2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十四講基本不等式的應(yīng)用（二）（原卷版）

第二十四講：基本不等式的應(yīng)用（二）【教學(xué)目標(biāo)】1．掌握對(duì)應(yīng)的基本不等式求解最值；2．通過分析實(shí)際問題，建立函數(shù)方程，通過基本不等式求解最優(yōu)解.【基礎(chǔ)知識(shí)】一、基本不等式：（1）；（2）.利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.二、恒成立與能成立問題若恒成立，則；若恒成立，則.若有解，則；若有解，則.【題型目錄】考點(diǎn)一：基本不等式求參（恒成立與能成立問題）考點(diǎn)二：基本不等式實(shí)際應(yīng)用（一）考點(diǎn)三：基本不等式拓展【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：基本不等式求參（恒成立與能成立問題）例1．若對(duì)，，有恒成立，則的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練2．若時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓(xùn)練3．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍（） A． B． C． D．考點(diǎn)二：基本不等式實(shí)際應(yīng)用（一）例1．近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動(dòng)，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，鼓勵(lì)企業(yè)在國(guó)慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣在國(guó)慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．波司登制衣在收到高郵政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時(shí)波司登制衣生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項(xiàng)補(bǔ)貼成本．(1)求波司登制衣國(guó)慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的表達(dá)式；(2)高郵政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，波司登制衣國(guó)慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？變式訓(xùn)練1．某游泳館擬建一座占地面積為200平方米的矩形泳池，其平面圖形如圖所示，池深1米，四周的池壁造價(jià)為400元/米，泳池中間設(shè)置一條隔離墻，其造價(jià)為100元/米，泳池底面造價(jià)為60元/平方米（池壁厚忽略不計(jì)），設(shè)泳池的長(zhǎng)為x米，寫出泳池的總造價(jià)，問泳池的長(zhǎng)為多少米時(shí)，可使總造價(jià)最低，并求出泳池的最低造價(jià)．變式訓(xùn)練2．常州在中國(guó)工業(yè)大獎(jiǎng)和工業(yè)強(qiáng)基工程項(xiàng)目雙雙位列全國(guó)地級(jí)市第一，已知常州某零件裝備生產(chǎn)企業(yè)2023年的固定成本為2500萬元，每生產(chǎn)100x件零件，需另投資(單位：萬元)，經(jīng)計(jì)算與市場(chǎng)評(píng)估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，零件裝備售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的零件裝備當(dāng)年能全部銷售完(其中).(1)預(yù)測(cè)出2023年的利潤(rùn)(單位：萬元)的函數(shù)表達(dá)式(利潤(rùn)=銷售額—成本)；(2)當(dāng)2023年裝備產(chǎn)量為多少時(shí)，常州該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).變式訓(xùn)練3．如圖設(shè)矩形ABCD（AB＞AD）的周長(zhǎng)為40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成為△AEC，AE交DC于點(diǎn)P．設(shè)．(1)若，求x的取值范圍；(2)設(shè)△ADP面積為S，求S的最大值及相應(yīng)的x的值．考點(diǎn)三：基本不等式拓展例1．均值不等式可以推廣成均值不等式鏈，在不等式證明和求最值中有廣泛的應(yīng)用，具體為：.(1)證明不等式.(2)上面給出的均值不等式鏈?zhǔn)嵌问?，其中指的是兩個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)不小它們的算數(shù)平均數(shù)，類比這個(gè)不等式給出對(duì)應(yīng)的三元形式，即三個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算數(shù)平均數(shù)，并嘗試用分析法證明猜想.（個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)為）變式訓(xùn)練1．根據(jù)高一課本基本不等式章節(jié)知識(shí)所學(xué)，我們知道基本不等式，那么類比可得，那么根據(jù)上述結(jié)論，則的最大值為________.變式訓(xùn)練2．權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（） A．16 B．25 C．36 D．49變式訓(xùn)練3．我們學(xué)習(xí)了二元基本不等式：設(shè),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立利用基本不等式可以證明不等式，也可以利用“和定積最大，積定和最小”求最值.（1）對(duì)于三元基本不等式請(qǐng)猜想：設(shè)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（把橫線補(bǔ)全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式證明：設(shè)求證：(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：設(shè)求的最大值.【課堂小結(jié)】1．知識(shí)清單：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值范圍．(3)實(shí)際應(yīng)用問題，基本不等式求解最優(yōu)解．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區(qū)：忽略應(yīng)用基本不等式求最值的條件(一正、二定、三相等)．【課后作業(yè)】1、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D．2、若對(duì)于任意，恒成立，則a的取值范圍為（） A． B． C． D．3、若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為（） A． B． C． D．4、已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A． B． C． D．5、已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（） A． B． C． D．6、若正數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（） A． B． C． D．7、設(shè)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是（） A． B．2 C．1 D．8、若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（） A． B． C． D．9、已知，若恒成立，則m的最大值為（） A．3 B．4 C．8 D．910、某單位建造一間地面面積為的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長(zhǎng)度不超過米，房屋正面的造價(jià)為400元，房屋側(cè)面的造價(jià)為150元，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為元．(1)把房屋總造價(jià)表示成的函數(shù)，并寫出該函數(shù)的定義域．(2)當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少？11、如圖所示，有一批材料長(zhǎng)為24m，如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成兩個(gè)面積相等的矩形，那么圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積是多少？12、為提高隧道車輛通行能力，研究了隧道內(nèi)的車流速度（單位：千米/小時(shí)）和車流密度（單位：輛/千米）所滿足的關(guān)系式：．研究表明：當(dāng)隧道內(nèi)的車流密度達(dá)到120輛/千米時(shí)造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)．(1)若車流速度千米/小時(shí)，求車流密度的取值范圍；(2)隧道內(nèi)的車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過隧道的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）滿足，求隧道內(nèi)車流量的最大值，并指出車流量最大時(shí)的車流密度輛/千米．13、志愿者團(tuán)隊(duì)要設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的矩形隊(duì)徽ABCD，已知點(diǎn)E在邊CD上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周長(zhǎng)為8cm.(1)設(shè)AB＝xcm，試用x表示出圖中DE