數(shù)字電子技術(shù)第五版課件

數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)(第五版)清華大學電子學教研組編閻石主編2006年9月數(shù)字電子技術(shù)第五版說明

本學期講述數(shù)字電路與邏輯設(shè)計，所用的教材為閻石編寫的《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》（第五版），所講授的內(nèi)容為邏輯函數(shù)及其化簡、集成邏輯門電路、組合邏輯電路和時序邏輯電路的分析、半導體存儲器、脈沖單元電路及數(shù)模轉(zhuǎn)換技術(shù)。與低頻模擬電路不同的是其電路輸入輸出為數(shù)字信號，即電壓和電流信號隨時間是離散的。這門課授課為72學時，實驗課18學時，一共90學時，共5個學分，為必修課?？荚囆问酵皖l模擬電路。期末總評成績?yōu)椋浩谀┛荚嚦煽儯üP試，70%）＋平時成績（實驗、作業(yè)及考勤，30%），加油啦！??！

參考書：《數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)》閻石主編，高等教育出版社數(shù)字電子技術(shù)第五版第一章數(shù)碼和碼制內(nèi)容提要

本章首先介紹有關(guān)數(shù)制和碼制的一些基本概念和術(shù)語，然后給出數(shù)字電路中常用的數(shù)制和編碼。此外，還將具體講述不同數(shù)制之間的轉(zhuǎn)化方法和二進制數(shù)算術(shù)運算的原理和方法。數(shù)字電子技術(shù)第五版本章內(nèi)容1.1概述1.2幾種常用的數(shù)制1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1.4二進制算數(shù)運算1.5幾種常用的編碼數(shù)字電子技術(shù)第五版數(shù)字技術(shù)是一門應(yīng)用學科，它的發(fā)展可分為5個階段①產(chǎn)生：20世紀30年代在通訊技術(shù)（電報、電話）首先引入二進制的信息存儲技術(shù)。而在1847年由英國科學家喬治.布爾(GeorgeBoole)創(chuàng)立布爾代數(shù)，并在電子電路中的得到應(yīng)用，形成開關(guān)代數(shù)，并有一套完整的數(shù)字邏輯電路的分析和設(shè)計方法1.數(shù)字技術(shù)的發(fā)展過程1.1概述數(shù)字電子技術(shù)第五版②初級階段：20世紀40年代電子計算機中的應(yīng)用，此時以電子管（真空管）作為基本器件。另外在電話交換和數(shù)字通訊方面也有應(yīng)用電子管（真空管）數(shù)字電子技術(shù)第五版③第二階段：20世紀60年代晶體管的出現(xiàn)，使得數(shù)字技術(shù)有一個飛躍發(fā)展，除了計算機、通訊領(lǐng)域應(yīng)用外，在其它如測量領(lǐng)域得到應(yīng)用晶體管圖片數(shù)字電子技術(shù)第五版⑤第四階段：20世紀70年代中期到80年代中期，微電子技術(shù)的發(fā)展，使得數(shù)字技術(shù)得到迅猛的發(fā)展，產(chǎn)生了大規(guī)模和超大規(guī)模的集成數(shù)字芯片，應(yīng)用在各行各業(yè)和我們的日常生活④第三階段：20世紀70年代中期集成電路的出現(xiàn)，使得數(shù)字技術(shù)有了更廣泛的應(yīng)用，在各行各業(yè)醫(yī)療、雷達、衛(wèi)星等領(lǐng)域都得到應(yīng)用數(shù)字電子技術(shù)第五版⑥20世紀80年代中期以后，產(chǎn)生一些專用和通用的集成芯片，以及一些可編程的數(shù)字芯片，并且制作技術(shù)日益成熟，使得數(shù)字電路的設(shè)計模塊化和可編程的特點，提高了設(shè)備的性能、適用性，并降低成本，這是數(shù)字電路今后發(fā)展的趨勢。2.脈沖信號與數(shù)字信號信號可分為模擬信號和數(shù)字信號。

模擬信號是表示模擬量的信號，模擬量是在時間和數(shù)值上都是連續(xù)的的物理量。模擬信號包括正弦波信號和脈沖信號，脈沖信號如方波、矩形波、尖脈沖鋸齒波、梯形波等。數(shù)字電子技術(shù)第五版圖1-1所示的為各種模擬信號數(shù)字信號是表示數(shù)字量的信號，數(shù)字量實在時間和數(shù)值上都是離散的。實現(xiàn)數(shù)字信號的產(chǎn)生、傳輸和處理的電路稱為數(shù)字電路。數(shù)字信號包括脈沖型（歸0型）和電平型（不歸0型）。如圖0-2-2所示數(shù)字電子技術(shù)第五版

數(shù)字信號是用數(shù)碼表示的，其數(shù)碼中只有“1”和“0”兩個數(shù)字，而“1”和“0”沒有數(shù)量的意義，表示事物的兩個對立面。

數(shù)碼可以表示數(shù)字信號的大小和狀態(tài)，如1001可表示數(shù)量“10”，也可以表示某個事物的代號，如運動員的編號，這時將這些數(shù)碼稱為代碼。

數(shù)碼的編寫形式是多樣的，其遵循的原則稱為碼制。碼制的編寫不受限制，但有一些通用的碼制，如十進制、二進制、八進制和十六進制等等。下面就介紹這幾種常用的碼制。數(shù)字電子技術(shù)第五版1.2幾種常用的數(shù)制數(shù)制：就是數(shù)的表示方法，把多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及按從低位到高位的進位規(guī)則進行計數(shù)稱為進位計數(shù)制，簡稱數(shù)制

最常用的是十進制，除此之外在數(shù)字電路和計算機中常用的是二進制、八進制和十六進制一、十進制

進位規(guī)則是“逢十進一”。任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的十進制可表示為數(shù)字電子技術(shù)第五版其中：ki－稱為數(shù)制的系數(shù)，表示第i位的系數(shù)，十進制ki的取值為0~9十個數(shù)，i取值從（n－1）～0的所有正整數(shù)到－1～－m的所有負整數(shù)10i－表示第i位的權(quán)值，10為基數(shù)，即采用數(shù)碼的個數(shù)n、m－為正整數(shù)，n為整數(shù)部分的位數(shù)，m為小數(shù)部分的位數(shù)數(shù)字電子技術(shù)第五版例如：(249.56)10＝2×102＋4×101＋9×100

+5×10–1＋2×10－2其中n＝3，m＝2若用N表示任意進制（稱為N進制）的基數(shù)，則展成十進制數(shù)的通式為如N＝10為十進制，N＝2為二進制，N＝8為八進制，N＝16為十六進制。其中N為基數(shù)，ki為第i位的系數(shù)，Ni表示第i位的權(quán)值數(shù)字電子技術(shù)第五版二、二進制：其中ki－取值只有兩個數(shù)碼：0和12i－為二進制的權(quán)，基數(shù)為2n、m－為正整數(shù)如（11011.101)2=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20

+1×2－1+0×2-2+1×2－3

=（27.625)10

進位規(guī)則是“逢二進一”，任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的二進制可表示為數(shù)字電子技術(shù)第五版

一個數(shù)碼的進制表示，可用下標，如（N）2表示二進制；（N）10表示十進制；（N）8表示八進制，（N）16表示十六進制

有時也用字母做下標，如（N）B表示二進制，B－Binary；（N）D表示十進制，D－Decimal；（N）O表示八進制，O－Octal；（N）H表示十六進制，H－Hexadecimal；三、八進制

進位規(guī)則是“逢八進一”，其基數(shù)為8。任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的八進制可表示為數(shù)字電子技術(shù)第五版ki－取值有8個數(shù)碼：0～78i－為八進制的權(quán)，基數(shù)為8n、m－為正整數(shù)如（13.74)8=1×81+3×80+7×8－1+4×8-2=（11.9375)10其中四、十六進制

進位規(guī)則是“逢十六進一”，其基數(shù)為16。任意一個n位整數(shù)、m位小數(shù)的十六進制可表示為數(shù)字電子技術(shù)第五版ki－取值有16個數(shù)碼：0～9、A（10）、B

（11）、C（12）、D（13）、E（14）、

F（15）16i－為十六進制的權(quán)，基數(shù)為16n、m－為正整數(shù)如（F9.1A)16=15×161+9×160+1×16－1+10×16-2=（249.1015625)10其中目前在計算機上常用的是8位、16位和32位二進制數(shù)表示和計算，由于8位、16位和32位二進制數(shù)都可以用2位、4位和8位十六進制數(shù)表示，故在編程時用十六進制書寫非常方便數(shù)字電子技術(shù)第五版DBOHDBOH000000008100010810001011910011192001002210101012A3001103311101113B4010004412110014C5010105513110115D6011006614111016E7011107715111117F表1.2.1表1.2.1為0～15個數(shù)碼的不同進制表示。數(shù)字電子技術(shù)第五版1.3不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換一、二進制數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)數(shù)制轉(zhuǎn)換：不同進制的數(shù)碼之間的轉(zhuǎn)換叫做數(shù)制轉(zhuǎn)換例如：

即將二進制數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，方法是將二進制數(shù)、八進制數(shù)和十六進制數(shù)按下列公式進行展開即可數(shù)字電子技術(shù)第五版a.十進制的整數(shù)轉(zhuǎn)換：二、十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)：

將十進制的整數(shù)部分用基數(shù)2去除，保留余數(shù)，再用商除2，依次下去，直到商為0為止，其余數(shù)即為對應(yīng)的二進制數(shù)的整數(shù)部分

即將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，原則是“整數(shù)除2，小數(shù)乘2”數(shù)字電子技術(shù)第五版b.十進制的小數(shù)轉(zhuǎn)換

將小數(shù)用基數(shù)2去乘，保留積的整數(shù)，再用積的小數(shù)繼續(xù)乘2，依次下去，直到乘積是0為或達到要求的精度，其積的整數(shù)部分即為對應(yīng)的二進制數(shù)的小數(shù)部分例1.3.1將（173.39)D轉(zhuǎn)化成二進制數(shù),要求精度為1%。a.整數(shù)部分解：其過程如下即(173)D=(10101101)B數(shù)字電子技術(shù)第五版b.小數(shù)部分由于精度要求為1％，故應(yīng)該令取對數(shù)，可得取m＝7滿足精度要求，過程如下即(0.39)D=(0.0110001)B故（173.39)D

=(10101101.0110001)B數(shù)字電子技術(shù)第五版三、二進制轉(zhuǎn)換成八進制和十六進制方法：由于3位二進制數(shù)可以有8個狀態(tài)，000~111，正好是8進制，而4位二進制數(shù)可以有16個狀態(tài)，0000～1111，正好是16進制，故可以把二進制數(shù)進行分組。八進制三位分為一組，不夠補零，十六進制四位分為一組。依此類推，對于十進制轉(zhuǎn)換成其它進制，只要把基數(shù)2換成其它進制的基數(shù)即可。注：若將八進制或十六進制轉(zhuǎn)換成二進制，即按三位或四位轉(zhuǎn)成二進制數(shù)展開即可。數(shù)字電子技術(shù)第五版解：（1011110.1011001)B＝（001011110.101100100)2

＝(136.544)O（1011110.1011001)B＝(01011110.10110010)2

＝(5E.B2)H例1.3.2將（1011110.1011001)2轉(zhuǎn)換成八進制和十六進制。解：例1.3.3將（703.65)O和（9F12.04A)H轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)（703.65)O＝（111000011.110101)B（9F12.04A)H=(1001111100010010.00000100101)B數(shù)字電子技術(shù)第五版例1.3.4將(87)D轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)和十六進制數(shù)解：先將87轉(zhuǎn)化成二進制，過程如圖,則(87)D＝（1010111)B=（001010111)B

＝(01010111)B=(127)O

=(57)H

提醒：若要將十進制轉(zhuǎn)換成八進制或16進制，可先轉(zhuǎn)換成二進制，再分組，轉(zhuǎn)換成八進制或十六進制。數(shù)字電子技術(shù)第五版1.4二進制的算術(shù)運算1.4.1.二進制算術(shù)運算的特點

當兩個二進制數(shù)碼表示兩個數(shù)量的大小，并且這兩個數(shù)進行數(shù)值運算，這種運算稱為算術(shù)運算。其規(guī)則是“逢二進一”、“借一當二”。算術(shù)運算包括“加減乘除”，但減、乘、除最終都可以化為帶符號的加法運算。如兩個數(shù)1001和0101的算術(shù)運算如下數(shù)字電子技術(shù)第五版1.4.2反碼、補碼和補碼運算

在用二進制數(shù)碼表示一個數(shù)值時，其正負是怎么區(qū)別的呢？二進制數(shù)的正負數(shù)值的表述是在二進制數(shù)碼前加一位符號位，用“0”表示正數(shù)，用“1”表示負數(shù)，這種帶符號位的二進制數(shù)碼稱為原碼。一、原碼：例如：＋17的原碼為010001，－17的原碼為110001二、反碼反碼是為了在求補碼時不做減法運算。二進制的反碼求法是：正數(shù)的反碼與原碼相同，負數(shù)的原碼除了符號位外的數(shù)值部分按位取反，即“1”改為“0”，“0”改為“0”，數(shù)字電子技術(shù)第五版例如＋7和－7的原碼和補碼為：＋7的原碼為0111，反碼為0111－7的原碼為1111，反碼為1000注：0的反碼有兩種表示，＋0的反碼為0000，－0的反碼為1111三、補碼：1.模（模數(shù)）的概念：

把一個事物的循環(huán)周期的長度，叫做這個事件的?；蚰?shù)。

當做二進制減法時，可利用補碼將減法運算轉(zhuǎn)換成加法運算。在將補碼之前先介紹模（或模數(shù)）的概念數(shù)字電子技術(shù)第五版如一年365天，其模數(shù)為365；鐘表是以12為一循環(huán)計數(shù)的，故模數(shù)為12。十進制計數(shù)就是10個數(shù)碼0～9，的循環(huán)，故模為10。以表為例來介紹補碼運算的原理：對于圖1.4.1所示的鐘表

當在5點時發(fā)現(xiàn)表停在10點，若想撥回有兩種方法：a.逆時針撥5個格，即10－5＝5，這是做減法。b.順時針撥七個格，即10＋7＝17，由于模是12，故1相當于進位12，1溢出，故為7格，也是17－12＝5，這是做加法。數(shù)字電子技術(shù)第五版

由此可見10＋7和10－5的效果是一樣的，而5＋7＝12，將故7稱為－5的補數(shù)，即補碼，也可以說減法可以由補碼的加法來代替2.補碼的表示正數(shù)的補碼和原碼相同，負數(shù)的補碼是符號位為“1”，數(shù)值位按位取反加“1”，即“反碼加1”例如：[+7][-7]原碼01111111反碼01111000補碼01111001數(shù)字電子技術(shù)第五版注意：1.采用補碼后，可以方便地將減法運算轉(zhuǎn)換成加法運算，而乘法和除法通過移位和相加也可實現(xiàn)，這樣可以使運算電路結(jié)構(gòu)得到簡化；2.正數(shù)的補碼既是它所表示的數(shù)的真值，負數(shù)的補碼部分不是它所示的數(shù)的真值。3.與原碼和反碼不同，“0”的補碼只有一個，即（00000000）B4.已知原碼，求補碼和反碼：正數(shù)的原碼和補碼、反碼相同；負數(shù)的反碼是符號位不變，數(shù)值位取反，而補碼是符號位不變，數(shù)值位取反加“1”。如：原碼為10110100，其反碼為11001011，補碼為1100100。數(shù)字電子技術(shù)第五版5.已知補碼，求原碼：正數(shù)的補碼和原碼相同；負數(shù)的補碼應(yīng)該是數(shù)值位減“1”再取反，但對于二進制數(shù)來說，先減“1”取反和先取反再加“1”的結(jié)果是一樣的。故由負數(shù)的補碼求原碼就是數(shù)值位取反加“1”。如已知某數(shù)的補碼為（11101110）B，其原碼為（10010010）B6.如果二進制的位數(shù)為n，則可表示的有符號位數(shù)的范圍為（－2n～2n－1－1），如n＝8，則可表示(－128～127)，故在做加法時，注意兩個數(shù)的絕對值不要超出它所表示數(shù)的范圍。數(shù)字電子技術(shù)第五版例1.4.1用二進制補碼計算：75＋28、75－28、－75＋28、－75－28

（＋75）D＝（01001011）B

（＋28）D＝（00011100）B

（－75）D＝（11001011）B

（－28）D＝（10011100）B

原碼7528＋1030100101100011100＋01100111（－75）D＝（10110101）B;

（－28）D＝（11100100）B;解：先求兩個數(shù)的二進制原碼和補碼（用8位代碼）補碼數(shù)字電子技術(shù)第五版7528－470100101111100100＋100101111－7528－－1031011010111100100＋110011001溢出－7528＋－471011010100011100＋11010001溢出補碼補碼數(shù)字電子技術(shù)第五版表4－1為4位帶符號位二進制代碼的原碼、反碼和補碼對照表十進制數(shù)原碼反碼補碼十進制數(shù)原碼反碼補碼＋7011101110111－1100111101111＋6011001100110－2101011011110＋5010101010101－3101111001101＋4010001000100－4110010111100＋3001100110011－5110110101011＋2001000100010－6111010011010＋1000100010001－71111100010010000000000000－8100011111000數(shù)字電子技術(shù)第五版1.5二進制編碼1.5.1三個術(shù)語數(shù)碼：代表一個確切的數(shù)字，如二進制數(shù)，八進制數(shù)等。代碼：特定的二進制數(shù)碼組，是不同信號的代號，不一定有數(shù)的意義編碼：n位二進制數(shù)可以組合成2n個不同的信息，給每個信息規(guī)定一個具體碼組，這種過程叫編碼。數(shù)字系統(tǒng)中常用的編碼有兩類，一類是二進制編碼，另一類是二-十進制編碼。另外無論二進制編碼還是二－十進制編碼，都可分成有權(quán)碼（每位數(shù)碼代表的權(quán)值固定）和無權(quán)碼數(shù)字電子技術(shù)第五版1.5.2十進制代碼

用4位二進制代碼表示十進制的0～9個數(shù)碼，即二－十進制的編碼。4位二進制代碼可以有0000～1111十六個狀態(tài)，則表示0～9十個狀態(tài)可以有多種編碼形式，其中常用的有8421碼、余3碼、2421碼、5211碼、余3循環(huán)碼等，其中8421碼、2421碼、5211碼為有權(quán)碼，即每一位的1都代表固定的值。表1.5.1為幾種編碼形式數(shù)字電子技術(shù)第五版表1.5.1返回A返回B數(shù)字電子技術(shù)第五版說明：1.8421碼:又稱BCD碼，是最常用的十進制編碼。其每位的權(quán)為8、4、2、1，按公式展開，即可得對應(yīng)的十進制數(shù)，如（0101）2＝1×24＋1×20＝52.余3碼不是有權(quán)碼，由于它按二進制展開后十進制數(shù)比所表示的對應(yīng)的十進制數(shù)大3。如0101表示的是2，其展開十進制數(shù)為5，故稱為余3碼。采用余3碼的好處是：利用余3碼做加法時，如果所得之和為10，恰好對應(yīng)二進制16，可以自動產(chǎn)生進位信號。如0110（3）＋1010（7）＝1111（10）；另外0和9、1和8、2和7…是互為反碼，這對于求補很方便。鏈接A數(shù)字電子技術(shù)第五版3.2421碼是有權(quán)碼，其每位的權(quán)為2、4、2、1，如(1100)2=1×2＋1×4＝6，與余3碼相同0和9、1和8、2和7…是互為反碼。另外當任何兩個這樣的編碼值相加等于9時，結(jié)果的4個二進制碼一定都是1111。4.5211碼也是有權(quán)碼，其每位的權(quán)為5、2、1、1，如(0111)2=1×2＋1×1＋1×1＝4，主要用在分頻器上5.余3循環(huán)碼是無權(quán)碼，它的特點是相鄰的兩個代碼之間只有一位狀態(tài)不同。這在譯碼時不會出錯（競爭－冒險）鏈接B數(shù)字電子技術(shù)第五版1.5.3二進制編碼：表1.1兩種4位二進制編碼

十進制數(shù)自然二

進制碼循環(huán)二

進制碼十進制數(shù)自然二

進制碼循環(huán)二

進制碼000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000它包括自然碼和循環(huán)碼，如表1.5.2所示返回數(shù)字電子技術(shù)第五版循環(huán)碼：也叫格雷碼，它是無權(quán)碼，每位代碼無固定權(quán)值，其組成是格雷碼的最低位是0110循環(huán)；第二位是00111100循環(huán)；第三位是0000111111110000循環(huán)，以此類推可以得到多位數(shù)的格雷碼。格雷碼的特點是任何相鄰的兩個碼組中，僅有一位代碼不同，抗干擾能力強，主要用在計數(shù)器中。自然碼：有權(quán)碼，每位代碼都有固定權(quán)值，結(jié)構(gòu)形式與二進制數(shù)完全相同，最大計數(shù)為2n－1，n為二進制數(shù)的位數(shù)鏈接數(shù)字電子技術(shù)第五版1.5.4美國信息交換標準代碼（ASCⅡ）（自學）作業(yè)【題1.4】（2）（4）【題1.6】（2）（4）【題1.11】（2）（4）【題1.12】（2）（6）【題1.13】（3）（8）【題1.15】（4）（8）數(shù)字電子技術(shù)第五版第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)內(nèi)容提要

本章介紹分析數(shù)字邏輯功能的數(shù)學方法。首先介紹邏輯代數(shù)的基本運算、常用公式和基本定理，然后介紹邏輯代數(shù)及其表示方法、邏輯函數(shù)的化簡。重點掌握卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，為后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。數(shù)字電子技術(shù)第五版本章的內(nèi)容2.1概述2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.6邏輯函數(shù)的化簡方法2.7具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡數(shù)字電子技術(shù)第五版2.1概述

在數(shù)字電路中，1位二進制數(shù)碼“0”和“1”不僅可以表示數(shù)量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態(tài)，如電平的高低、開關(guān)的閉合和斷開、電機的起動和停止、電燈的亮和滅等。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系，稱為二值邏輯。

當二進制數(shù)碼“0”和“1”表示二值邏輯，并按某種因果關(guān)系進行運算時，稱為邏輯運算，最基本的三種邏輯運算為“與”、“或”、“非”，它與算術(shù)運算的本質(zhì)區(qū)別是“0”和“1”沒有數(shù)量的意義。故在邏輯運算中1+1=1(或運算）2.1.1二值邏輯和邏輯運算數(shù)字電子技術(shù)第五版

數(shù)字電路是一種開關(guān)電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變量（取值只能為0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種邏輯上的因果關(guān)系。仿效普通函數(shù)的概念，數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學工具來描述。2.1.2數(shù)字電路的特點及描述工具

邏輯代數(shù)是布爾代數(shù)在數(shù)字電路中二值邏輯的應(yīng)用，它首先是由英國數(shù)學家喬治.布爾（GeorgeBoole）提出的，用在邏輯運算上。后來用在數(shù)字電路中，就被稱為開關(guān)代數(shù)或邏輯代數(shù)，它是邏輯函數(shù)的基礎(chǔ)。數(shù)字電子技術(shù)第五版注意：1.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學代數(shù)的運算相似，如有交換律、結(jié)合律、分配律，而且邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，叫邏輯變量。2.邏輯代數(shù)和普通數(shù)學代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，普通數(shù)學代數(shù)中的變量取值可以是正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)，是進行十進制（0～9）數(shù)值運算。而邏輯代數(shù)中變量的取值只有兩個：“0”和“1”。并且“0”和“1”沒有數(shù)值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態(tài)。數(shù)字電子技術(shù)第五版2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運算

在二值邏輯函數(shù)中，最基本的邏輯運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種邏輯運算。2.2.1與運算

與運算也叫邏輯乘或邏輯與，即當所有的條件都滿足時，事件才會發(fā)生，即“缺一不可。

如圖2.2.1所示電路，兩個串聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是與邏輯事例，只有開關(guān)A、B同時閉合時燈才會亮。數(shù)字電子技術(shù)第五版

設(shè)開關(guān)閉合用“1”表示，斷開用“0”表示；燈亮用“1”表示，燈滅用“0”表示（邏輯賦值），則可得到表2.2.1所示的輸入輸出的邏輯關(guān)系，稱為真值表

從表中可知，其邏輯規(guī)律服從“有0出0，全1才出1”這種與邏輯可以寫成下面的表達式：稱為與邏輯式，這種運算稱為與運算數(shù)字電子技術(shù)第五版也可以用圖2.2.2表示與邏輯，稱為邏輯門或邏輯符號，實現(xiàn)與邏輯運算的門電路稱為與門。2.2.2或運算

或運算也叫邏輯加或邏輯或，即當其中一個條件滿足時，事件就會發(fā)生，即“有一即可若有n個邏輯變量做與運算，其邏輯式可表示為數(shù)字電子技術(shù)第五版

如圖2.2.3所示電路，兩個并聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是或邏輯事例，只要開關(guān)A、B有一個閉合時燈就會亮。

用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.2所示，其邏輯規(guī)律服從“有1出1，全0才出0”

其邏輯式為上式說明：當邏輯變量A、B有一個為1時，邏輯函數(shù)輸出Y就為1。只有A、B全為0，Y才為0。數(shù)字電子技術(shù)第五版

其邏輯門符號如圖2.2.4所示，實現(xiàn)或邏輯運算的門電路稱為或門。若有n個邏輯變量做或運算，其邏輯式可表示為3.非邏輯運算

條件具備時，事件不發(fā)生；條件不具備時，事件發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也稱邏輯求反數(shù)字電子技術(shù)第五版如圖2.2.5所示電路，一個開關(guān)控制一盞燈就是非邏輯事例，當開關(guān)A閉合時燈就會不亮。

非邏輯運算也叫邏輯非或非運算、反相運算，即輸出變量是輸入變量的相反狀態(tài)。其邏輯式為

用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.3所示注：上式也可寫成數(shù)字電子技術(shù)第五版其邏輯門符號如圖2.2.6所示，實現(xiàn)非邏輯運算的門電路稱為非門

以上為最基本的三種邏輯運算，除此之外，還有下面的由基本邏輯運算組合出來的邏輯運算4.與非（NAND）邏輯運算與非運算是先與運算后非運算的組合。以二變量為例，布爾代數(shù)表達式為：其真值表如表2.2.4所示數(shù)字電子技術(shù)第五版其邏輯規(guī)律服從“有0出1，全1才出0”

實現(xiàn)與非運算用與非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.7所示5.或非（NOR）運算

或非運算是先或運算后非運算的組合。以二變量A、B為例，布爾代數(shù)表達式為：數(shù)字電子技術(shù)第五版或非邏輯規(guī)律服從有“1”出“0”全“0”出“1”或非運算用或非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.8所示其真值表如表2.2.5所示數(shù)字電子技術(shù)第五版

與或非運算是“先與后或再非”三種運算的組合。以四變量為例，邏輯表達式為：上式說明：當輸入變量A、B同時為1或C、D同時為1時，輸出Y才等于0。與或非運算是先或運算后非運算的組合。在工程應(yīng)用中，與或非運算由與或非門電路來實現(xiàn)，其真值表見書P22表2.2.6所示，邏輯符號如圖2.2.9所示6.與或非運算數(shù)字電子技術(shù)第五版其門電路的邏輯符號如圖2.2.10所示其布爾表達式（邏輯函數(shù)式）為7.異或運算符號“⊕”表示異或運算，即兩個輸入邏輯變量取值不同時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，異或運算用異或門電路來實現(xiàn)其真值表如表2.2.6所示數(shù)字電子技術(shù)第五版

異或運算的性質(zhì)

1.交換律：2.結(jié)合律：3.分配律：推論：當n個變量做異或運算時，若有偶數(shù)個變量取“1”時，則函數(shù)為“0”；若奇數(shù)個變量取1時，則函數(shù)為1.4.數(shù)字電子技術(shù)第五版8.同或運算：其布爾表達式為符號“⊙”表示同或運算，即兩個輸入變量值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0”

。同或運算用同或門電路來實現(xiàn)，它等價于異或門輸出加非門，其真值表如表2.2.7所示其門電路的邏輯符號如圖2.2.11所示數(shù)字電子技術(shù)第五版2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1基本公式表2.3.1為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒等式表2.3.1邏輯代數(shù)的基本公式返回A返回B數(shù)字電子技術(shù)第五版A·0=0A+0=AA·1=AA+1=12.交換律、結(jié)合律、分配律a.交換律：AB=BAA+B=B+Ab.結(jié)合律：A（BC）=（AB）CA+（B＋C）=（A＋B）+Cc.分配律：A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)1.關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理說明：由表中可以看出鏈接A數(shù)字電子技術(shù)第五版a.互補律：b.重疊律：A·A=AA+A=Ac.非非律：d.吸收律：A+AB=AA(A+B)=Ae.摩根定律：注：以上定律均可由真值表驗證3.邏輯函數(shù)獨有的基本定理鏈接B數(shù)字電子技術(shù)第五版2.3.2若干常用公式表2.3.2為常用的一些公式表2.3.2常用公式數(shù)字電子技術(shù)第五版說明：1.A＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果其中一項包含另一項，則這一項是多余的，可以刪掉；2.A＋A

B＝A＋B：在兩個乘積項相加時，如果其中一項含有另一項的取反因子，則此取反因子多余的，可從該項中刪除；3.AB＋AB

＝A：在兩個乘積項相加時，如果它們其中的一個因子相同，而另一個因子取反，則兩項合并，保留相同因子；4.A（A＋B）＝A：在當一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉數(shù)字電子技術(shù)第五版5.AB＋A

C＋BC＝AB＋A

C：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因子互為反，那么剩余的因子組成的另一項則是多余的，可以刪掉；公式AB＋A

C＋BCD＝AB＋A

C的原理和上述相同6.A（AB）

＝AB

：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉；7.A

（AB）

＝A

：當某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項以上的公式比較常用，應(yīng)該能熟用，為以后邏輯函數(shù)的化簡打好基礎(chǔ)數(shù)字電子技術(shù)第五版2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理內(nèi)容：任何一個含有變量A

的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個邏輯函數(shù)G來替換，則等式仍然成立。利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式數(shù)字電子技術(shù)第五版證明：方程的左邊有A的地方代入G得：B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC＝BA十BD十BC方程的右邊有A的地方代入G得：B(A十D)十BC＝BA十BD十BC故B[(A十D)十C]＝B(A十D)十BC例2.4.1若B(A十C)＝BA十BC，現(xiàn)將所有出現(xiàn)A的地方都代入函數(shù)G＝A十D，則證明等式仍成立

數(shù)字電子技術(shù)第五版證明：設(shè)G＝BC代入公式左右的B中同理設(shè)G＝B＋C代入式子左右的B例2.4.2試用代入規(guī)則證明摩根定律適用多變量的情況可得故：可得數(shù)字電子技術(shù)第五版內(nèi)容：若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”,“+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變量（不帶非號）變成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)Y的反函數(shù)（補函數(shù)）Y

。利用摩根定律，可以求一個邏輯函數(shù)的反函數(shù)。2.反演定理注意：1.

變換中必須保持先與后或的順序；2.對跨越兩個或兩個以上變量的“非號”要保留不變；數(shù)字電子技術(shù)第五版解：由摩根定理或直接求反例2.4.3已知Y＝A（B＋C）＋C

D

，求Y

數(shù)字電子技術(shù)第五版解：由反演定理例2.4.4若Y＝[（A

B）

＋C＋D]

+C，求反函數(shù)或直接求反得數(shù)字電子技術(shù)第五版3.對偶規(guī)則對偶式：設(shè)Y是一個邏輯函數(shù)，如果將Y中所有的“+”換成與“·”，“.”換成與“+”，“1”換成與“0”，“0”換成與“1”，而變量保持不變，則所得的新的邏輯式Y(jié)D稱為Y的對偶式。如：數(shù)字電子技術(shù)第五版對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)Y和G相等，則其對偶式Y(jié)D和GD也必然相等，Viceversa。利用對偶式可以證明一些常用公式例1.1.5試利用對偶規(guī)則證明分配律A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立證明：設(shè)Y＝A＋BC，G＝(A+B)(A+C)，則它們的對偶式為由于故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C)

數(shù)字電子技術(shù)第五版證明：設(shè)則它們的對偶式為由于故Y＝G，即例1.1.6試利用對偶規(guī)則證明吸收律A＋AB＝A＋B

式子成立數(shù)字電子技術(shù)第五版2.5邏輯函數(shù)的定義：其中：A1,A2…An稱為n個輸入邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”，Y為輸出邏輯變量，取值只能是“0”或是“1”則F稱為n變量的邏輯函數(shù)

在數(shù)字電路中，輸入為二值邏輯變量，輸出也是二值變量，則表示輸入輸出的邏輯函數(shù)關(guān)系，即如Y＝A＋BC，表示輸出等于變量B取反和變量C的與，再和變量A相或。2.5.1邏輯函數(shù)數(shù)字電子技術(shù)第五版一、邏輯真值表2.5.2邏輯函數(shù)的幾種表示方法

邏輯函數(shù)的表示方法很多，比較常用的如下：

邏輯真值表就是采用一種表格來表示邏輯函數(shù)的運算關(guān)系，其中輸入部分列出輸入邏輯變量的所有可能取值得組合，輸出部分根據(jù)邏輯函數(shù)得到相應(yīng)的輸出邏輯變量值。

如表2.5.1表示的異或邏輯關(guān)系的函數(shù)，即YBA011101110000輸出輸入表2.5.1Y＝AB

＋AB

數(shù)字電子技術(shù)第五版二、邏輯函數(shù)式

按一定邏輯規(guī)律寫成的函數(shù)形式，也是邏輯代數(shù)式。與普通函數(shù)數(shù)不同的是，邏輯函數(shù)式中的輸入輸出變量都是二值的邏輯變量。如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成Y＝AB

＋AB

三、邏輯圖法

采用規(guī)定的圖形符號，來構(gòu)成邏輯函數(shù)運算關(guān)系的網(wǎng)絡(luò)圖形圖2.5.1表示的是異或關(guān)系的邏輯圖數(shù)字電子技術(shù)第五版四波形圖法:

一種表示輸入輸出變量動態(tài)變化的圖形，反映了函數(shù)值隨時間變化的規(guī)律，也稱時序圖。如圖2.5.2表示異或邏輯關(guān)系的波形。

除上面介紹的四種邏輯函數(shù)表示方法外，還有卡諾圖法、點陣圖法及硬件描述語言等。在后面的課程中將重點介紹卡諾圖法。數(shù)字電子技術(shù)第五版五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換

在設(shè)計數(shù)字電路時，有時需要進行各種表示邏輯函數(shù)方法的轉(zhuǎn)換。1.真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換

通過下面的例子得出由真值表寫出邏輯函數(shù)的方法例2.5.1某邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.2所示，寫出邏輯函數(shù)式輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1（1）由真值表寫邏輯函數(shù)式數(shù)字電子技術(shù)第五版解：邏輯式為輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1總結(jié)：①找出真值表中使邏輯函數(shù)為“1”的輸入變量的組合；數(shù)字電子技術(shù)第五版②對應(yīng)每個輸出為“1”變量組合關(guān)系為與的關(guān)系，即乘積項，其中如圖輸入變量取值為“1”的寫成原變量，輸入變量取值為“0”的寫成反變量，如AB

C輸入輸出ABCY10

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1表2.5.2輸出Y20

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1③將這些乘積項相加，即得到輸出的邏輯式數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.5.2已知真值表如表2.5.3所示，試寫出輸出的邏輯函數(shù)輸入輸出ABCY0

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0表2.5.3解：其輸出的邏輯函數(shù)為數(shù)字電子技術(shù)第五版（2）由邏輯函數(shù)式寫出真值表

將輸入變量所有取值組合，代入邏輯函數(shù)式，得出輸出的值，并以表的形式表示出來。例2.5.3寫出邏輯函數(shù)Y＝AB

＋C的真值表解：其真值表如表2.5.4所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.4數(shù)字電子技術(shù)第五版2.邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換（1）由邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖

用邏輯符號代替邏輯函數(shù)中的邏輯關(guān)系，即可得到所求的邏輯圖例2.5.4畫出邏輯函數(shù)Y＝[（AB+C

）＋（AC

）＋B]的邏輯電路解：其實現(xiàn)電路如圖2.5.3所示數(shù)字電子技術(shù)第五版（2）由邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式

已知邏輯圖，根據(jù)邏輯門的輸入輸出關(guān)系，寫出整個邏輯圖的輸入輸出關(guān)系，得出輸出的邏輯函數(shù)式例2.5.5已知邏輯電路如圖2.5.4，試寫出輸出端的邏輯函數(shù)式，并寫出真值表解：輸出的邏輯式為數(shù)字電子技術(shù)第五版由邏輯式寫出真值表，如表2.5.5所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.5數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.5.6設(shè)計一個邏輯電路，當三個輸入A、B、C至少有兩個為低電平時，該電路輸出為高，試寫出該要求的真值表和邏輯表達式，畫出實現(xiàn)的邏輯圖解：由邏輯要求寫出真值表，如表2.5.6所示輸入輸出ABCY0

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0表2.5.6數(shù)字電子技術(shù)第五版由真值表寫出邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0

0表2.5.6數(shù)字電子技術(shù)第五版其實現(xiàn)的邏輯圖如圖2.5.5所示數(shù)字電子技術(shù)第五版3.波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換（1）由波形圖得到真值表

根據(jù)所給的波形，列出各輸入變量組合所對應(yīng)的輸出值例2.5.7已知邏輯函數(shù)Y的輸出波形如圖2.5.6所示，試分析其邏輯功能。解：由所給的波形寫出輸入輸出的真值表，如表2.5.7所示數(shù)字電子技術(shù)第五版由真值表可知，當輸入變量A、B取值相同時，輸出Y＝1；A、B取值不同時，輸出Y＝0。故輸出和輸入是同或關(guān)系。其邏輯函數(shù)式為YBA111001010100輸出輸入表2.5.7數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.5.8已知圖2.5.7所示是某個數(shù)字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，并判斷其邏輯功能解:由波形得出真值表如表2.5.8所示輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8數(shù)字電子技術(shù)第五版由真值表寫出輸出的邏輯式輸入輸出ABCY0

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1表2.5.8由真值表可知，當輸出有奇數(shù)個“1”時，輸入為“1”。故此電路為“判奇電路”，其邏輯圖如圖2.5.8所示數(shù)字電子技術(shù)第五版（2）由真值表畫出波形圖按照真值表的輸入取值，畫出輸入輸出的波形。例2.5.9已知邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數(shù)式。輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示數(shù)字電子技術(shù)第五版輸出端的邏輯式為輸入輸出ABCY0

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0表2.5.9數(shù)字電子技術(shù)第五版2.5.3邏輯函數(shù)的兩種標準型

一種輸入輸出的邏輯關(guān)系可以有多種等效的表達式表示，但可以化為標準形式。其標準型有兩種：標準與或式和標準或與式1.最小項a.定義:

在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變量A1~An，而m是由所有這n個變量組成的乘積項（與項）。若m中包含的每一個變量都以Ai或A

i

的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則稱m是n變量的最小項。注：n個變量構(gòu)成的最小項有2n個，通常用mi表示第i個最小項，變量按A1~An排列，以原變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“1”，以反變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“0”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i。一、最小項和最大項數(shù)字電子技術(shù)第五版表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分別為二變量、三變量和四變量的最小項數(shù)字電子技術(shù)第五版數(shù)字電子技術(shù)第五版b.最小項的性質(zhì)①對于任一個最小項，僅有一組變量取值使它的值為“1”，而其它取值均使它為“0”。或者說在輸入變量的任何取值必有一個最小項也僅有一個最小項的值為“1”。②n變量組成的全體最小項之邏輯和為“1”。即數(shù)字電子技術(shù)第五版2.最大項a.定義：在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變量A1~An，而M是由所有這n個變量組成的和項（或項）。若M中包含的每一個變量都以Ai或A

i的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則M是n變量的最大項。注：

n個變量構(gòu)成的最大項也有2n個，通常用Mi表示第i個最大項，變量按A1~An排列，以原變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值為“0”，以反變量出現(xiàn)時對應(yīng)的值取“1”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i。數(shù)字電子技術(shù)第五版表2.5.13、表2.5.14分別為二變量、三變量的最大項，四變量最大項課下自己寫出數(shù)字電子技術(shù)第五版b.最大項的性質(zhì)

①對于任一個最大項，僅有一組變量取值使它的值為“0”，而其它取值均使它為“1”。或者說在輸入變量的任何取值必有一個最大項也僅有一個最大項的值為“0”。②n變量組成的全體最大項之邏輯積為“0”。即數(shù)字電子技術(shù)第五版二、邏輯函數(shù)的標準與或式型－最小項之和標準型如與或型特點：1.式子為乘積和的形式；

2.不一定包含所有的最小項，但每一項必須為最小項數(shù)字電子技術(shù)第五版標準與或式的寫法：

在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一乘積項由于缺少一個變量不是最小項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之和這一項，使之稱為最小項，即利用公式A＋A

＝1例2.5.10將邏輯函數(shù)Y＝A＋BC寫成標準與或式解：注意：變量的排列順序。數(shù)字電子技術(shù)第五版三、邏輯函數(shù)的標準或與式型－最大項之積標準型如與或型特點：1.式子為和積的形式；

2.邏輯函數(shù)不一定包含所有的最大項，但每一項必須為最大項數(shù)字電子技術(shù)第五版標準或與式的寫法：

在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中加上此變量與這個變量的反變量之積這一項，即利用公式AA

＝0，然后利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之稱為最大項例2.5.11將邏輯函數(shù)Y＝AC＋BC寫成或與式解：數(shù)字電子技術(shù)第五版四、最小項與最大項的關(guān)系設(shè)有三變量A、B、C的最小項，如m5

＝ABC，對其求反得由此可知對于n變量中任意一對最小項mi和最大項Mi

，都是互補的，即數(shù)字電子技術(shù)第五版五、標準與或式和或與式之間的關(guān)系若某函數(shù)寫成最小項之和的形式為則此函數(shù)的反函數(shù)必為如表2.5.15中數(shù)字電子技術(shù)第五版上式或?qū)懗衫梅囱荻ɡ砜傻脭?shù)字電子技術(shù)第五版六、邏輯函數(shù)的兩種標準形式：

有時需要把任意邏輯函數(shù)變換為兩種標準形式：與或式（最小項之和）和或與式（最大項之積）。實現(xiàn)這種變換方法很多，可以利用添項、真值表、卡諾圖等實現(xiàn)，這里介紹利用添項和真值表將邏輯函數(shù)變換成標準型。1.利用真值表

首先寫出邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出最小項和最大項。標準與或式寫法

：由真值表確定邏輯函數(shù)為“1”的項作為函數(shù)的最小項(乘積項）。若輸入變量取“1”，則寫成原變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成反變量。不同的輸出“1”為和的關(guān)系。數(shù)字電子技術(shù)第五版標準或與式寫法：由真值表確定邏輯函數(shù)為“0”的項作為函數(shù)的最大項（和項）。若輸入變量取“1”，則寫成反變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成原變量。不同的輸出“0”為積的關(guān)系。例2.5.12試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標準形式

解：其真值表如表2.5.16所示數(shù)字電子技術(shù)第五版邏輯函數(shù)的標準或與型為則邏輯函數(shù)的標準與或型為數(shù)字電子技術(shù)第五版標準或與式的寫法：在邏輯函數(shù)中，先將邏輯函數(shù)化為和積式。若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之積這一項，再利用A＝A＋BB

＝（A＋B）（A＋B）使之稱為最大項2.利用公式A＋A

＝1及A·A

＝0將邏輯函數(shù)變換為與或式和或與式標準與或式寫法

：在邏輯函數(shù)中，先將函數(shù)化成與或式（不一定是最小項），則在與項中利用公式A＋A

＝1添加所缺的邏輯變量，寫成最小項的形式例2.5.13試利用添加項的方法將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成與或標準式數(shù)字電子技術(shù)第五版解：標準與或式為

例2.5.14試用添加項方法將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成或與標準式解:數(shù)字電子技術(shù)第五版a.在將一個n變量的邏輯函數(shù)寫成與或式（最小項之和）后，若要寫成或與式（最大項之和）時，其最大項的編號是除了最小項編號外的號碼，最小項與最大項的總個數(shù)為2n；b.由i個最小項構(gòu)成的與或式（最小項之和）邏輯函數(shù)，其反函數(shù)可以用i個最大項的或與式（最大項之和）表示，其編號與最小項編號相同?？偨Y(jié)：數(shù)字電子技術(shù)第五版例1.2.5將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩種標準式，并求其反函數(shù)

解：標準與或式為標準或與式為數(shù)字電子技術(shù)第五版（注：反函數(shù)的最大項編碼與原函數(shù)最小項編碼相同）反函數(shù)為數(shù)字電子技術(shù)第五版2.5.4邏輯函數(shù)形式的變換

除了上述標準與或式和標準或與式的外，還需要將邏輯函數(shù)變換成其它形式。假如給出的是一般與或式，要用與非門實現(xiàn)，就需要將其變成與非－與非式。

一、與或式化為與非－與非式－－利用反演定理

例2.5.10將下式Y(jié)=AC+BC

用與非門實現(xiàn)，并畫出邏輯圖。

解：用二次求反，將第一級非號用摩根定理拆開，第二級保持不變。數(shù)字電子技術(shù)第五版

如果本身有反變量輸入，則用二級與非門就可實現(xiàn)該函數(shù)，其邏輯電路如圖2.5.10所示。如果只有原變量輸入，另外要用與非門實現(xiàn)反相C

，其邏輯電路如圖2.5.11所示數(shù)字電子技術(shù)第五版二、將與非式化為與或非式例2.5.11將Y=AC+BC

用與或非門實現(xiàn)，畫出邏輯圖。

解：先用反演定理求函數(shù)Y的反函數(shù)Y

，并整理成與或式，再將左邊的反號移到等式右邊，即兩邊同時求反。這就可用與或門實現(xiàn)。其電路如圖2.5.12所示多余項數(shù)字電子技術(shù)第五版三、將與或式化為或非－或非式

解：先將函數(shù)Y化為與或非形式，再用反演定理求Y

，并用摩根定理展開，再求Y，就可得到或非－或非式。

例2.5.11將下式Y(jié)=AC+BC

用或非門實現(xiàn)。其實現(xiàn)電路如圖2.5.13所示數(shù)字電子技術(shù)第五版或者先寫成最大項之積形式，再兩次取反，利用反演定理得到或非式數(shù)字電子技術(shù)第五版2.6邏輯函數(shù)的化簡方法

一個邏輯函數(shù)有多種不同形式的邏輯表達式，雖然描述的邏輯功能相同，但電路實現(xiàn)的復(fù)雜性和成本是不同的。邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)的電路越簡單可靠，且低成本。因此在設(shè)計電路時必須將邏輯函數(shù)進行簡化。注：隨著集成電路的發(fā)展，集成芯片的種類越來越多。邏輯函數(shù)是否“最簡”已無太大意義。但作為設(shè)計思路，特別對于中小規(guī)模集成電路，邏輯函數(shù)的簡化是不能忽視的邏輯函數(shù)的簡化方法很多，主要有邏輯代數(shù)簡化法（公式法）和卡諾圖法數(shù)字電子技術(shù)第五版2.6.1公式化簡法

公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些定理、公式和運算規(guī)則，將邏輯函數(shù)進行簡化。實現(xiàn)電路的器件不同，最終要得到的邏函數(shù)的形式不同，其最簡的定義也不同。

對于要小規(guī)模集成門電路實現(xiàn)的電路，常用的門為與非門、或非門、與或非門等。由上一節(jié)可知，其最終都可以由與或式、或與式轉(zhuǎn)換而成。故最常用的是最簡與或式和最簡或與式。最簡與或式：最簡的與或式所含乘積項最少，且每個乘積項中的因子也最少。最簡或與式：最簡的或與式所含和項最少，且每個和項中的相加的項也最少。數(shù)字電子技術(shù)第五版1.與或式的簡化(1)與或式：就是先與后或式（乘積和），最簡的與或式是所含與項最少，且每個與項的邏輯變量最少，則這個與或式是最簡的。下面討論公式法常用的化簡方法。上式Y(jié)1和Y2實現(xiàn)同樣的邏輯功能，但Y1中不僅所含變量多，而且乘積項也多了一項，要用3個與門（不含非門）和一個或門實現(xiàn)，而Y2的變量有3個，兩個乘積項，用2個與門、1個或門實現(xiàn)即可，這樣即節(jié)省元件，也減少布線和功耗。2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版(2)與或式的簡化方法a.合并項法：利用AB＋AB＝B消去一個變量；b.消除法：利用A＋AB＝A＋B消去多余變量；c.配項法：利用A＋A

＝1

增加一些項，再進行簡化說明：一般化簡需要各種方法綜合起來?；喰枰记珊徒?jīng)驗，需多練習。另外最后的結(jié)果是否為最簡，難以判斷。2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.6.1將下式化為最簡與或式配項ABC解法一：配項法2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版解法二：用吸收法和消去法二種方法結(jié)果一致，但過程繁簡不同。盡量選擇最佳方法，使化簡過程簡單2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.6.2試將下面的邏輯函數(shù)簡化為最簡與或式解：注：從原式看，很難看出是不是最簡，而且用代數(shù)法簡化邏輯函數(shù)，不僅要熟悉邏輯代數(shù)公式，而且要靈活運用，而且不能保證最后結(jié)果最簡。2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.6.3試將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式解：多余項反演定理2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版練習：試將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版2.或與式的簡化a.利用公式A（A＋B）＝A及A（A

+B)=A化簡解：例2.6.4試將下面的邏輯函數(shù)簡化為最簡或與式2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版b.利用兩次求對偶式進行簡化再求對偶式如例2.6.4的邏輯函數(shù)：其對偶式為2.6.1公式化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版2.6.2卡諾圖化簡法

公式法簡化邏輯函數(shù)不直觀，且要熟練掌握邏輯代數(shù)的公式以及簡化技巧，而卡諾圖法能克服公式法的不足，可以直觀地給出簡化的結(jié)果。一.卡諾圖a.定義：將邏輯函數(shù)的真值表圖形化，把真值表中的變量分成兩組分別排列在行和列的方格中，就構(gòu)成二維圖表，即為卡諾圖，它是由卡諾（Karnaugh）和范奇（Veich）提出的。b.卡諾圖的構(gòu)成：將最小項按相鄰性排列成矩陣，就構(gòu)成卡諾圖實質(zhì)是將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來。最小項的相鄰性就是它們中變量只有一個是不同的。數(shù)字電子技術(shù)第五版下面表2.6.1是二變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版表2.6.2為三變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版表2.6.3為4變量的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版從上面卡諾圖可以看出

任意兩個相鄰的最小項在圖上是相鄰的，并且圖中最左列的最小項與左右列相應(yīng)最小項也是相鄰的（如m0和m2，m9和m10)。位于最上面和最下面的相應(yīng)最小項也是相鄰的（m0和m9,m2和m10)，所以四變量的最小項有四個相鄰最小項?？梢宰C明n變量的卡諾圖中的最小項有n個相鄰最小項2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版n變量的卡諾圖可有n－1變量的卡諾圖采用折疊法構(gòu)成,如五變量的卡諾圖可由四變量的卡諾圖折疊得到，如表2.6.42.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版二.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

如果畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖，首先將邏輯函數(shù)化成標準與或型（最小項和），在相應(yīng)的最小項位置填“1”，其方法如下a.利用真值表：將邏輯函數(shù)的真值表做出，將表中對應(yīng)“1”項的最小項填到卡諾圖中2.6.2卡諾圖化簡法例2.6.5畫出下面函數(shù)的卡諾圖數(shù)字電子技術(shù)第五版解：其真值表如表2.6.5所示,其卡諾圖如表2.6.6所示輸入輸出ABCY0

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1

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1

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1

1

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0

0

1表2.6.52.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版b.化為標準與或型例2.6.6畫出下面邏輯函數(shù)的卡諾圖解：2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版卡諾圖如表2.6.62.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版(3)觀察法

采用觀察法不需要前兩種方法需要將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項，而是采用觀察邏輯函數(shù)，將應(yīng)為“1”的項填到卡諾圖中例2.6.7用卡諾圖表示下面的邏輯函數(shù)解：其卡諾圖如表2.6.7所示2.6.2卡諾圖化簡法AA

11111111數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.6.8畫出下列函數(shù)的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.8所示2.6.2卡諾圖化簡法1111111111數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.6.9畫出下列函數(shù)的卡諾圖解:Y的卡諾圖如表2.6.9所示2.6.2卡諾圖化簡法111111111數(shù)字電子技術(shù)第五版練習：畫出下列函數(shù)的卡諾圖2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版三、利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)①卡諾圖的性質(zhì)a.卡諾圖上任何2（21)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去1個取值不同的變量例如表2.6.10中，有消去變量D2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版b.卡諾圖上任何4（22)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去2個取值不同的變量例如表2.6.11中，有消去變量AC2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版c.卡諾圖上任何8（23)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去3個取值不同的變量例如表2.6.12中，有消去變量ABC2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版或者下面的圈“1”法2.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版②卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為與或式的步驟a.將邏輯函數(shù)化為最小項（可略去）；b.畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；c.找出可以合并的最小項,即1的項（必須是2n個1)，進行圈“1”，圈“1”的規(guī)則為：2.6.2卡諾圖化簡法*圈內(nèi)的“1”必須是2n個；*“1”可以重復(fù)圈，但每圈一次必須包含沒圈過的“1”；*每個圈包含“1”的個數(shù)盡可能多，但必須相鄰，必須為2n個；數(shù)字電子技術(shù)第五版圈“1”的規(guī)則為2.6.2卡諾圖化簡法*圈數(shù)盡可能的少；*要圈完卡諾圖上所有的“1”。d.圈好“1”后寫出每個圈的乘積項，然后相加，即為簡化后的邏輯函數(shù)。注：卡諾圖化簡不是唯一，不同的圈法得到的簡化結(jié)果不同，但實現(xiàn)的邏輯功能相同的。數(shù)字電子技術(shù)第五版解：其卡諾圖如表2.6.13所示圈法如圖，則例2.6.10用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)2.6.2卡諾圖化簡法111111數(shù)字電子技術(shù)第五版或者圈法如表2.6.14所示，則故卡諾圖簡化不是唯一的2.6.2卡諾圖化簡法與第一種圈法相比數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.6.11用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)解：其卡諾圖如表2.6.15所示則簡化后的邏輯函數(shù)為12.6.2卡諾圖化簡法11111111111數(shù)字電子技術(shù)第五版注：以上是通過合并卡諾圖中的“1”項來簡化邏輯函數(shù)的，有時也通過合并“0”項先求F的反函數(shù)，再求反得Y例如上面的例題,圈“0”情況如表2.6.15所示，可得1111111111112.6.2卡諾圖化簡法數(shù)字電子技術(shù)第五版例2.6.12用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù)解:卡諾圖如表2.6.16可得2.6.2卡諾圖化簡法11111111111數(shù)字電子技術(shù)第五版練習：③利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為或與式

在卡諾圖上圈“0”的最小項，其規(guī)