2021年上海市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-易錯(cuò)點(diǎn)03 函數(shù)（教師版）

易錯(cuò)點(diǎn)03函數(shù)

i.函數(shù)及其圖像

2.一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

3.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

4.反比例函數(shù)

5.二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與a、b、c的關(guān)系

6.函數(shù)解析式及與方程的關(guān)系

7.二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

8.二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

，錯(cuò)題01各個(gè)待定系數(shù)表示的意義。

1.(2020?上海中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-；x+5與x軸、y軸分別交

于點(diǎn)4、8(如圖).拋物線*ax2+bx(g0)經(jīng)過點(diǎn)4.

(1)求線段4B的長；

(2)如果拋物線片ax2+bx經(jīng)過線段A8上的另一點(diǎn)C,且8c=6，求這條拋物線的表達(dá)式；

(3)如果拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)D位于△AOB內(nèi)，求。的取值范圍.

【答案】(1)5道；(2)y=--x2+-x；(3)--<a<0.

4210

【分析】(1)先求出A,B坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)點(diǎn)C(m,-gm+5),則BC=^|m,進(jìn)而求出點(diǎn)C(2,4),最后將點(diǎn)A,C代入拋

22

物線解析式中，即可得出結(jié)論；

(3)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b=-10a,代入拋物線解析式中得出頂點(diǎn)D坐標(biāo)為

(5,-25a),即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)針對于直線片-^-x+5,令x=0,y=5,/.8(0,5),

令y=O,則-gx+5=0,二X=10,二410,0),=48=療1方=5不：

(2)設(shè)點(diǎn)C(m,-ym+5)./8(0,5),z.BC=^/n2+(-1w+5-5)2|m|.

?.?8C=V^,.,.好|m|=6,二m=±2.?.?點(diǎn)C在線段48上，=m=2,二C(2,4),

2

100a+10/?=0

將點(diǎn)A(10,0),C(2,4)代入拋物線y=ax2+bx("0)中，得〈，?，

4a+2Z?=4

1

a——

415

U,?..拋物線y=--x2+-x；

b.=—542

2

(3),點(diǎn)A(10,0)在拋物線y="2+bx中，得100a+10b=0,b=-10a,

???拋物線的解析式為y=ax2-10ax=a(x-5)2-25o,/.拋物線的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為(5,-25a),

將x=5代入y=-工x+5中，得片-,x5+5=—,...頂點(diǎn)。位于△AOB內(nèi)，

222

51

0V-25。V—,--V。V0.

210

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間的距離公式，拋物線的頂

點(diǎn)坐標(biāo)的求法，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

變式練習(xí)

2.(2020?上海松江區(qū)?九年級(jí)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)xOy中，某一次函數(shù)的圖象

3

與反比例函數(shù)的丫=一的圖象交于A(1,m)、B(n,-1)兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn).

x

(1)求該一次函數(shù)的解析式；

(2)求一的值.

BC

【答案】(1)y=x+2；(2)

【分析】(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(kxO),將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析

式可求出m、n的值，再將A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，即可求出一次函數(shù)解析式.

(2)己知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)A、B分別作y軸垂線，垂足為分別D、E,利用平行線分

線段成比例定理即可求解.

【詳解】(1)設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(kHO),

333

又,「A(l,m)、B(n,-1)在反比例函數(shù)y=一的圖象上,,m=一,-1=一,

x1n

m=3,n=-3,A(l,3)、B(-3,-1),

k+b=3k=1

一次函數(shù)丫=1?<+13的圖象過A(l,3)、B(-3,-1),

-2>k+b=-\b=2

二?所求一次函數(shù)的解析式是y=x+2；故答案為：y=x+2

（2）過點(diǎn)A、B分別作y軸垂線，垂足為分別D、E,過點(diǎn)B作BF垂直于AD的延長線于點(diǎn)

F,BF交y軸于點(diǎn)G

BCBGBG_3_3

y=x+2,令x=0,得y=2j0C=2則AFIIBE,

BG+GF~M~4

AC_1

~BC~3

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，利用待定

系數(shù)法可求得一次函數(shù)解析式，本題還考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用.

3.（2020?上海虹口區(qū)?九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+3與x,y

YYI

軸分別交于點(diǎn)A、B,與雙曲線丫=一交于點(diǎn)C（a,6）,己知AAOB的面積為3,求直線與雙

X

曲線的表達(dá)式.

312

【答案】y=--x+3,y=—-

2x

【分析】先利用一次函數(shù)解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形面積公式求出0A得到A點(diǎn)坐

3

標(biāo)為(2,0),接著把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+3中求出k得到一次函數(shù)解析式為y=--x+3,

2

然后利用?次函數(shù)解析式確定C點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=kx+3=3,則B(0,3),二△AOB的面積為3,

??—x3xOA=3,解得OA=2,「.A點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

2

3

把A(2,0)代入y=kx+3得2k+3=0,解得k=-----,

2

33

?次函數(shù)解析式為y=----x+3,把C(a,6)代入得----a+3=6,解得a=-2,

22

YYI

C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,6),把C(-2,6)代入y=一得m=-2x6=-12,

x

1?

???反比例函數(shù)解析式為y=—-.

x

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐

標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩

者無交點(diǎn).也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

易錯(cuò)題02各種函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)與幾何圖形的關(guān)

系應(yīng)用。

1.(2021?上海徐匯區(qū)?九年級(jí)一模)已知拋物線ynf+bx+c與V軸交于點(diǎn)C(0,2),它的

頂點(diǎn)為M，對稱軸是直線x=—1.

(1)求此拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)將上述拋物線向下平移風(fēng)，〃>0)個(gè)單位，所得新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。，設(shè)新拋物線的頂

點(diǎn)為N,請判斷/xMON的形狀，并說明理由.

【答案】（1）y=x2+2x+2,（一1,1）；（2）△MON是等腰直角三角形.

【分析】（1）根據(jù)對稱軸是直線％=-1，可求b,再代入點(diǎn)C,可求拋物線解析式，把％=-1,

代入解析式，可求M點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由原拋物線與y軸交點(diǎn)可知，拋物線向下平移2個(gè)單位，可求新頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出

MO、ON、MN的長，可判斷三角形形狀.

【詳解】解：（1）.拋物線對稱軸是直線X=-l,二-2=-1,解得b=2,

2x1

把C（0,2）代入丫=/+法+。得，2=c,.??拋物線解析式為：y=x2+2x+2；

把x=-l代入y=x?+2x+2得，y-（-1）2+2x（-1）+2,y=l,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（一1,1）.

（2）拋物線y=*2+2x+2與y軸交點(diǎn)為C（0,2）,向下平移風(fēng)機(jī)>0）個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)，

m=2,新拋物線的頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（-

ON=Vl2+12=&,OM=+『=0>MN=2，

MN2=OM2+ON2AMON是等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)的平移以及勾股定理逆定理，靈活

運(yùn)用已知條件，準(zhǔn)確把握函數(shù)圖象平移特征，根據(jù)三邊長判斷三角形形狀是解題關(guān)鍵.

變式練習(xí)

2.（2021?上海九年級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線）=以2+反一4與x

軸交于點(diǎn)A（T,0）和點(diǎn)3（2,0）,與>軸交于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)：

（2）如果點(diǎn)。的坐標(biāo)為（—8,0）,聯(lián)結(jié)AC、DC,求NACD的正切值；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)NOCD=NC4P時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】⑴拋物線為丁="2+》一4,C（0,-4）；（2）tanZACD=-；（3）P\

23\39,

【分析】（1）將兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出，令x為0,求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過。作CA延長線的垂線，通過證明EAD-Q4c求出。E和EC的長度，再求出正

切值；

（3）設(shè)P。,52+―4）通過tanNB4P=tanNACD可求出參數(shù)t,從而得出P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：（1）將（-4,0）,（2,0）代入拋物線y=o?+Ax—4,

解得：。=工功=1,.?.拋物線為y=Jd+x—4,令x=0,得y=4,故C（0,-4）.

22

（2）過。作OEJ_AC交C4延長線于E，

因?yàn)閆E40=NO4C，ZDEA=ZCOA,..EAD-OAC,

DEEADA4

.■AD^4,DE=AE,由勾股定理得，DE=AE=2母,CO-O4-C4-472

DE_2血_1

DE=2V2-EA=2V2>EC=6后，..tanZACD

EC-672-3

（3）設(shè)尸（f，5產(chǎn)+f-4）,連接DP、AP,

N0CD=4CAP，ZOCA+ZACD=ZCAB+ZBAP.

450+ZACD=45°+ZBAP,AZACP=NBAP,

..tanN8AP=tanZACQ=g,..tanN3AP=(gf2+f_4)+?+4)=；

Q8型、

解得p

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的證明和解直角三角形

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

3.（2021?上海楊浦區(qū)?九年級(jí)一模）如圖，已知在RzABC中，NACB=90°,AC=BC=4,

點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），點(diǎn)E為邊A6上一點(diǎn)，NEDB=ZADC,過

點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)G,交射線AC于點(diǎn)F.

（1）如果點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，求NZMB的正切值;

（2）當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)，設(shè)C￡>=x,CF^y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域:

（3）聯(lián)結(jié)。/如果CDF與AGE相似，求線段CO的長.

【答案】（1）tanZDAB=；；（2）y=-2x+4（0<xW2）；（3）4行-4、8-46或竽.

【分析】（1））過點(diǎn)D作。H_L43TH,在RfiCB中，利用勾股定理解得AD、AB的長，

再結(jié)合等積法，解得DH、AH的長即可解題；

（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，表示E"=士匕再證明打4尸￡BDE

x+4

4^_4>/2（4-X）

由牝=空即4-y=-----.v+4-得到與*的關(guān)系；

DBBE4-x4y/2（4-x）

x+4

（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，結(jié)合（2）中y關(guān)于x的函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，

繼而解得x、y的值即可解題.

【詳解】（1）過點(diǎn)D作于H,

在RACS中，AD=JCD。+CD?=2底:.AB=1AC。+BC2=4五

：.SADB=\DB.AC=.,"

_______DH]

AH=^ADr-DH2=372,tanZDAB=——=-；

AH3

(2)過E作EH±CB于H

./EDB=ZADC，ZC=ZE//D=90°/.ACDEHD.

ACEH??4EH4(4-x)

------Up———----------------EH

CDDHx4-x-EHx+4

EH±CB,ZAC3=90°，AC=BC=4

4血(4—x)40(4—x)

?-EB=yr/2EH=————1，AB=4r0.??AE=4夜r-----i-------L

x+4x+4

EFLAD,ZC=90°,-?ZAFG^ZADC..ZEDB=ZADC.ZAFG=/EDB.

ZFAE=ZB=45°--fAFEBDE.

4向4夜(4T)

二.竺=空即^12=-------"+,—.整理得，>=-2x+4(0<xW2)；

DBBE4-x4G(4-x)')

x+4

(3)在RtAMDB中,DB=4-x,所以MD=MB=XZ(4-X).

2

在R3ADM中，AM=AB-MB=4>/2-—(4-X)=—(4+X).

22

DM4-x

所以tanzDAB=——-=---按照點(diǎn)F的位置，分兩種情況討論小CDF與^AGE相似:

AM4+元

①點(diǎn)F在線段AC上，此時(shí)y=4-2x.如圖,

y4-X

如果NFDC=ZDAB,由tanZFDC=tanZDAB,得二=----

X4+x

結(jié)合y=4-2x,整理，得x2+8x+16=0.解得x=4&-4或-4近-4（舍去）,

犬4—x

如果/CFD=ZDAB,由tanzCFD=tanZDAB,得一=-——

y4+x

結(jié)合y=4--2x,整理，得*2-3<+16=0.解得％=8-4>6或8+4由（舍去）

②點(diǎn)F在線段AC的延長線上，此時(shí)y=2x-4如圖

F

y4—x

如果NFDC=NDAB,由土=----結(jié)合y=2x-4,整理，得3/-16=0.

X4+X

4J3x4-x

解得X=空歸或4m-（舍去）如果NCFD=NDAB,-="——與y=2x-4

33y4+x

整理，得3d_8x+16=0.此方程無解.綜上，CD的值為4拒-4、8-4百或手.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，涉及解二元一次方程組等知識(shí)，解題關(guān)鍵

是根據(jù)題意利用相似三角形性質(zhì)構(gòu)造方程.

4.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知對稱軸為直線x=-l的拋物線了=。^+區(qū)+3

與X軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,（））.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式;

(2)記拋物線的頂點(diǎn)為p,對稱軸與線段3C的交點(diǎn)為。，將線段PQ繞點(diǎn)。，按順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)120。，請判斷旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P是否還在拋物線上，并說明理由；

(3)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MOC與BCP相似？若不存在，請說明理由；若存

在請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)(不必書寫求解過程).

【答案】(1)8(-3,0),y=_f_2x+3；(2)P在拋物線上，理由見解析；(3)存在；

M(1,0)或(9,0)或(-4,0)或(一9,0)

【分析】(1)根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等，方向相反，可得點(diǎn)B

的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式.

(2)求出直線BC的解析式，計(jì)算得出線段PQ的長度，過P'作產(chǎn)。平行于x軸，PO交

拋物線對稱軸于點(diǎn)D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度解直角三角形，得出P'的坐標(biāo)，將P的橫坐標(biāo)代入拋

物線的解析式，計(jì)算并判斷即可得出答案.

(3)根據(jù)勾股定理可得出BCP是直角三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類討論，得出點(diǎn)

M的坐標(biāo).

【詳解】解：(1)rA、B是關(guān)于直線X=T軸對稱圖形的兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，

.??點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為一1一[1一(-1)]=-3,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(—3,0)；

.f0="+0+3[a=—\

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入y=or?+法+3可列方程組：〈八解得,

0=9。-3b+3[b=-2

二拋物線的表達(dá)式為：y=-x2-2x+3.

(2)1?點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，直線x=—l為拋物線的對稱軸，

二點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1,縱坐標(biāo)為y=-f—2x+3=—(—l)2—2x(—1)+3=4,

.??點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,4),直線BC的解析式為y=fcr+b,將B、C的值代入可列方程:

f3=0+bk二i

八》，解得〈,BC與對稱軸交于點(diǎn)Q,.,.當(dāng)X=-1,y=x+3=-l+3=2,

0=—3k+bb=3

.??點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-1,2),PQ=4—2=2,p是點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得至I」的,

P'Q=PQ=2,過p作P0平行于x軸，PD交拋物線對稱軸于點(diǎn)D,如圖:

?.在放QZ5P'中，NP'QD=180°—120°=60°,P'Q=2,QD=l,DP'=6

???點(diǎn)P橫坐標(biāo)為點(diǎn)D橫坐標(biāo)加即:-1+73，

點(diǎn)P'縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)減。Q,即：2—1=1，

將尸'的橫坐標(biāo)值代入y=-Y-2》+3,y=—(-1尸一2x(―1)+3=1,

0'的坐標(biāo)符合拋物線表達(dá)式，二P'在拋物線上.

(3)?，?BP2=[-3-(-1)]2+(0-4)2=20,PC2=(-1-0)2+(4-3)2=2,

BC2=(-3-0)2+(0-3)2=18，20=18+2,BP2=PC2+BC2>

8cp是直角三角形，ZBCP=90°,BC=3金,PC=72)

..M是x軸上一點(diǎn)，ZCOM=90°,若ZOCM=NCBP，則OCM^CBP，

CB_3y/2

PC=3.此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（1,0）或（一1,0）,

~OM

PCCPV21

若NOCW=NCPB，則OCMsCPB，

此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（9,0）或（一9,（））,

???綜上，點(diǎn)M存在，點(diǎn)”坐標(biāo)為（1,0）或（9,0）或（—1,0）或（—9,0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，運(yùn)

用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵.

易錯(cuò)題03利用圖像求不等式的解集和方程（組）的解，利用

圖像性質(zhì)確定增減性。

1.（2020?上海中考真題）如果函數(shù)丫=卜乂（七0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么y的值隨x

的值增大而.（填"增大"或"減小"）

【答案】減小

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：函數(shù)y=kx（kw0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么y的值隨x的值增大而

減小，

故答案為：減小.

【點(diǎn)睛】此題考查的是判斷正比例函數(shù)的增減性，掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

變式練習(xí)

2.（2021?上海長寧區(qū)?九年級(jí)一模）已知拋物線y=f_2x+C經(jīng)過點(diǎn)A（-1,y,）和B（2,y2）,

比較為與力的大小：y%（選擇""或"V"或"="填入空格）?

【答案】〉

【分析】把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入已知拋物線解析式，并分別求得y與丫?的值，然后比

較它們的大小即可.

【詳解】；拋物線y=-—2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（-l，x）和8（2,%），==3+c,y2=c,

%-%=3＞0，M＞必，故答案為：＞.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，且都滿

足函數(shù)關(guān)系式.

易錯(cuò)題04利用函數(shù)模型解實(shí)際問題。

L（2021?上海黃浦區(qū)?）如圖，一個(gè)管道的截面圖，其內(nèi)徑（即內(nèi)圓半徑）為10分米，管

壁厚為x分米，假設(shè)該管道的截面（陰影）面積為y平方分米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式

是.（不必寫定義域）

【答案】y-KX1+20^x

【分析】根據(jù)陰影部分的面積等于大圓面積減去小圓面積即可求出結(jié)論.

【詳解】解：由題意可得:丫=乃（1（）+x）2—1。2萬=乃12+2（）%X,故答案為：）=萬尤2+20萬X.

【點(diǎn)睛】此題考查的是求函數(shù)關(guān)系式，掌握環(huán)形面積=大圓面積一小圓面積是解題關(guān)鍵.

2.（2020?上海虹口區(qū)?九年級(jí)二模）某公司市場營銷部的個(gè)人月收入y（元）與其每月的銷

售量x（件）成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，根據(jù)圖中給出的信息可知，當(dāng)營銷人員的

月銷售量為0件時(shí)，他的月收入是元.

【答案】3000

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后令x=0,求出相應(yīng)

的y的值，即可解答本題.

\0Qk+b=S000

【詳解】解：設(shè)丫與x的函數(shù)關(guān)系式為丫;10^^《200女+0_13000

k=50

解得：1,1即y與X的函數(shù)關(guān)系式為y=50x+3000,

b=3000

當(dāng)*=0時(shí)-，y=3000,即當(dāng)營銷人員的月銷售量為0件時(shí).，他的月收入是3000元，

故答案為：3000.

【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)圖像的實(shí)際應(yīng)用，難度一般，屬于常考題型.

變式練習(xí)

3.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）某同學(xué)計(jì)劃購買一雙運(yùn)動(dòng)鞋，在網(wǎng)站上瀏覽時(shí)發(fā)現(xiàn)如表所

示的男鞋尺碼對照表.

中碼CHN220225230250255260

美碼USA4.555.57.588.5

如果美碼（y）與中碼（x）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

【答案】y=O.lx-17.5

【分析】設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,利用待定系數(shù)法求解析式.

【詳解】解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b.

’5225k+bZ=0.1

由題意可得:<，解得:

8255k+b%=-17.5

?.y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=O.lx-17.5,故答案為:y=O.lx-17.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解析式，理解題意是本題的關(guān)鍵.

4.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）某文具店店主到批發(fā)中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，

預(yù)計(jì)購進(jìn)乙品牌文具盒的數(shù)量》（個(gè)）與甲品牌文具盒的數(shù)量X（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖

所示.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不必寫出自變量x的取值范圍）；

（2）該店主用3000元選購了甲品牌的文具盒，用同樣的錢選購乙品牌的文具盒.乙品牌文

具盒的單價(jià)比甲品牌的單價(jià)貴15元，求所選購的甲、乙文具盒的數(shù)量.

【答案】（1）y=-x+300；（2）甲乙文具盒的數(shù)量分別為200個(gè)，100個(gè).

【分析】（1）設(shè)丫=[?<+1）,然后根據(jù)題意利用待定系數(shù)法解答即可;

（2）根據(jù)"單價(jià)=總錢數(shù)+數(shù)量”以及兩種品牌的文具盒的單價(jià)的差列分式方程求解即可.

【詳解】解：（1）設(shè)丫=1^+13,由函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（50,250）,（200,100）,

「50%+人=250[k=-\

，所以y關(guān)于X的函數(shù)解析式為y=-x+300：

20（U+b=100/?=300

（2）設(shè)甲品牌文具盒的數(shù)量X個(gè)，

,力30003000

由題屈在」-----------------15,解得Xi=200,X2=-300,

-x+300x

經(jīng)檢驗(yàn)Xi=200是原分式方程的解，X2-300不符題意舍去

則購買乙品牌的文具盒為-200+300=100個(gè).答：選購的甲、乙文具盒分別為200個(gè)、100個(gè).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式以及分式方程的應(yīng)用，掌握運(yùn)用待定系數(shù)求一次

函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2021?上海九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是某型號(hào)新能源純電動(dòng)汽車充滿電后，蓄電池剩余

電量y（千瓦時(shí)）關(guān)于已行駛路程x（千米）的函數(shù)圖象.

（1）根據(jù)函數(shù)圖象，蓄電池剩余電量為35千瓦時(shí)汽車已經(jīng)行駛的路程為一千米.當(dāng)

0VXV150時(shí)，消耗1千瓦時(shí)的電量，汽車能行駛的路程為千米.

（2）當(dāng)1504x00時(shí)，求y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算當(dāng)汽車已行駛160千米時(shí)，蓄

電池的剩余電量.

y（千瓦時(shí)）

150200x（千米）

【答案】（1）150,6；（2）y=-gx+lio,30

【分析】（1）由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時(shí)時(shí)汽車已行駛了150千米，據(jù)此即

可求出1千瓦時(shí)的電量汽車能行駛的路程：

（2）運(yùn)用待定系數(shù)法求出了關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，再把x=160代入即可求出當(dāng)汽車已行駛

160T米時(shí)，蓄電池的剩余電量.

【詳解】解：（1）由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時(shí)時(shí)汽車已行駛了150千米.

1千瓦時(shí)的電量汽車能行駛的路程為：J"=6（千米），故答案為：150；6.

60-35

（2）設(shè)當(dāng)15（）＜xW200時(shí)，y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b（kxO）,

由圖可知,函數(shù)圖象過點(diǎn)（150,35）,（200,10）,

150)+b=35k---1

得，解得2,,y=--x+110,當(dāng)x=160時(shí)，y=-80+110=30

200k+8=10b=1102

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵：（1）熟練運(yùn)用待定系數(shù)法就解析式；（2）

找出剩余油量相同時(shí)行駛的距離.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該類問題應(yīng)結(jié)合圖形，

理解圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)代表的意義.

6.（2019?上海市上外民辦勁松中學(xué)）《中華人民共和國個(gè)人所得稅》規(guī)定，公民月工資、

薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.此項(xiàng)稅款

按下表累進(jìn)計(jì)算：

全月應(yīng)稅所得額稅率

不超過500元的部分5%

超過500元至2000元的部分10%

超過2000元至5000元的部分15%

（納稅款=應(yīng)納稅所得額X對應(yīng)稅率）

（1）設(shè)某甲的月工資、薪金所得為X元（1300<xV2800）,需繳交的所得稅款為y元，試

寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若某乙一月份應(yīng)繳所得稅款95元，那么他一月份的工資、薪金是多少元？

【答案】（l）y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=0.lxT05；

（2）他一月份的工資、薪金是2000元.

【分析】（1）由題意，甲得到的月工資、薪金所得為x元（1300〈水2800）,則對應(yīng)的納稅區(qū)

間為：1300-800=500；2800-800=2000,即對應(yīng)的納稅款區(qū)間為：超過500元至2000元的部

分，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將稅款95元代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式中即可得出一月份的工資、薪金.

【詳解】解：由題意

（1）???甲得到的月工資、薪金所得為1300?2800元，則對應(yīng)的納稅范圍為：1300-800=

500；2800-800=2000,即對應(yīng)的納稅款區(qū)間為：超過500元至2000元的部分

Ay=500X5%+（x-800-500）X10%=0.lx-105

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=0.lx-105

（2）某乙一月份應(yīng)繳所得稅款95元，由（1）關(guān)系式可知，令y=95.得95=0.lx-105,

解得x=2000,滿足所對應(yīng)的納稅區(qū)間.

即他一月份的工資、薪金是2000元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，需能夠根據(jù)實(shí)際關(guān)系列出表達(dá)式.

7.（2018?上海金山區(qū)?九年級(jí)二模）九年級(jí)學(xué)生到距離學(xué)校6千米的百花公園去春游，一

部分學(xué)生步行前往，20分鐘后另一部分學(xué)生騎自行車前往，設(shè)》(分鐘)為步行前往的學(xué)

生離開學(xué)校所走的時(shí)間，步行學(xué)生走的路程為y千米，騎自行車學(xué)生騎行的路程為為千米，

X、%關(guān)于X的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)求為關(guān)于X的函數(shù)解析式；

(2)步行的學(xué)生和騎自行車的學(xué)生誰先到達(dá)百花公園，先到了幾分鐘？

【答案】%=0.2片4：(2)騎自行車的學(xué)生先到達(dá)百花公園，先到了10分鐘.

【分析】

(1)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得為關(guān)于%的函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和題意可以分別求得步行學(xué)生和騎自行車學(xué)生到達(dá)百花公園的

時(shí)間，從而可以解答本題.

【詳解】

解：(1)設(shè)為關(guān)于*的函數(shù)解析式是%=履+力，

]20%+。=0伙=0.2

<，得《，

[40%+0=4[b=-4

即為關(guān)于%的函數(shù)解析式是y2=0.2x-4；

(2)由圖象可知,

步行的學(xué)生的速度為：4+40=0.1千米/分鐘，

二步行同學(xué)到達(dá)百花公園的時(shí)間為：6+0.1=60（分鐘），

當(dāng)為=8時(shí)，6=0.2x-4，得第=50,

60-50=10,

答：騎自行車的學(xué)生先到達(dá)百花公園，先到了10分鐘.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答.

8.（2018?上海奉賢區(qū)?九年級(jí)二模）某學(xué)校要印刷一批藝術(shù)節(jié)的宣傳資料，在需要支付制

版費(fèi)100元和每份資料0.3元印刷費(fèi)的前提下，甲、乙兩個(gè)印刷廠分別提出了不同的優(yōu)惠條

件.甲印刷廠提出：所有資料的印刷費(fèi)可按9折收費(fèi)；乙印刷廠提出：凡印刷數(shù)量超過200

份的，超過部分的印刷費(fèi)可按8折收費(fèi).

（1）設(shè)該學(xué)校需要印刷藝術(shù)節(jié)的宣傳資料x份，支付甲印刷廠的費(fèi)用為y元，寫出y關(guān)于

x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（2）如果該學(xué)校需要印刷藝術(shù)節(jié)的宣傳資料600份，那么應(yīng)該選擇哪家印刷廠比較優(yōu)惠？

【答案】（1）y甲=0.27x+100（x>0）；（2）選擇乙印刷廠比較優(yōu)惠.

【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出兩廠印刷廠的收費(fèi)y甲（元）關(guān)于印刷數(shù)量x（份）之間的

函數(shù)關(guān)系式：

（2）分別將兩廠的印刷費(fèi)用等于2000元，分別解得兩廠印刷的份數(shù)即可.

【詳解】（D根據(jù)題意可知：

甲印刷廠的收費(fèi)y甲=0.3xX0.9+100=0.27A+100,y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y甲=0.27^-100（%

>0）；

（2）由題意可得：該學(xué)校需要印刷藝術(shù)節(jié)的宣傳資料600份，在甲印刷廠需要花費(fèi)：

027X600+100=262（元）,在乙印刷廠需要花費(fèi)：100+200X0.3+0.3X0.8X（600-200）

=256（元）.

；256<262,...如果該學(xué)校需要印刷藝術(shù)節(jié)的宣傳資料600份，那么應(yīng)該選擇乙印刷廠比較

優(yōu)惠.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中，要注意自變量的取

值范圍還必須使實(shí)際問題有意義，屬于中檔題.

9.(2018?上海靜安區(qū)?九年級(jí)二模)今年本市蜜桔大豐收，某水果商銷售一種蜜桔，成本

價(jià)為10元/千克，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于18

元/千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量丁(千克)與銷售價(jià)X(元/千克)之間的函

數(shù)關(guān)系如圖所示：

(1)求V與％之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？

【答案】(1)y=-2x+60(10<%<18)；(2)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤,

銷售價(jià)應(yīng)定為15元.

【分析】(1)觀察函數(shù)圖象找出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)

系式；

(2)根據(jù)總利潤=每千克的銷售利潤X銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之

取符合題意值即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)設(shè)y與X之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=Ax+b(%H0),

10左+。=40%=—2

把(10,40),(18,24)代入得：＜解得:

18%+8=246=60

，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式＞=-2x+60（10WxW18）；

（2）根據(jù)題意得：（x-10）（-2x+60）=150,

整理得：%2-40^+375=0-

解得：玉=15,々=25（不合題意，舍去）.

答：該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價(jià)應(yīng)定為15元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)點(diǎn)

的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程.

易錯(cuò)題05數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，還應(yīng)注意結(jié)合圖像性質(zhì)

解題。函數(shù)圖象與圖形結(jié)合學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形分解為簡單圖形的方法,

圖形為圖像提供數(shù)據(jù)或者圖像為圖形提供數(shù)據(jù)。

1.（2021?上海徐匯區(qū)?九年級(jí)一模）已知二次函數(shù);；=必2_2辦+。+4（。＜0）的大致圖像

如圖所示，這個(gè)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

（1）求該函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸及點(diǎn)。的坐標(biāo)：

（2）設(shè)該函數(shù)圖像與y軸正半軸交于點(diǎn)C,與X軸正半軸交于點(diǎn)8,圖像的對稱軸與X軸

交于點(diǎn)A，如果DC±BC,tanZDBC=^,求該二次函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M在第一象限該函數(shù)的圖像上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為

25

如果AACM的面積是一，求點(diǎn)”的坐標(biāo).

【答案】(1)拋物線開口向下，對稱軸為直線X=l,頂點(diǎn)0(1,4)；(2)y=-x2+2x+3-.

(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系即可判斷開口方向，對稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)D作DE_Ly軸，即可判斷出△CDE-△BC。，然后結(jié)合tanZDBC=',可推出

CD1

—從而通過相似三角形的性質(zhì)列式求解。，即可得出解析式；

BC3

(3)首先根據(jù)M的坐標(biāo)求出直線CM的解析式，從而得到直線CM與對稱軸的交點(diǎn)P的坐

標(biāo)，進(jìn)而利用割補(bǔ)法建立關(guān)于AACM面積的等式，求解出t的值即可.

—2Q

【詳解】(1)VavO,??.拋物線開口向下，根據(jù)對稱軸公式可得：x=-=1,

-2a

當(dāng)x=1時(shí)，y=4,則頂點(diǎn)0(1,4)拋物線開口向下，對稱軸為直線％=1,頂點(diǎn)D(l,4)；

(2)如圖所示，作DE_Ly軸，由(1)可知頂點(diǎn)0(1,4),則OA=ED=1,DC_LBC,

ZDCE+ZBCO=90°,又ZDCE+ZCDE=90°,ZCDE=ZBCO,：.目CDE-△BCO,

EDCDCD

,tanZDBC=-,

OCBC3BC一3

當(dāng)x=0時(shí)，y=a+4,即點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0,。+4);0C=a+4,則：-

a+43

解得：。=一