傅里葉級數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。(2)線性設則第八頁，共四十五頁。(3)時移和頻移特性設則(2.2.8)(2.2.9)(4)序列的折疊設則第九頁，共四十五頁。(5)序列乘以n設則(6)序列的復共軛設則第十頁，共四十五頁。(7)序列的傅里葉變換的對稱性首先定義兩個對稱序列：共軛對稱序列xe(n)，定義為e

o

o

oxe(n)=x

*(-n)；共軛反對稱序列x

(n)定義為x

(n)=-x

*(-n)，此處上標*表示復共軛。其中共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)?共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)第十一頁，共四十五頁。序列的傅里葉變換X(ejω)可以被分解成共軛對稱與共軛反對稱兩部分之和，即其中第十二頁，共四十五頁?！?/p>

FT的對稱性(a)將序列x(n)分成實部xr(n)與虛部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)將上式進行FT，得到X(e

jω)=Xe(e

jω)+Xo(e

jω)式中結(jié)論：序列分成實部與虛部兩部分，實部的FT具有共軛對稱性，虛部和j一起對應的FT具有共軛反對稱性。第十三頁，共四十五頁。(b)將序列分成共軛對稱部分xe(n)和共軛反對稱部分

xo(n)，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)其中：第十四頁，共四十五頁。將上面兩式分別進行FT，得到FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)所以：X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

(2.2.26)結(jié)論：序列的共軛對稱部分xe(n)對應著FT的實部XR(ejω)，而序列的共軛反對稱部分xo(n)對應著FT的虛部（包括j）。第十五頁，共四十五頁?！?/p>

分析實序列h(n)的對稱性FT只有共軛對稱部分He(ejω)，共軛反對稱部分為零。H(ejω)=He(ejω)H(ejω)=H*(e-jω)實序列的FT的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為HR(ejω)=HR(e-jω)HI(ejω)=-HI(e-jω)第十六頁，共四十五頁?！?/p>

實序列h(n)分解為共軛對稱部分和共軛反對稱部分h(n)=he(n)+ho(n)則：he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因為h(n)是實因果序列(2.2.27)第十七頁，共四十五頁。(2.2.28)實因果序列h(n)分別用he(n)和ho(n)表示為(2.2.29)h(n)=

he(n)u+(n)h(n)=

ho(n)u+(n)+h(0)δ(n)(2.2.30)(2.2.31)第十八頁，共四十五頁。(8)序列的卷積設則(9)序列相乘設則第十九頁，共四十五頁。(10)Parseval定理帕斯維爾定理告訴我們，信號時域的總能量等于頻域的總能量。第二十頁，共四十五頁。2.3周期序列的離散傅里葉級數(shù)2.3.1

定義設 是以N為周期的周期序列，

由于是周期性的，

可以展成傅里葉級數(shù)()其基波頻率為：用復指數(shù)表示：第k次諧波為：第二十一頁，共四十五頁。由于是周期序列，且k次諧波也是周期為N的序列：因此，對于離散傅里葉級數(shù)，只取下標從0到N-1的N個諧波分量就足以表示原來的信號。這樣可把離散傅里葉級數(shù)表示為式中，乘以系數(shù)1/N是為了下面計算的方便；為k次諧波的系數(shù)。第二十二頁，共四十五頁。將上式兩邊乘以由復指數(shù)序列的正交性：所以，第二十三頁，共四十五頁。得到周期序列的離散傅里葉級數(shù)表達式：(2.3.6)(2.3.7)如果將n當作時間變量，k當作頻率變量，則第一式表示的是時域到頻域的變換，稱為DFS的正變換。第二式表示的是頻域到時域的變換，稱為DFS的反變換。由于故 是周期為N的離散周期信號。周期序列的信息可以用它在一個周期中的N個值來代表。第二十四頁，共四十五頁。2.3.2周期序列的傅里葉變換表示式(2.3.8)模擬系統(tǒng)中，令時域離散系統(tǒng)中，令假定其FT的形式與(2.3.8)式一樣，但由于n取整數(shù)，下式成立取整數(shù)第二十五頁，共四十五頁。說明：復指數(shù)序列的FT是在ω0±2πr處的單位沖激函數(shù)，強度為2π，如圖2.3.2所示。因此e

jω0n的FT為(2.3.9)若上述假定成立，則按照式(2.2.4)

的逆變換必須存在，

且唯一等于 ，

下面進行驗證。第二十六頁，共四十五頁。圖2.3.2的FT第二十七頁，共四十五頁。觀察圖2.3.2，

在±π區(qū)間，

只包括一個單位沖激函數(shù)，

等式右邊為 ，

因此得到下式：結(jié)論：證明了式(2.3.9)是ejω0n的FT.對一般周期序列，按式(2.3.4)展開DFS，第k次諧波為其FT為第二十八頁，共四十五頁。式中k=0,

1,

2…N-1,如果讓k在±∞之間變化，上式可簡化成(2.3.10)因此的FT如下式第二十九頁，共四十五頁。表2.3.2基本序列的傅里葉變換第三十頁，共四十五頁。例

2.3.3

令，2π/ω0為有理數(shù)，求其FT。解：將用歐拉公式展開(2.3.11)按照式(2.3.9)，其FT推導如下：第三十一頁，共四十五頁。圖2.3.4

cosω0n的FT第三十二頁，共四十五頁。2.4時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關系·

模擬信號xa(t)的一對傅里葉變換式(2.4.1)(2.4.2)其中，t與Ω的域均在±∞之間。第三十三頁，共四十五頁?！?/p>

連續(xù)信號和采樣信號·

采樣信號 和連續(xù)信號xa(t)的傅里葉變換之間的關系第三十四頁，共四十五頁?！?/p>

時域離散信號x(n)，或稱序列x(n)：x(n)=xa(nT)n取整數(shù)，否則無定義?！?/p>

x(n)的一對傅里葉變換用式(2.2.1)和式(2.2.4)表示：第三十五頁，共四十五頁?！?/p>

討論·X(e

jω)與Xa(jΩ)的關系·

數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω(f)之間的關系將t=nT代入式模擬信號的傅里葉變換式中，得到(2.4.4)并將其表示成無限多個積分和，每個積分區(qū)間為2π/T第三十六頁，共四十五頁。，代入上式后，再將Ω′用Ω令代替，得到式中，因為r和n均取整數(shù)，e-j2πrn=1，交換求和號和積分號得到(2.4.5)第三十七頁，共四十五頁。·

若序列是由一模擬信號取樣產(chǎn)生，則序列的數(shù)字頻率ω與模擬信號的頻率Ω(f)成線性性關系，即：ω=ΩT式中T是采樣周期T=1/fs，將其代入式(2.4.5)得到(2.4.6)現(xiàn)在對比(2.2.4)式和(2.4.6)式，得到(2.4.7)第三十八頁，共四十五頁?！?/p>

結(jié)論：序列的傅里葉變換和模擬信號的傅里葉變換之間的關系，與采樣信號的FT和模擬信號的FT之間的關系一樣，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進行周期延拓，且在頻率軸上進行歸一化（對歸一化）。頻率軸上取值的對應關系用式(1.2.10)表示。第三十九頁，共四十五頁。圖2.4.1模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標關系第四十頁，共四十五頁?！?/p>

例2.4.1設xa(t)=cos(2πf0t)，

f0=50

Hz，以采樣頻率fs=200

Hz對xa(t)進行采樣，

得到采樣信號 和時域離散信號x(n)，

求的傅里葉變換以及x(n)的FT。xa(t)和解：(2.4.8)第四十一頁，共四十五頁。，按照以fs=200

Hz對xa(t)進行采樣得到采樣信號式(1.5.2)

， 與xa(t)的關系式為的傅里葉變換用式(1.5.5)確定，即以Ωs=2πfs為周期，將Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：第四十二頁，共四十五頁。(2.4.9)將采樣信號轉(zhuǎn)換成序列x(n)，用下式表示：x(n)=xa(