2022-2023學年八年級數(shù)學上冊專題1 1 .9 三角形章末重難點突破

專題11.9三角形章末重難點突破

【人教版】

三邊都不相等的三角形

按邊分底和腰不相等的三角形

等腰三角形

等邊三角形

分類

直角三角形

按角分銳角三角形

斜三角形

鈍角三角形

三角形的兩邊之和大于第三邊

三條邊

三角形的兩邊之差小于第三邊

穩(wěn)定性

角平分線三條角平分線交于一點叫內(nèi)心

I與三角形有關(guān)的線段1中線三條中線交于一點叫重心

高線三條高線交于一點叫垂心

三角形的內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和是180。

概念三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角

三角形的外角和為360。

與三角形有關(guān)的角

、三角形的外角出音/三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

性質(zhì)L------------------------------------------

\三角形的一個外角大

I于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角

n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?18(F(n23)

n邊形的外角和為360°(n23)

n邊形的對角線為n(n-3)/2條

每條邊都相等

正n邊形/每個內(nèi)角都相等為[(n-2)?180°]/n內(nèi)23)

、每個外角都相等為36(F/n

(多邊形具有不穩(wěn)定性

物充1^三

【考點1三角形的三邊關(guān)系】

【例1】（2021春?沙坪壩區(qū)校級期末）一個三角形兩邊長分別為3,7,若它的周長是小于16的整數(shù)，則

第三邊的長為（）

A.1B.3C.5D.7

【分析】設(shè)第三邊的長為/,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行解答即可.

【解答】解：設(shè)第三邊的長為/,貝II7-3＜/＜7+3,即

.?.14〈周長〈20,

???它的周長是小于16的整數(shù)，

周長為15,

第三邊長為5,

故選：C.

【變式1-1］（2021春?九江期末）小明現(xiàn)有兩根4c制、9c5的木棒，他想以這兩根木棒為邊釘一個三角形

木框，現(xiàn)從5cm,7cm,9cm,Wcm,\3cm,17cnz的木棒中選擇第三根（木棒不能折斷），則小明有

種選擇方案.

【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差〈第三邊，求得第三邊的取值范圍；再

從中找到符合條件的數(shù)值.

【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三根木棒應(yīng)＞5。"，而＜13cm.故7a〃，9cm,llc/w能滿

足，有三種選擇方案.

故答案是：三.

【變式1-2］（2021春?西城區(qū)校級期中）長度為20厘米的木棍，截成三段，每段長度為整數(shù)厘米，請寫出

一種可以構(gòu)成三角形的截法，此時三段長度分別為9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一），能構(gòu)成

三角形的截法共有8種.（只考慮三段木棍的長度）

【分析】已知三角形的周長，分別假設(shè)三角形的最長邊，從而利用三角形三邊關(guān)系進行驗證即可求得不

同的截法.

【解答】解：???木棍的長度為20厘米，即三角形的周長為20厘米，

...①當三角形的最長邊為9厘米時，有4種截法，分別是：9厘米，9厘米，2厘米；9厘米，8厘米，3

厘米；9厘米，7厘米，4厘米；9厘米，6厘米，5厘米；

②當三角形的最長邊為8厘米時，有3種截法，分別是：8厘米，8厘米，4厘米；8厘米，7厘米，5厘

米；8厘米，6厘米，6厘米：

③當三角形的最長邊為7厘米時，有1種截法，是：7厘米，7厘米，6厘米；

能構(gòu)成三角形的截法共有4+3+1=8種.

故答案為：9厘米，9厘米，2厘米（答案不唯一）；8.

【變式1-3］（2021春?嵩縣期末）如圖所示，力是△ABC的邊4c上任意一點（不含端點），連結(jié)8。，請

判斷A8+BC+AC與2B。的大小關(guān)系，并說明理由.

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可求解.

【解答】解：AB+BC+AO2BD.理由如下：

在△A8O中，AB+AD>BD,

在△BCD中，BC+CD>BD,

：.AB+AD+BC+CD>2BD,

即AB+BC+AO2BD.

【考點2三角形的穩(wěn)定性】

【例2】（2021春?長春期末）下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（)

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行解答即可.

【解答】解：4、圖中沒有三角形，不具有穩(wěn)定性，故此選項不符合題意：

B、圖中含有四邊形，不具有穩(wěn)定性，故此選項不符合題意；

C、圖中含有四邊形，不具有穩(wěn)定性，故此選項不符合題意；

。、圖中均是三角形，具有穩(wěn)定性，故此選項符合題意；

故選：D.

【變式2-1］（2021春?道里區(qū)期末）工程師設(shè)計屋頂時通常把鋼架屋頂設(shè)計成三角形，這樣做應(yīng)用的數(shù)學

原理是.

【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可.

【解答】解：工程師設(shè)計屋頂時通常把鋼架屋頂設(shè)計成三角形是利用三角形具有穩(wěn)定性，

故答案為：三角形具有穩(wěn)定性.

【變式2-2］（2021春?洛江區(qū)期末）要使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，至少要再釘2根木條.

C

【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會

改變.

【解答】解：再釘上兩根木條，就可以使五邊形分成三個三角形.故至少要再釘兩根木條.

【變式2-3］（2021秋?岳池縣期末）如圖這是一個由七根長度相等木條釘成的七邊形木框.為使其穩(wěn)定，

請用四根木條（長短不限）將這個木框固定不變形，請你設(shè)計出三種方案.

方案一方案二方案三

【分析】將七邊形分成三角形，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進行畫圖即可.

【解答】解：三種方案如圖所示：

【例3】（2021春?遷安市期末）如圖，在AABC中，AD,AE分別是邊CB上的中線和高，AE=6cm,

ABD=\2cm2,則BC的長是（）

【分析】由AC為CB邊上的中線可得SAABC=25AABO=24a”2,再根據(jù)三角形ABC的面積計算公式［BC?

AE=24,可解出BC的長.

【解答】解：為C8邊上的中線，

:.S/\ABC=2s△ABQ=24cm2,

即工BC.AE=24,

2

又AE=6cmf

解得：BC=8cm,

故選：C.

【變式3?1】（2021春?貴陽期末）如圖，AO為△ABC的中線，BE為△A3。的中線.若△ABC的面積為

60,BD=5,則△8DE的8。邊上的高是()

【分析】由中線AO推出△A3。的面積，再由中線8E推出的面積，最后結(jié)合80=5求出邊

上的高.

【解答】解：是△A8C的中線，5AABC=60,

',-S^ABD=*SAABC=*x60=30,

8E是△ABO的中線，

:.S&BDE=：SAABD=x30=15,

設(shè)5。邊上的高為〃，80=5,

11

-BD-h=~x5X/?=15,

22

故選：D.

【變式3-2](2021春?寬城區(qū)期末)如圖，△ABC的面積為30,A。是AABC的中線，BE是△A3。的中

線，EF上BC于點、F.

(1)求aBOE的面積.

(2)若EF=5,求CQ的長.

11

【分析】(1)由中線性質(zhì)可得S^ABD=2s△A8C，S&BED=金＞ABD,即可得答案；

1155

(2)由三角形面積公式S△曲=加0,環(huán)，即三=5加可得80=3,從而由中線性質(zhì)可得。=5。

=3.

【解答】解：(1)是8c的中線，

?,-S&ABD=^SMBC=/x30=15，

是△A8O的中線，

??SABED=2sZ\AB0=3X15=.

(2)'：EFLBC,

1155

:.S^BDE=5BD?EF,即——=-BD,

222

：.BD=3,

是△ABC的中線，

：.CD=BD^3.

【變式3-3](2021春?江都區(qū)期末)如圖，在△ABC中，NA=NBCD,CDLAB于點D,BE平分N4BC

交CD、CA于點F、E.

(1)求/ACB的度數(shù)；

(2)說明：ZCEF=ZCFE.

(3)若AC=3CE、AB=4BD,△ABC、/XCEF.△BDF的面積分別表示為SAABC、SKEF、SABDF,且S

△ABC=36,則SACEF-S/\B￡>F=(僅填結(jié)果).

【分析】（1）由CQ_LAB得/A+NAC￡）=90°,結(jié)合NA=NBCQ,從而得NBCQ+NACQ=90°,即

ZACB=90a；

（2）由（1）可知乙4c3=90°,則有NCEF=90°-NCBE,再由COJ_A8得N8FD=90°-NDBF,

結(jié)合BE是NA8c的平分線，有NCBE=NDBF,從而有NCEB=NBFD,最后由對頂角/CFE=/8FQ,

即可求解；

（3）由已知條件可得：CE=%C,BD=；BD,由的面積為36,可得：。=焉，?C=^|,再由

SACEF-S&BDF=SABCE-SABCF-(S&BCD-SABCF).整理得S&CEF-S&BDF=S&BCE-SABCD,結(jié)合三角形

的面積公式即可求解.

【解答】解：(1)'：CD±AB,

???NA+NAO)=90°,

???NA=NBC。，

AZBCD+ZACD=90°,

即NAC8=90°；

(2)由(1)可知NAC8=90°,

：.ZCEF=90Q-NCBE,

u：CDLAB,

：.ZBFD=90°-/DBF,

〈BE是/ABC的平分線，

：.NCBE=NDBF,

:.NCEB=NBFD,

?：NCFE=/BFD,

:?NCEF=NCFE；

(3)VAC=3CE>A8=48O,

：.CE=^AC,BD=%B,

*/S^ABC=36,/XABC是直角三角形，

179

：.-AB-CD=36,得：CD=著，

179

-AC*BC=36,得：BC=浣,

??,由(1)可得△BCE,△BOb是直角三角形，

:.SdCEF-SABDF=S&BCE-S^BCF-(S^BCD-S2BCF),

整理得：S^CEF-S^BDF—S^BCE-S8BCD

11

=^BC-CE-^BD-CD

1721"1I4。72

=2、而x^AC-zX/Bx而

=12-9

=3.

故答案為：3.

【考點4三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】

【例4】（2021春?道里區(qū)期末）如圖，在△ABC中，。是4c上一點，E是AB上一點，BD,CE相交于點

F,ZA=60°,NA8O=20°,ZACE=35°,則NEFQ的度數(shù)是（）

;

A.115°B.120°C.135°D.105°

【分析】由的內(nèi)角和為180°,可以求NAO8,由△AEC內(nèi)角和為180°,可以求ZAEC,再根

據(jù)四邊形AEFD內(nèi)角和為360°,可求NEED

【解答】解：在△AEC中，ZA+ZACE+ZAEC=\S0°,

：.Z/l￡C=180o-ZA-ZACE=180°-60°-35°=85°,

在△ABQ中NA+NA8Q+NADB=180°,

.?./AZ）B=180°-/A-NABO=180°-60°-20°=100°,

在四邊形中，ZA+ZAEC+ZADB+2ZEFD^360e,

AZEFD=360°-ZX-ZAEC-ZADB=360°-60°-85°-100°=115°,

故選：A.

【變式4-1］（2021春?高州市期末）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的4c邊上選取一點M將紙片沿

著BN對折一次使得點A落在A'處后，再將紙片沿著8A'對折一次，使得點C落在BN上的C'處，

已知NCMB=68°,/A=18°,則原三角形的/C的度數(shù)為（）

C.75°D.72°

【分析】己知乙4=18°,欲求ZC,需求NA8c.如圖，由題意得：△ABVgZWBN,XCBN9叢

CBM,得N1=/2=N3,ZCMB=ZCMB=68°,則需求/3.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得/3+/C

=112°,NA8C+NC+18°=180°,即3N3+NC=162°,故求得N3=25°

【解答】解：如圖，

由題意得：BN,/\CBN^/XCBM.

二/1=/2,/2=/3,/CMB=NCMB=6S°.

N1=N2=N3.

ZABC=3Z3.

又???N3+NC+NCM8=180°,

???N3+NC=1800-NCM8=180°-68°=112°.

又???NA+NABC+NC=180°,

A180+2N3+(Z3+ZC)=180°.

/.180+2/3+112°=180°.

???N3=25°.

.\ZC=112°-Z3=112°-25°=87°.

故選：A.

【變式4-2](2021春?興隆縣期末)在△ABC中，ZBAC=90°,ZACB=60°,點P為8C上任意一點,

可以與C重合但不與點3重合，A。平分NB4P,5。平分NA3P.

(1)當點尸與。重合時，求NADB的度數(shù)；

(2)當AP,5c時,直接寫出NAO3的度數(shù)；

(3)直接寫出NAO3的取值范圍.

D

B

PC

【分析】(1)由三角形的內(nèi)角和定理求得NABC的度數(shù)，利用角平分線的定義可求解NA8O的度數(shù)，

結(jié)合點P與C重合時/BAP=90°,利用角平分線的定義可求解/84O的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角定

理可求解

(2)由當8c可得NAP8=90°,利用角平分線的定義可求解NA8Q,N8AO的度數(shù)，再利用三角

形的內(nèi)角定理可求解；

(3)先利用三角形的內(nèi)角和定理可得/ADB=165°-ZBAD,利用戶點分別于8點，C點重合時分別

求解的度數(shù)，進而可求解的取值范圍.

【解答】解：(1)'：ZBAC=90°,ZC=60°,

...NA8C=180°-90°-60°=30°,

平分乙48C,

AZABD=I5a,

當點P與點C重合時，NBAP=N84C=90°,

：A￡＞平分/54尸，

：.ZBAD=45°,

：.ZADB^\S00-15°-45°=120°；

(2)當AP1.8C時，ZAPB=90°,

：.ZBAP=\S00-90°-30°=60°,

平分NA8C,

.../A8D=15°,

,：AD平分N8AP,

：.ZBAD=30°,

/.1800-15°-30°=135°；

(3)VZABD=15°,

ZADB=180°-ABAD-15°=165°-/BAD,

當P點與8點重合時，ZBAD=O0,

：.ZADB=165°,

當P點與C點重合時，ZBAD=45°,

：.ZADB=\20°,

120°^ZAZ)B<165°.

【變式4-3](2021春?鐵西區(qū)期末)在△ABC中，點。，E分別在邊AC,8c上，點尸是邊A8上的一個

動點，

(1)如圖，若NACB=90°,

①當NDPE=75°時，求NAOP+/8EP的度數(shù)；

②當/￡)PE=60°時，則N4OP+/8EP=°；

(2)若當NOPE=〃時，請直接用含機，"的式子表示NAOP+NBEP的度數(shù).

【分析】(1)①由三角形的內(nèi)角和定理可得：/A+/B=180°-NC=90°,NA+/APO+NAOP=180°,

ZB+ZBPE+ZBEP=}80a,結(jié)合/4PC+/BPE=180°-NQPE=105°,從而可求得/AOP+N8EP

的度數(shù)；

②根據(jù)①的方式進行求解即可；

(2)結(jié)合(1)的過程，進行求解即可.

【解答】解:(1)?VZACB=90°,

/.ZA+ZB=180o-NC=90°,

VZA+ZAPD+ZADP=]S0°,NB+NBPE+NBEP=180°,乙4PO+NBPE=180°-NDPE=105°,

AZA+ZAPD+ZADP+ZB+ZBPE+ZBEP^\80Q+180°,

(Z-4+ZB)+(ZAPD+ZBPE)+(NAOP+NBEP)=360°,

900+105°+(NADP+NBEP)=360°,

解得：ZADP+ZBEP^\65°；

②同理①可得：ZAPD+ZBPE^]S0°-/DPE=120°,

可求得：NADP+NBEP=150。；

故答案為：150；

(2)?VZACB=ni,

AZA+ZB=180°-/??,

VZA+ZAPD+ZADP=180°,ZB+ZBPE+ZBEP=180°,ZAPD+ZBPE=180°-ZDPE=180°-

n,

：.ZA+ZAPD+ZADP+ZB+ZBPE+ZBEP^\SO°+180°,

(ZA+ZB)+QAPD+NBPE)+(NADP+NBEP)=360°,

180°-m+1800-n+(ZADP+ZBEP)=360°,

解得；NADP+NBEP=m+n.

【考點5直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用】

【例5】如圖，AB1BC,BCLCD,ACLBD,垂足為尸，如果NA=a,那么NA8P和NPCQ分別等于多少？

【分析】在直角△ABP中,根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得NA8P=90°-ZA=90°-a；利用同角的

余角相等可得NPCQ=90°-ZACB=ZA=a.

【解答】W：'JAC^BD,

，/APB=90°,

/.ZABP=900-ZA=90°-a；

,：AB±BC,BCLCD,

：.NABC=NBCD=90°

AZPCD=90°-ZACB=ZA=a.

【變式5-1］如圖，ZVIBC中，ADLBC,CEVAB,垂足分別為￡)、E,AD,CE交于點H,已知/B=48°,

ZBAC=72°,求/C4O與/￡>HE的度數(shù).

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出NBA。，再根據(jù)NCAO=NBAC-NBA。代入數(shù)據(jù)計算即可得

解；然后根據(jù)三角形的個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得計算即可

得解.

【解答】解：?.?AO_LBC,

：.ZADB^90°,

：.ZBAD=90°-ZB=90°-48°=42°,

：.ZCAD=ZBAC-ZBAD=30°,

,：CELAB,

.../AEC=90°,

由三角形的外角性質(zhì)得，NDHE=NBAD+NAEH=42°+90°=132°.

【變式5-2](1)如圖①，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為￡>,/ACD與有什么關(guān)

系？為什么？

(2)如圖②，在RtZL48C中，ZC=90°,。、E分別在AC,AB±,且NAOE=NB,判斷△4OE的

形狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在Rtz^ABC和中，NC=90°,ZE=90°,AB_LB￡>,點C,B,E在同一直線

上，NA與NO有什么關(guān)系？為什么？

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出/48+乙4=/8+/。。8=90°,再解答即可;

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出/4。耳/4=//1+/8=90°,再解答即可；

（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出乙48。+/4=/4配'+/。8￡=/。8比/。=90°,再解答即可.

【解答】解：（1）ZACD^ZB,理由如下：

\?在RtZ\48C中，ZACB=90°，CDLAB,

：.ZACD+ZDCB=ZB+ZDCB=90°,

：.ZACD=ZB；

（2）△ADE是直角三角形.

?在RtZiABC中，ZC=90°,。、E分別在AC,AB上，且NAOE=NB,乙4為公共角，

.?./AE￡>=/4CB=90°,

...△AOE是直角三角新；

（3）ZA+ZD=90°.

;在Rt/XABC和RtZ\OBE中，NC=90°,Z￡=90",ABLBD,

：.ZABC+ZA^ZABC+ZDBE^ZDBE+ZD=900,

二NA+N￡>=90°.

【變式5-3]（2021春?興化市期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AE平分NC4B,CD±AB,AE、

CD相交于點F.

（1）若/OCB=50°,求/CEF的度數(shù)；

（2）求證：ZCEF=ZCFE.

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/OC8+NB=90°,ZCAB+ZB=90°,進而得到NCA8=/

DCB,根據(jù)角平分線的定義計算即可；

（2）根據(jù)角平分線的定義得到/8AE=/CAE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到/CEF=/AFC,根據(jù)對頂

角相等證明結(jié)論.

【解答】（1）解：?.?CO_L48,

：.ZDCB+ZB=90Q,

VZACB=90°,

:.NCAB+NB=90°,

：.ZCAB=ZDCB=50°,

平分/C48,

：.ZCAE=^ZCAB=25°,

；.NCEF=90°-NC4E=65°；

（2）證明：平分NC4B,

:.NBAE=NCAE,

VZCAE+ZCEF=90°,NRAE+/4F￡>=90°,

:.NCEF=NAFD,

'：ZCFE=NAFD,

：.ZCEF^ZCFE.

【考點6三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】

【例6】（2021春?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BP平分NABC,AP平分NNAC,CP平分△ABC的

外角/ACM,連接AP,若N8PC=40°,則/NA尸的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)和角平分線的定義解答即可.

【解答】解：：8P平分/ABC,CP平分△4BC的外角/ACM,

：.ZPCM=^zACM,ZPBC=^Z-ABC,

/ACM=ZABC+ZBAC,NPCM=/PBC+/BPC,

111

???ZPCM=|ZL4BC+Z-BAC=專乙ABC+N8PC,

.?.ZBPC=izBAC=40°，

：.ZBAC=80°,

???NN4C=100°,

：.ZNAP=50°,

故選：c.

【變式6-1](2021春?曲周縣期末)如圖，在△ABC中，NBAC=48°,點/是NA8C,NACB的平分線

的交點.

(1)ZBIC=.

(2)若點E是內(nèi)角/ABC、外角/AC￡＞的平分線的交點，則/BEC與/區(qū)4c的數(shù)量關(guān)系為；

(3)在(2)的條件下，當N4CB=時，CEHAB.

【分析】(1)想辦法求出//8C+//CB即可解決問題.

(2)設(shè)/ACE=NECG=x,NAB/=NIBC=y,利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組即可解決問題.

(3)利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：(1)：/A=48°,

ZABC+ZACB=]SOa-48°=132°,

?.?點/是兩角NA8C、NACB的平分線的交點，

AZIBC+ZICB^|(NABC+/ACB)=66°,

AZB/C=180°-66°=114°.

故答案為114。.

(2)設(shè)/4CE=/ECG=x,NABI=N1BC=y,

：.2x=2y+ZBAC?,

x=y+ZBEC?,

①+2-②可得/BEC=|ZBAC,

故答案為：ZBEC=^ZBAC.

(3)當NACB=84°時，CE//AB,

理由：'：CE//AB,

：.ZECA=ZA=4S°,

.../ECG=/EC4=/A8C=48°,

...NACB=180°-48°-48°=84°

故答案為84°.

【變式6-2](2021春?沙坪壩區(qū)期中)如圖，CE是△ABC的外角/ACO的平分線，且CE交84的延長線

于點E.

(1)若NB=35°,ZE=25°,求/BAC的度數(shù)；

(2)證明：/BAC=NB+2NE.

【分析】(1)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出NEC。，根據(jù)角平分線的定義求出NACE,再根據(jù)三角形的外

角性質(zhì)計算，得到答案；

(2)根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計算，證明結(jié)論.

【解答】(1)解：VZff=35°,ZE=25",

/.ZECD=ZB+ZE=60°,

平分/AC。，

AZACE=ZECD=60<,,

AZBAC=ZACE+ZE=S5°；

(2)證明：平分NAC￡),

/./ECD=ZACE,

"：ZBAC=ZE+ZACE,

NBAC=NE+NECD,

,：ZECD=ZB+ZE,

：.ZBAC^ZE+ZB+ZE,

：.ZBAC=2ZE+ZH.

【變式6-3]（2021春?寬城區(qū)期末）如圖，在AABC中，點E是邊AC上一點，ZAEB=ZABC.

（1）如圖1,作/8AC的平分線交CB、BE于D、F兩點.求證：ZEFD^ZADC.

（2）如圖2,作△ABC的外角/BAG的平分線，交CB的延長線于點力，延長BE、DA交于點F,試探

究（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

圖1圖2

【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得/BAO=ND4C,再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得

DAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,進而得到/￡尸。=NAOC；

（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NBAO=/D4G,再根據(jù)等量代換可得/以￡=/84Z）,然后再根據(jù)

內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得NEFZ）=NAE8-/必后，ZADC=ZABC-ABAD,進而得NEED=NADC.

【解答】解：（1）平分NBAC,

：.ZBAD=ZDAC,

,：/EFD=ZDAC+ZAEB,NADC=ZABC+ZBAD,

XVZAEB=ZABC,

：.ZEFD=ZADC；

（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；

理由：：AD平分NBAG,

：.ZBAD=ZGAD,

'：ZFAE=ZGAD,

：.ZFAE^ZBAD,

"：NEFD=NAEB-ZFAE,/AOC=ZABC-ZBAD,

又：NAEB=NABC,

，NEFD=NADC.

【考點7多邊形的內(nèi)角與外角綜合】

1

【例7】（2021春?漂陽市期末）若多邊形的每個內(nèi)角都相等，且它的每一個外角是它的鄰補角的g,則該

多邊形是（）

A.十邊形B.十二邊形C.十五邊形D.十六邊形

【分析】根據(jù)多邊形的一個內(nèi)角與一個外角的和為180°,一個外角等于與它相鄰的內(nèi)角的g列出方程

組，從而求得外角的度數(shù)，最后根據(jù)任意多邊形的外角和是360。求解即可.

【解答】解：設(shè)這個多邊形的一個內(nèi)角為x,則外角為彳，

根據(jù)題意得:x+1x=180°,

解得：x=150°,

1

-x=30°,

5

36004-30°=12,

故選：B.

【變式7?1】（2021春?寶豐縣期末）如圖，CG平分正五邊形ABCQE的外角NQCR并與NE4B的平分線

交于點O,則NAOG的度數(shù)為（）

A.144°B.126°C.120°D.108°

【分析】欲求/AOG,可求NAOC,則需求NBCO、ZOAB.ZB.因為五邊形A8CDE是正五邊形，所

以NE4B=NE=N3CQ=108°.又因為AO平分NE4B,CG平分NOCR所以可求得NOA8=54°,

1

Z5CG=108°+1zDCF=144°.

【解答】解：???任意多邊形的外角和等于360。，

/.ZDCF=360°+5=72°.

,這個正五邊形的每個內(nèi)角為180°-72°=108°.

/.ZB=ZEAB=ZBCD=108°.

又〈AO平分N￡48,

JZOAB=^1Z-EAB=*1x108°=54°.

又??,CG平分NOCF,

ZDCG="iDCF=*1x72。=36°.

/.ZBCO=ZBCD+ZDCG=108°+36°=144°.

AZAOC=360°-(N84O+N6+/8CG)=360°-(54°+108°+144°)=54°.

AZAOG=180°-ZAOC=180°-54°=126°.

故選：B.

【變式7-2](2020秋?東川區(qū)期中)一個多邊形的內(nèi)角和比外角和的3倍少180°,求

(1)這個多邊形的邊數(shù)；

(2)該多邊形共有多少條對角線.

【分析】(1)任意多邊形的外角和均為360。，然后依據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可;

(2)多邊形的對角線公式為：空二2.

2

【解答】解：(1)設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為〃.

根據(jù)題意得：180°X(n-2)=360°X3-180°,

解得：〃=7；

7X(7-3)7X4

(2)---=—=14.

22

答：(1)該多邊形為七邊形；(2)七邊形共有14條對角線.

【變式7-3](2020秋?大武口區(qū)期末)如果一個多邊形的各邊都相等且各角也都相等，那么這樣的多邊形

叫做正多邊形，如正三角形就是等邊三角形，正四邊形就是正方形，如下圖，就是一組正多邊形,

(1)觀察上面每個正多邊形中的Na,填寫下表：

正多邊形邊數(shù)3456…〃

Na的度數(shù)…

(2)根據(jù)規(guī)律，計算正八邊形中的Na的度數(shù)；

(3)是否存在正〃邊形使得Na=21°?若存在，請求出〃的值，若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)計算、觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：正〃邊形中的/a=-

(2)根據(jù)規(guī)律，可得正八邊形中的Na的度數(shù);

(3)根據(jù)正〃邊形中的可得答案.

【解答】解：(1)觀察上面每個正多邊形中的Na,填寫下表：

正多邊形邊數(shù)3456…〃

180

Za的度數(shù)60°45°36°30°…(

n

(2)根據(jù)規(guī)律，計算正八邊形中的Na=(―)°=22.5°；

(3)不存在，理由如下:

設(shè)存在正"邊形使得/a=21°,

180

得/a=21°（一

n

44

解得〃=8-，〃是正整數(shù)，〃=8-(不符合題意要舍去)，

不存在正〃邊形使得/a=21°.

【考點8角度計算探究題】

【例8】(2021春?遷安市期末)嘉琪在學習過程中，對教材的一個有趣的問題做如下探究:

【習題回顧】

已知：如圖1,在AABC中，乙4=40°,角平分線8。、CO交于點O.求N8OC的度數(shù).

【變式思考】

(2)若NA=a,請猜想NBOC與a的關(guān)系，并說明理由;

【拓展延伸】

(3)已知I：如圖2,在△ABC中，角平分線80、C0交于點。，ODLOB,交邊BC于點。，作NA8E

的平分線交CO的延長線于點F.若NF=0,猜想NBAC與B的關(guān)系，并說明理由.

【分析】①利用內(nèi)角和和角平分線性質(zhì)，可求得角度大小，

②將定角換成動角，同樣利用內(nèi)角和和角平分線性質(zhì)，將角之間關(guān)系表示出來，

③在②結(jié)論基礎(chǔ)上，通過角平分線性質(zhì)可求證陽〃0。，然后角的關(guān)系就能夠表達出來.

【解答】解：(I)110°

理由為；/4=40°,

/.ZB+ZC=180°-40°=140°,

1,角平分線80、CO分別平分NB、ZC,

11

：?4OBC=±/B,/OCB=RC,

：.ZOBC+ZOCB=1(ZB+ZC)=70°,

在△O2C中，N8OC=180°-(ZOBC+ZOCB)=110°,

故答案為：110°,

(2)ZBOC=90°+1,

理由為；NA=a,

AZB+ZC=180°-a,

?角平分線80、CO分別平分/B、ZC,

AZOBC=|ZB,NOCB=^NC，

：.ZOBC+ZOCB=1zB+izC=I(ZB+ZC)=1(1800-a)=90°

在△O8C中，ZSOC=1800-(NOBC+NOCB)=90+j,

故答案為：NBOC=90°+當

⑶ZSAC=2p,

由(2)結(jié)論可知NBOC=90°+等生，

：.ZBAC=2ZBOC-180°,

VOB.B尸分別平分NA8C和NABE,

11

ZABO=^ZABC,NABF=a/ABE,

AZOBF=ZABO+ZABF=(/4BC+Z48E)=1xl80°=90°,

ODVOB,

：.ZBOD=90°,

：.BF//OD,

...NCOQ=/F=B，

ZBOC=ZBOD+ZCOD=900+0,

ZBAC=2ZBOC-180°,

：.ZBAC=2ZBOC-1800=20,

故答案為：/BAC=20.

【變式8-1](2021春?橋西區(qū)期末)請認真思考，完成下面的探究過程.

已知在△ABC中，AE是NBAC的角平分線，ZB=60°,ZC=40°.

【解決問題】

如圖1,若AO_L8C于點。，求ND4E的度數(shù)；

圖1圖2

【變式探究】

如圖2,若下為AE上一個動點（/不與E重合），且FQJ_8c于點。時，則NDFE=為°；

【拓展延伸】

如圖2,aABC中，ZB=x°,ZC=y°,（且NB>NC）,若尸為線段AE上一個動點（尸不與E重

合），且FOLBC于點。時，試用x,y表示/DFE的度數(shù)，并說明理由.

【分析】（1）由NB=60°,ZC=40°,得/8AC=180°-ZB-ZC=80°.由角平分線的定義，得

Z￡AC=40°.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得NFEO=80°.由FDA.BC,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，故可

求得/DFE.

（2）與（1）同理.

(3)與(I)同理.

【解答】解：(1)解決問題：??,NB=60°,ZC=40°,

.?.NA4c=180°-N8-NC=80°.

又：AE是N8AC的角平分線，

：.ZEAC=^BAC=40°.

AZAED=ZC+ZEAC=40a+40°=80°.

,：AD1BC,

/A￡>E=90°.

.?.ZDAE=180°-AADE-Z；4ED=180°-90°-80°=10°.

(2)變式探究：由(1)知：ZAED=S0°.

?：FDLBC,

：.ZFDE=90°.

.,.ZDF￡=180°-ZFDE-ZFED=180°-90°-80°=10°.

故答案為：10°.

11

(3)拓展延伸：NDFE=#_*y。,理由如下：

,NC=y°,

.../B4C=180°-x°-/.

又：AE是NBAC的角平分線，

11i1

ZCAE=iZ.BAC=(180°-x°-y°)=90。一>。一打。.

/.ZAED=ZC+ZCAE=y0+90。-1x°-1y°=9O°-1x°+!y°.

,:FD1.BC,

：.ZFDE=90°.

iiii

：.ZDFE=1SO°-ZFDE-ZFED=180°-90°-(90。一?。+"。)=/。一*y。.

【變式8-2](2020春?福山區(qū)期中)直線在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線段首尾連接可以變

換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧！

【問題探究】

(1)如圖1,請直接寫出NA+/B+NC+NQ+NE=；

(2)將圖1變形為圖2,NA+NOBE+NC+ND+NE的結(jié)果如何？請寫出證明過程；

(3)將圖1變形為圖3,則NA+/B+NC+NO+/E的結(jié)果如何？請寫出證明過程.

【變式拓展】

(4)將圖3變形為圖4,己知NBGF=160°,那么乙4+NB+NC+/D+NE+NF的度數(shù)是

【分析】(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到/2=/C+/E,/l=NA+/2,根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°

即可求解.

(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到NA8E=NC+/￡,ZDBC=ZA+ZD,即可證明此結(jié)論.

(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到/OFG=N8+NE,ZFGD^ZA+ZC,即可證明此結(jié)論；

(4)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到/BG尸=/8+N2=160°,/2=/E>+NF,NBGF=/l+NE=160",

Z1=ZA+ZC,即可得到結(jié)論.

【解答】(1)解：如圖1,VZ2=ZC+ZE,/l=/A+/2,

.?./A+/8+NC+/O+/E=/l+NB+/D=180°,

故答案為：180°；

(2)證明：VZABE^ZC+ZE,ZDBC=ZA+ZD,

ZABE+ZDBE+ZDBC^]SO°,

ZA+ZDBE+ZC+ZD+ZE=\SO°

將圖①變形成圖②/A+NOBE+NC+/D+/E仍然為180°：

(3)證明：?.,在△FG。中，/DFG+/FGD+/D=180°,

NDFG=NB