高中數(shù)學(xué) 平行四邊形的存在性問(wèn)題

專題02平行四邊形的存在性問(wèn)題解題策略專題攻略解平行四邊形的存在性問(wèn)題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫(huà)圖，第三步計(jì)算．難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算又好又快．如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過(guò)每個(gè)點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)．如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，靈活運(yùn)用坐標(biāo)平移，可以使得計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)便．根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用坐標(biāo)對(duì)稱，可以使得解題簡(jiǎn)便．例題解析例1．如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，如果以點(diǎn)P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．圖1-1例2．如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝－x2+2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖2-1例3．如圖3-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．圖3-1例4．如圖4-1，已知拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,－3)，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖4-1例5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且CD＝4AC．設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖5-1例6．如圖6-1，將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2．現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．在平移過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖6-1例7．如圖7-1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝60°，E、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，E、G分別在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求證四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形EFGH是矩形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；（3）當(dāng)四邊形EFGH是菱形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．圖7-1例8．如圖8-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)、B(0,3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸正半軸的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足OD＝2OC，連結(jié)DE，以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA．（1）如果平行四邊形DEFA為矩形，求m的值；（2）如果平行四邊形DEFA為菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的值．圖8-1參考答案例1．【解析】P、A、C三點(diǎn)是確定的，過(guò)△PAC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫(huà)對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)D（如圖1-2）．圖1-2由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0,3)，P(－1,4)．由于A(－3,0)C(0,3)，所以P(－1,4)D1(2,7)．由于C(0,3)A(－3,0)，所以P(－1,4)D2(－4,1)．由于P(－1,4)C(0,3)，所以A(－3,0)D3(－2,－1)．我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠(yuǎn)比用解析式構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便多了．例2．【解析】在P、M、A、B四個(gè)點(diǎn)中，A、B是確定的，以AB為分類標(biāo)準(zhǔn)．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如圖2-2，當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PM與AB互相平分，因此點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于AB的中點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2．此時(shí)M(2，3)．②如圖2-3，圖2-4，當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PM//AB，PM＝AB＝4．所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或－4．所以M(4,－5)或(－4,－21)．我們看到，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)是確定的，在解圖2-2時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；在解圖2-3和圖2-4時(shí)，根據(jù)平移先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．圖2-2圖2-3圖2-4例3．【解析】由y＝－x＋4，得A(4,0)，直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45°．在O、A、C、D四個(gè)點(diǎn)中，O、A是確定的，以線段OA為分類標(biāo)準(zhǔn)．如圖3-2，如果OA是菱形的對(duì)角線，那么點(diǎn)C在OA的垂直平分線上，點(diǎn)C(2,2)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,－2)．如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)B(0,4)，那么正方形AOCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4)．如圖3-4，以A為圓心，AO為半徑的圓與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)C和C′，點(diǎn)C和C′向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D和D′．圖3-2圖3-3圖3-4例4．【解析】C(－4,0)、E(0,－3)兩點(diǎn)是確定的，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)－2也是確定的．以CE為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論平行四邊形：①如圖4-2，當(dāng)CE為平行四邊形的邊時(shí)，由于C、E兩點(diǎn)間的水平距離為4，所以M、N兩點(diǎn)間的水平距離也為4，因此點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為－6或2．將x＝－6和x＝2分別代入拋物線的解析式，得M(－6,16)或(2,16)．②如圖4-3，當(dāng)CE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，M為拋物線的頂點(diǎn)，所以M．圖4-2圖4-3例5．【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：①如圖5-2，如果AD為矩形的邊，我們根據(jù)AD//QP，AD＝QP來(lái)兩次平移坐標(biāo)．由于A、D兩點(diǎn)間的水平距離為5，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D兩點(diǎn)間的豎直距離為－5a，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為26a．所以P(1,26a)．根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此時(shí)P．②如圖5-3，如果AD為矩形的對(duì)角線，我們根據(jù)AP//QD，AP＝QD來(lái)兩次平移坐標(biāo)．由于A、P兩點(diǎn)間的水平距離為2，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D兩點(diǎn)間的豎直距離為－8a，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8a．所以P(1,8a)．再根據(jù)AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此時(shí)P．我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系．上面我們根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據(jù)定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形”來(lái)列方程．如圖5-2，如果∠ADP＝90°，那么；如圖5-3，如果∠QAP＝90°，那么．圖5-2圖5-3例6．【解析】沒(méi)有人能精確畫(huà)好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲?，將A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來(lái)（如圖6-2），如果您看到了△MAB和△NED是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，那么平移就簡(jiǎn)單了．如圖6-3，在兩個(gè)等邊三角形平移的過(guò)程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀，點(diǎn)O為對(duì)稱中心．【解法一】如果∠ANE＝90°，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此時(shí)B、O重合（如圖6-4），所以m＝BO＝1．【解法二】如果對(duì)角線MN＝AE，那么OM＝OA，此時(shí)△MAO是等邊三角形．所以等邊三角形MAB與△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．【解法三】在平移的過(guò)程中，、，M，根據(jù)OA2＝OM2列方程(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1．圖6-2圖6-3圖6-4例7．【解析】（1）證明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟練了．（2）平行四邊形EFGH的對(duì)角線FH＝4是確定的，當(dāng)EG＝FH＝4時(shí)，四邊形EFGH是矩形．以FH為直徑畫(huà)圓，你看看，這個(gè)圓與AD有幾個(gè)交點(diǎn)，在哪里？如圖7-2．如圖7-3，當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABGE和四邊形DCGE都是平行四邊形．如圖7-4，當(dāng)E與A重合時(shí)，△ABG與△DCE都是等邊三角形．（3）如果平行四邊形EFGH的對(duì)角線EG與FH互相垂直，那么四邊形EFGH是菱形．過(guò)FH的中點(diǎn)O畫(huà)FH的垂線，EG就產(chǎn)生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此時(shí)AE＝1．又一次說(shuō)明了如果會(huì)畫(huà)圖，答案就在圖形中．圖7-2圖7-3圖7-4圖7-5例8．【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫(huà)示意圖．我們注意到，點(diǎn)A和直線AB（直線l）是確定的．如圖8-2，先畫(huà)x軸，點(diǎn)A和直線l．在直線l上取點(diǎn)E，以AE為對(duì)角線畫(huà)矩形DEFA．如圖8-3，過(guò)點(diǎn)E畫(huà)直線l的垂