專題3.4 輔助圓定點(diǎn)定長（隱圓壓軸一）（解析版）

專題3.4輔助圓定點(diǎn)定長模型一：定點(diǎn)定長作圓點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動(dòng)點(diǎn)，且AB長度固定，則點(diǎn)B的軌跡是以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑的圓。模型二：點(diǎn)圓最值已知平面內(nèi)一定點(diǎn)D和O，點(diǎn)E是O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)D之間距離為d，O半徑為r.位置關(guān)系點(diǎn)D在O內(nèi)點(diǎn)D在O上點(diǎn)D在O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接DO并延長交O于點(diǎn)E

DE的最小值r－d0d－r此時(shí)點(diǎn)E的位置連接OD并延長交O于點(diǎn)E點(diǎn)E與點(diǎn)D重合連接OD交O于點(diǎn)E【典例1】（1）【學(xué)習(xí)心得】于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝45°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案為：45；（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長度最?。┕蚀鸢笧椋憨?．【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，則∠BDC＝．版權(quán)所有【解答】解：以A為圓心，AB為半徑畫圓，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CAD＝2∠BAC，∴∠CBD＝2∠BDC，∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，∴3∠CBD+105°＝180°，∴∠CBD＝25°．故答案為：25°．【變式1-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝70°，那么∠BDC＝35°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴點(diǎn)B，C，D在以點(diǎn)A為圓心的圓上，∵∠BAC＝70°，∴∠BDC＝∠BAC＝35°．故答案為：35°．【變式1-3】如圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．（1）求證：BD1＝CE1；（2）當(dāng)∠CPD1＝2∠CAD1時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角為a＝135°（直接寫結(jié)果）（3）連接PA，△PAB面積的最大值為4+4（直接寫結(jié)果）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）BD1與AC的交點(diǎn)記作點(diǎn)G，如圖（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋轉(zhuǎn)角α＝90°+∠CAD1＝135°故答案為135°；（3）如圖3，∵AC＝AB＝4，∵點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴AD＝AE＝2，由旋轉(zhuǎn)知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1＝2，則BD1＝＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝BD1+PD1＝2+2，∴點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：PH＝+．∴△PAB的面積最大值為AB×PH＝4+4，故答案為4+4．【典例2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），沿DE翻折△DCE使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，請畫出點(diǎn)F的軌跡．版權(quán)所有【解答】解：∵DF＝DC，∴則點(diǎn)F在以點(diǎn)D為圓心DC為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，AD與⊙D交于Q，則即為點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡．∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，則軌跡為優(yōu)弧MQC，滿足∠MDA＝∠CDA，此時(shí)點(diǎn)F的軌跡為．【變式2-1】如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，將△AEB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與邊BC重合，得到△MNB，請畫出在旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡．【解答】解：如圖，弧AM即為所求．【變式2-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿AD對折，得到△AB'D，當(dāng)點(diǎn)B'落在AC邊上時(shí)，點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)，若AB'＝AC，則在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B'的運(yùn)動(dòng)路徑長為．【答案】【解答】解：由折疊知AB'＝AB，∵AB'＝AC，∴AB＝AC，∴sinC＝，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，∴點(diǎn)B'的運(yùn)動(dòng)路徑長為＝，故答案為：【變式2-3】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，將菱形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到菱形A'BC'D'，求出當(dāng)點(diǎn)D'在BA的延長線上時(shí)，點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)的路徑長．【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝BC'，∴點(diǎn)C'在以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D'在BA的延長線上時(shí)，∠ABC'＝∠D'BC'＝∠C'BC，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠C'BC＝30°，BC＝AB＝3，∴點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)的路徑長為＝．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線面BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿EF所在的直線折疊得到，連接，求的最小值。解：如圖，點(diǎn)E為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)E，，D三點(diǎn)共線時(shí)的值最小。，，，【變式3-1】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，BF⊥AE，則CG的最小值為．?【答案】．【解答】解：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，如圖，根據(jù)題意可知，點(diǎn)G是在以O(shè)為圓心，AB為直徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，∵OC和OG的長度是定值，∴當(dāng)O、G、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CG取得最小值，∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴OA＝OB＝OG＝＝3，在Rt△BOC中，OC＝＝＝，∴CG的最小值為OC﹣OG＝．故答案為：【變式3-2】（錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．版權(quán)所有【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，∵M(jìn)是AD邊的中點(diǎn)，∴AM＝MD＝1∵將△AMN沿MN所在直線折疊，∴AM＝A'M＝1∴點(diǎn)A'在以點(diǎn)M為圓心，AM為半徑的圓上，∴如圖，當(dāng)點(diǎn)A'在線段MC上時(shí)，A'C有最小值，∵M(jìn)C＝＝∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案為：﹣1【變式3-3】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點(diǎn)F到線段BC的最短距離是．【解答】解：連接CE，作EG⊥BC于G，∵AE＝EF＝2，∴點(diǎn)F在以E為圓心，AE為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∴FC的最小值為CE﹣2＝2﹣2，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，∴四邊形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4，∴點(diǎn)F到線段BC的最短距離是2，故答案為：2﹣2，2．【典例4】（邗江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠ACB＝90°，D為直線y＝x上的動(dòng)點(diǎn)，則線段CD長的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，AB為直徑的圓的圓心為E點(diǎn)，如圖，連接DE交⊙E于C′，∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，AE＝1，∴DC≤DE﹣CE（當(dāng)且僅當(dāng)D、C、E共線時(shí)取等號）即DC≤DE﹣1，∵DE⊥直線y＝x時(shí)，DE最短，DE的最小值為OE＝，∴線段CD長的最小值為﹣1．故選：C．【變式4-1】（武江區(qū)校級期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（5，12），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則AB的最小值為．【解答】解：連接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最小值，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則OQ＝5，MQ＝12，∴OM＝13，又∵M(jìn)P′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案是：18．【變式4-2】（薩爾圖區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為．【解答】解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的⊙B上，如圖，取OD＝OA＝4，連接OD，∵點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝，∴OM最大值時(shí)，CD取最大值，此時(shí)D、B、C三點(diǎn)共線，此時(shí)在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案為：1+2．【變式4-3】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，則AB的最大值為．【答案】24【解答】解：連接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，連接OM并延長交⊙M于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P位于P′位置時(shí)，OP′取得最大值，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則OQ＝6，MQ＝8，∴OM＝10，又∵M(jìn)P′＝2，∴OP′＝10+2＝12，∴AB＝2OP′＝24，故答案為：2