素養(yǎng)拓展33曲線的軌跡方程問題2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）素養(yǎng)拓展33曲線的軌跡方程問題（精講+精練）一、知識點(diǎn)梳理一、知識點(diǎn)梳理一、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．二、求曲線方程的一般步驟（直接法）（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍．三、求軌跡方程的方法1.定義法如果動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2.代入法（相關(guān)點(diǎn)法）如果動點(diǎn)的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)的軌跡方程。3.交軌法在求動點(diǎn)的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．4.參數(shù)法動點(diǎn)的運(yùn)動主要是由于某個參數(shù)的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個參數(shù)表示動點(diǎn)的坐標(biāo)，即，再消參.5.點(diǎn)差法圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】已知點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點(diǎn)的軌跡方程為______．【答案】【解析】因?yàn)檩S，垂足為M，且PM的中點(diǎn)為，所以，又因?yàn)镻是橢圓上任意一點(diǎn)，所以，即.故答案為：.【典例2】已知圓：，動圓與圓外切，且與定直線相切，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為．求的方程；【解析】設(shè)，圓的半徑為，由題可知，點(diǎn)在直線右側(cè)，因?yàn)閳A與定直線相切，所以．又圓與圓外切，所以，所以，化簡得，即的方程為．【典例3】（單選題）設(shè)分別是直線和上的動點(diǎn)，且滿足，則的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，故，，又因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為．故選:A.【典例4】已知、為橢圓C：的左右頂點(diǎn)，直線與C交于兩點(diǎn)，直線和直線交于點(diǎn).求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】由題意得，，設(shè)，，，則，，即，，得，又∵點(diǎn)在C上，即，得，∴；【典例5】已知橢圓的弦所在直線過點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)，弦的中點(diǎn)，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當(dāng)時，，因?yàn)椋?，則，整理得；當(dāng)時，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點(diǎn)的軌跡方程.【題型訓(xùn)練刷模擬】一、單選題1．平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（

）A．線段 B．圓 C．橢圓 D．不存在2．一動圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．3．在平面內(nèi)，A，B是兩個定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，若=2，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．橢圓 B．射線 C．圓 D．直線4．已知面積為16的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．5．已知圓，直線l過點(diǎn).線段的端點(diǎn)B在圓上運(yùn)動，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓E上一動點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．將上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫角€，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)坐標(biāo)為，那么直線的方程為（

）A． B． C． D．8．已知是圓上的一動點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．9．已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N.若，則動點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線10．已知是橢圓的長軸上的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則直線與直線的交點(diǎn)所形成的軌跡為（

）A．雙曲線 B．拋物線C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線11．已知點(diǎn)P是圓上的動點(diǎn)，作軸于點(diǎn)H，則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為，離心率等于，設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點(diǎn)分別在上，且滿足，則線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為A． B．C． D．13．已知，，，以C為焦點(diǎn)的橢圓過A、B兩點(diǎn)，則橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程為（

）A． B．C． D．二、填空題14．如果點(diǎn)M（x，y）在運(yùn)動過程中，總滿足關(guān)系式，那么點(diǎn)M的軌跡是．15．平面上一動點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)C的軌跡E的方程為．16．曲線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線x＝4的距離之比等于，則C的方程為．17．已知圓心在軸上移動的圓經(jīng)過點(diǎn)，且與軸，軸分別相交于兩個動點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為.18．已知點(diǎn)分別在軸、軸上運(yùn)動，，點(diǎn)在線段上，且.則點(diǎn)的軌跡方程是；19．已知點(diǎn)A，B，P是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，直線PA與PB的斜率之積是，則動點(diǎn)P的軌跡C的方程為.20．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)中，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為.21．已知圓M與圓C1：和圓C2：一個內(nèi)切一個外切，則點(diǎn)M的軌跡方程為.22．已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，，連接并延長至，使得，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．23．在橢圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為，點(diǎn)在的延長線上，滿足，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時，點(diǎn)的軌跡方程為.24．已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程為．25．設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，N為動點(diǎn)，，，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)，M與不重合，N與不重合，設(shè)，則點(diǎn)T的軌跡方程是.26．自引圓的割線ABC，則弦中點(diǎn)P的軌跡方程.27．已知，，當(dāng)時，線段的中點(diǎn)軌跡方程為．28．已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，則直線和的交點(diǎn)的軌跡方程為．29．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，若交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為.30．直線在軸上的截距為且交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)、分別作拋物線對稱軸的平行線與直線交于、兩點(diǎn)．分別過點(diǎn)、作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．三、解答題31．已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)A在直線l上，動點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，且，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡方程的形狀．32．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若直線與直線的斜率的乘積為．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)說明點(diǎn)的軌跡是何種幾何圖形．33．已知橢圓，點(diǎn)A，B分別是它的左?右頂點(diǎn)，一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線l與橢圓相切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時，看作P，Q兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A或點(diǎn)B，求直線與直線的交點(diǎn)M的軌跡方程.34．已知的斜邊為AB，且.求:(1)外接圓的一般方程;(2)直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程．35．已知直線，圓.(1)證明:直線與圓相交；(2)設(shè)與的兩個交點(diǎn)分別為A、，弦的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程.36．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)分別在橢圓和直線上，，為的中點(diǎn)，若為直線與直線的交點(diǎn)．是否存在一個確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．37．已知過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)證明：；(2)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線交拋物線與兩點(diǎn)（在軸的同側(cè)），求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程．38．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上除右頂點(diǎn)之外的一點(diǎn)．若該雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)且過點(diǎn)，求內(nèi)切圓圓心的軌跡方程．39．已知點(diǎn)是圓上的定點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．40．已知橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的動點(diǎn)，記分別為直線滿足.(1)證明：是定值，并求出該定值；(2)求動點(diǎn)的軌跡方程.41．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E在C上，以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓的最小面積為．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)F的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別作C的切線，，兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程．42．已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過，經(jīng)過定點(diǎn)斜率不為0的直線l交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左，右兩頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AE與BF的交點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.43．已知橢圓C：的長軸長為，離心率為.