2021年人教A版必修2數(shù)學(xué)第4章-圓與方程單元測試卷含答案

2021年人教A版必修2數(shù)學(xué)第4章圓與方程單元測試卷含答案

學(xué)校：班級：姓名：考號：

一、選擇題(本題共計12小題，每題5分，共計60分，)

1.已知兩點4(6,5)為圓心，屈為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x-6)2+(y-5)2=10B.(x+6)2+(y+5)2=10

C.(x—5)2+(y—6)2=V10D.(x+5)2+(y+6)2=VlO

2.過三點4(1,3),B(4,2),。(1,一7)的圓交、軸于“，N兩點，則|MN|=()

A.2V6B.8C.4V6D.10

3.已知圓G：/+y2+2%一均+i=o,圓C2：(x—3)2+(y+1)2=1,則這兩圓的

位置關(guān)系是()

A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)含

4.已知圓C：/+y2-2%-2y=0,則點P(3,l)在()

A.圓內(nèi)B.圓上C.圓外D.無法確定

5.一條光線從點(一2,-3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(尤+3)2+(y-2)z=1相切，則反

射光線所在直線的斜率為()

A.-|或一|B「|或一|C.-3或一(D.-g或-1

6.已知直線-8y+6=0與圓+y2=12交于力，B兩點，過4,B分別作［的垂

線與％軸交于C,D兩點.則|CD|=()

7

A.2B.3C-D.4

2

7.直線=kx+1與圓0:/+y2;=4交于A,B兩點,當(dāng)△AOB的面積最大時，弦

AB所對的劣弧長為()

A.-B.—C.2DS

3336

8.在空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，點B是點4(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影，則|0B|

等于()

A.V14B.V13C.V10D.V5

9.若圓i+y2-6x-8y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為弓，貝Ija的值為(

A.-2或2B.g或弓C.2或0D.-2或0

10.已知圓(x—7)2+(y+4產(chǎn)=9與圓(x+5)2+(y—6>=9關(guān)于直線2對稱，則直線1

的方程是()

A.5x+6y-11=0B.6x—5y—1—0C.6x+5y-11=0D.5x-6y+1=0

11.設(shè)P(l,-2,5)是空間直角坐標(biāo)系中的一點，則點P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點的坐標(biāo)

為()

A.(l,2,-5)B.(—1,—2,5)C.(-1,—2,—5)D.(l,-2,—5)

12.若圓(x+a)2+(y+b)2=產(chǎn)的圓心位于第一象限，則直線y=ax-b不經(jīng)過第

()象限.

A—B二C.三D.四

二、填空題(本題共計4小題，每題5分，共計20分，)

13.寫出一個與x,y軸都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.

14.(理)在空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，滿足條件因2+[y]2+[Z]2<1的點(x,y,z)

構(gòu)成的空間區(qū)域。2的體積為收(田，國，團分別表示不大于％,y,z的最大整數(shù))，

則眩=.

15.已知圓G：M+y2-4=0與圓C2：/+y2-4x+4y-12=0相交于4,B兩點,則

直線4B的方程為.

16.x2-xy-2y2+%+y=0表示的圖形是.

三、解答題(本題共計6小題，每題11分，共計66分，)

22

17.己知圓G：/+y2-2巾》+4y+Tn?-1=o與圓G：x+y+2x+2y-2=0

相交于4,B兩點，且這兩點平分圓。2的圓周長，求圓Q的圓心坐標(biāo).

18.已知圓C的圓心在直線x-2y-3=0上，并且經(jīng)過4(2,-3)和B(-2,-5),求圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

試卷第2頁，總16頁

19.圓Oi的方程為好+(y+1)2=4,圓。2的圓心。2(2,1).

(1)若圓。2與圓。1外切，求圓。2的方程；

(2)若圓。2與圓01交于4,B兩點,S.\AB\=2V2.求圓。2的方程.

20.設(shè)△4BC的頂點坐標(biāo)4(0,a),B(-V3a,0),C(V3a,0),其中a>0,圓M為△ABC

的外接圓.

(1)求圓M的方程；

(2)當(dāng)a變化時，圓M是否過某一定點？請說明理由.

21.已知以點以(一1,2)為圓心的圓與直線k：x+2y+7=0相切,過點B(-2,0)的動直

線/與圓A相交于M,N兩點，Q是MN的中點.

(1)求圓A的方程；

(2)當(dāng)附N|=2g時，求直線］的方程.

22.已知圓G：/+y2+2x+2y—8=0與圓C2:/4-y2—2x+lOy-24=0相交于A、

B兩點.

(1)求公共弦4B的長；

(2)求圓心在直線y=-x上，且過4、B兩點的圓的方程；

(3)求經(jīng)過4、B兩點且面積最小的圓的方程.

參考答案與試題解析

2021年人教A版必修2數(shù)學(xué)第4章圓與方程單元測試卷含答案

一、選擇題(本題共計12小題，每題5分，共計60分)

1.

【答案】

A

【考點】

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】

利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得答案.

【解答】

解：以(6,5)為圓心，VI5為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

(x-6/+(y-5)2=10.

故選4.

2.

【答案】

C

【考點】

圓的一般方程

兩點間的距離公式

斜率的計算公式

【解析】

本題考查圓的方程.

【解答】

解：；心B%=衿

三角形ABC為直角三角形且ZB=90。，

三角形外接圓的圓心為斜邊AC的中點(1,一2),圓的半徑為，4C|=5,

圓的方程為(x-+(y+2)2=25.

令％=O得y2+4y-20=0,記M,N的坐標(biāo)為(0,%),(0,%)，

則|MN|=M-yzl=+%)2-4yly2

=7(-4)2-4x(-20)=4V6.

故選C.

3.

【答案】

B

【考點】

圓與圓的位置關(guān)系及其判定

【解析】

把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑R與r,利用兩點間的距離

公式求出兩圓心的距離d,由d>R+r得到兩圓的位置關(guān)系為相離.

【解答】

解：由圓G：/+y2+2x-4y+I=0,化為(x+iy+(y-2)2=4,圓心。式一1,2),

試卷第4頁，總16頁

R=2

圓C2：3)2+(y+I/=1,圓心C2(3,-1),r=1,

兩圓心間的距離d=，(3+1尸+(—1-2>=5>2+1,

圓6和圓C2的位置關(guān)系是相離.

故選：B.

4.

【答案】

C

【考點】

點與圓的位置關(guān)系

【解析】

把圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心和半徑，再求出點P(3,l)到圓心的距離，然后和

半徑比較即可得答案.

【解答】

解：：圓C：/+y2-2%-2丫=0,

即(X-1)2+(y-1)2=2,

圓C的圓心為(1,1),半徑為近，

則點P(3,l)到圓心的距離為“3-1)2+0=2>V2,

點P(3,l)在圓外.

故選C.

5.

【答案】

D

【考點】

圓的切線方程

中點坐標(biāo)公式

直線的點斜式方程

直線的斜率

【解析】

本題考查直線與圓的方程及位置關(guān)系.

【解答】

解：由于反射光線經(jīng)過點(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(2,-3),

故設(shè)反射光線所在直線方程為y+3=k(x-2),

由直線與圓相切的條件可得塔粵=1,

解得k=-g或一*

故選C.

6.

【答案】

D

【考點】

直線與圓相交的性質(zhì)

直線和圓的方程的應(yīng)用

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：設(shè)4(xi，yj,B(x2,y2)-C(x3)0),D(x4.0),

由x-V3y+6=0得x=>/3y-6,

代入圓的方程并整理，得y2-3V3y+6=0,

解得y1=2V3.”=近,

—

所以工1—0.%2—3.

所以直線4C的方程為y-2痘=-V3x,

令y=0得*3=2；

直線BD的方程為y-V3=-V3(x+3),

令y-。得辦=—2.

則|CD|=|x3-x4|=4.

故選D.

7.

【答案】

C

【考點】

弧長公式

直線和圓的方程的應(yīng)用

點到直線的距離公式

【解析】

解：直線/與圓。聯(lián)立，得

(y—kx+1,=(]+卜2)/+2kx—3=0,

[x2+y2=4

—2k—3

X1i+Xoz=----1-+-k72T，X1i,X?n=-1-+-TH7，

=Jl+k2d(%]+%2)2—4%1%2

=+Hk，：2、2+1之

、J(l+/c2)21+k2

_-16^2+12

―Vl+k2?

點。到直線/的距離為d=懸5=春,

vl+kzy/1+k2

74k2+3

l+H

41

=1+k2-(1+fc2)2

.??當(dāng)k=0時，S“OB最大.

當(dāng)々=0時,弧AB所對的弧的圓心角為120。

試卷第6頁，總16頁

其弧長為鬻X2X兀=(7T.

故選C.

【解答】

解：直線2與圓0聯(lián)立，得

1,：k"(1'=(1+k2)x2+2kx-3=0,

(x2+y2=4

—2k—3

Xi+X7=7TfXi'X7=T_7，

1/1+k21/1+k2

\AB\=Jl+k2d(%]+《2)2—4%1%2

I------I_4fc212-

=yjl+k2------r-rry+-------ry

X1(14-k2)21+fc2

V16fc2+12

Vl+k2'

點。到直線1的距離為&=懸=高，

11

=*B|d=—x-----,

2Vl+fc2Vi+fc2

74k2+3

1+fc2

41

1+fc2-(1+k2)2

\k—0時，SAHOB取大.

當(dāng)k=0時，弧AB所對的弧的圓心角為120。,

其弧長為理x2XTT=±兀

1803

故選C.

8.

【答案】

B

【考點】

空間兩點間的距離公式

空間中的點的坐標(biāo)

【解析】

根據(jù)點B是點2(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的正射影，得到8在坐標(biāo)平面yOz上，豎標(biāo)和

縱標(biāo)與4相同，而橫標(biāo)為0,寫出B的坐標(biāo)是(0,2,3),利用兩點之間的距離公式得到結(jié)

果.

【解答】

解：1,點B是點4(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的正射影，

B在坐標(biāo)平面yOz上，豎標(biāo)和縱標(biāo)與4相同，而橫標(biāo)為0,

B的坐標(biāo)是(0,2,3),

|。8|=及2+32=屈,

故選：B.

9.

【答案】

C

【考點】

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的轉(zhuǎn)化

點到直線的距離公式

【解析】

先將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心的坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式建立等式，求出a的

值。

【解答】

解：把圓工2+y2-6%-8y=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-3)2+(y-4)2=25,

圓心坐標(biāo)為(3,4).

圓心(3,4)到直線一丫+&=0的距離為當(dāng)，

巴羅=孝，即|a-l|=l,

可化為a—1=1或a—1=-1,

解得a=2或0.

故選C.

10.

【答案】

B

【考點】

關(guān)于點、直線對稱的圓的方程

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)圓(％—7)2+(7+4)2=9的圓心為聞，圓(x+5)2+(y-6/=9的圓心

為N,求出M、N的坐標(biāo)，分析可得直線I為MN的垂直平分線，結(jié)合MN的坐標(biāo)分析可

得答案.

【解答】

根據(jù)題意，設(shè)圓(X—7)2+(7+4)2=9的圓心為“，圓。+5產(chǎn)+(y-67=9的圓心

為N,

圓(X-77+(y+4/=9,圓心M為(7,—4),圓(x+57+(y—6產(chǎn)=9,其圓心N為

(-5,6),

若圓(x-7)2+(y+4)2=9與圓(x+5產(chǎn)+(y-6產(chǎn)=9關(guān)于直線/對稱，則直線/為MN

的垂直平分線，

6-(-4)5,6,

又由“(7,—4),N(-5,6),則k“N=-5-7=-6,則砥=5,

MN的中點坐標(biāo)為(1,1),

_6

則直線，的方程為y-1=5(%-1),變形可得6x-5y-1=0,

11.

【答案】

試卷第8頁，總16頁

B

【考點】

空間直角坐標(biāo)系

【解析】

根據(jù)空間點的對稱性分別進行判斷即可.

【解答】

解：因為點P(a,b,c)與點P關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對稱，則y,z不變，x相反，

所以對稱點P'(—a,瓦c),

所以「(1,-2,5)關(guān)于坐標(biāo)平面/。2的對稱點的坐標(biāo)為(-1,-2,5).

故選B.

12.

【答案】

C

【考點】

直線與圓的位置關(guān)系

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由圓的方程可得圓心坐標(biāo)為(-a,-b),

又因為圓心位于第一象限，

所以—a>0,—b>0?

所以直線y=ax-b不經(jīng)過第三象限.

故選C.

二、填空題(本題共計4小題，每題5分，共計20分)

13.

【答案】

(x-I)2+(y-I)2=1(答案不唯一)

【考點】

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

直線與圓的位置關(guān)系

【解析】

無

【解答】

解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,b),半徑為r,

只要滿足r=|a|=|b|，即可，

所以與x,y軸都相切的圓的方程為(x-I)2+(y-I)2=1.

故答案為：(%-1尸+Q-1尸=1(答案不唯一).

14.

【答案】

7

【考點】

空間直角坐標(biāo)系

【解析】

根據(jù)方程，對于x,yNO時，求出x,y的整數(shù)解，分別對=0時確定x的范圍,

對應(yīng)的y,z的范圍，求出體積，再求其和.

建立空間直角坐標(biāo)系。一尤yz,是以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),

(1,1,1),(1,0,1),(0,1,0)為頂點體積為1的立方體向x軸正負(fù)方向、y軸正負(fù)方向、

z軸正負(fù)方向各延伸一個體積為1的立方體，即由這7個立方體組成的圖形，體積為7.

【解答】

解：滿足條件[x]2+[y]2+閉2w1的點(x,y,z)x,y,z20時，[x],[y],[z]的整解

有(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0)

顯然[尤]的最大值是1

|[制|=1時，l<x<2,或者-1Wx<0,|[y]|=0,0<y<1,\[z]\=0,0<z<

1,所圍成的區(qū)域是棱長為1的正方體

同理可求|[制|=0時，0Wx<1,|[y]l=1或10|=1的體積

匕=7x1=7

故答案為：7

15.

【答案】

%-y+2=0

【考點】

相交弦所在直線的方程

【解析】

根據(jù)題意，聯(lián)立兩個圓的方程，化簡變形可得答案.

【解答】

根據(jù)題意，圓C1：/+y2-4=0與圓。2：%2+y2-4x+4y-12=0相交于A,B兩點，

\2+y2-4=0

22

聯(lián)立(x+y-4x+4y-12=0,可得4%—4y+8=0,

即％-y+2=0,

16.

【答案】

兩條直線

【考點】

二元二次方程表示圓的條件

【解析】

利用因式分解化簡方程左側(cè)為乘積形式，然后推出結(jié)果.

【解答】

解：x2-xy-2y2+%+y=0可化為：(x+y)(x-2y)+(%+y)=0,

即：(%—2y+1)(%+y)=0,

x—2y4-1=0或％+y=0.兩條直線.

故答案為：兩條直線.

三、解答題(本題共計6小題，每題11分，共計66分)

17.

【答案】

解：v圓Ci：x2+y2-2mx+4y4-m2—1=0,

???(x-m)2+(y+2)2=5,

???Q的圓心坐標(biāo)為Ci(m,-2),半徑q=遍.

,??圓。2：%2+y24-2%+2y-2=0,

???(x+l)2+(y+=4,

試卷第10頁，總16頁

圓。2的圓心坐標(biāo)為。2(-1,一1),半徑Q=2.

由題意可知AB過。2的圓心，

22

在Rt△?!(?￡中，MCil=\AC2\+

5=4+(m+l)2+l,

m=-1,

圓G的圓心坐標(biāo)為(一1,-2).

【考點】

圓與圓的位置關(guān)系及其判定

兩點間的距離公式

【解析】

【解答】

解：圓G：x2+y2-2mx+4y+m2-1=0,

(x-m)2+⑶+2)2=5,

G的圓心坐標(biāo)為Ci(zn,-2),半徑G=V5.

v圓C2：x2+y2+2x+2y-2=0,

???(x++(y+1)2=4,

：?圓C2的圓心坐標(biāo)為。2(-1,一1)，半徑萬=2.

由題意可知AB過。2的圓心，

22

在RtzMGG中，=MC2I+KIC2|,

5=4+0+1)2+1,

m=-1,

圓G的圓心坐標(biāo)為(一1,一2).

18.

【答案】

解：由己知，線段4B的中垂線所在直線與直線x-2y-3=0的交點即為圓C的圓心.

線段AB的斜率為：KAB==i,線段4B的中垂線所在直線的斜率為--=

2-(-2)2KAB

一2,

又二線段4B的中點為(0,-4),線段48的中垂線所在直線方程為：y+4=-2%,

即2x+y+4=0.

由求得圓C的圓心坐標(biāo)為(―1,_2)

圓C的半徑r滿足：r2=(2+I)2+(-3+2)2=10,

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x++⑶+2)2=10.

【考點】

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

【解析】

線段4B的中垂線所在直線與直線％-2y-3=0的交點即為圓C的圓心，再求出半徑CA

的值，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答】

解：由己知，線段的中垂線所在直線與直線x-2y-3=0的交點即為圓C的圓心.

線段4B的斜率為：KAB==i,線段4B的中垂線所在直線的斜率為-六=

2-(-2)2KAB

一2,

又二線段4B的中點為(0,-4),二?線段48的中垂線所在直線方程為：y+4=-2%,

即2x+y+4=0.

由求得：;二;，二圓C的圓心坐標(biāo)為(-1，-2)

圓C的半徑r?滿足：r2=(2+I)2+(-3+2)2=10,

圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y+2)2=10.

19.

【答案】

解：(1)圓01的方程為%2+(y+1)2=4,圓心坐標(biāo)(0,-1),半徑為2,

圓。2的圓心:02(2,1).

圓心距為：J(2_0)2+(1+1)2=2a,圓。2與圓01外切，

所求圓的半徑為：2a-2,

圓。2的方程：。-2)2+6；—1)2=12-8立，

(2)圓。2與圓。1交于A,B兩點，且|AB|=2&.

所以圓01交到AB的距離為：心一(&)2=

當(dāng)圓。2到4B的距離為：V2,

圓。2的半徑為：J(V2)2+(V2)2=2.

圓。2的方程:(%—2產(chǎn)+(y-l)2=4.

當(dāng)圓。2到48的距離為：3VL

圓。2的半徑為：J(3V2)2+(V2)2=V20.

圓。2的方程：(x-2產(chǎn)+(y-l)2=20.

綜上：圓。2的方程：(x-2產(chǎn)+(y-I>=4或(X-2)2+(y—l)2=20.

【考點】

圓與圓的位置關(guān)系及其判定

圓的一般方程

【解析】

(1)通過圓心距對于半徑和，求出圓的半徑，即可求出圓的方程.

(2)利用圓心距與寫出的故選求出，圓到直線的距離，然后求出所求圓的半徑，即可

求出圓的方程.

【解答】

解：(1)圓。1的方程為+(y+1)2=4,圓心坐標(biāo)(0,-1),半徑為2,

圓。2的圓心:。2(2,1).

圓心距為：J(2—0)2+(1+1)2=2企,圓。2與圓01外切，

所求圓的半徑為：2a-2,

圓。2的方程：(x-2)2+(y-1)2=12-8魚，

(2)圓。2與圓。1交于4B兩點，S.\AB\=2V2.

所以圓心01到4B的距離為：收-(a)2=V2,

當(dāng)圓心。2到4B的距離為：V2,

圓。2的半徑為：J(V2)2+(V2)2=2.

圓。2的方程:(x-2產(chǎn)+(y-l)2=4.

當(dāng)圓心。2到4B的距離為：3夜，

圓。2的半徑為：J(3V2)2+(V2)2=V20.

試卷第12頁，總16頁

圓。2的方程:(x-2)2+(y-l)2=20.

綜上：圓。2的方程：(X-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-l)2=20.

20.

【答案】

解：(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=o,

圓M過4(0,a),B(-V3a,0),C(質(zhì),0)三點，

代入圓的方程，可得：

a2+aE+F=0,

3a—y/3aD+F=0,

{3a+>/3aD+F=0,

(0=0,

解得《E=3—a,

=-3a,

圓M的方程為％2+y2+(3-a)y-3a=o.

(2)圓M的方程可化為(y+3)a-(x2+y2+3y)=0,

,(y+3=0，

lx2+y2+3y=0,

圓M過定點(0,-3).

【考點】

點與圓的位置關(guān)系

【解析】

(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Cx+Ey+/7=o,將4,B,C三點代入方程中求出D,E,

F即可求出方程圓的方程

(2)若圓過定點，則該點與Q的取值無關(guān)，從而判斷圓是否過定點.

【解答】

解：(1)設(shè)圓M的方程為/+y2+D%+Ey+F=0,

圓M過4(0,a),B(-V3a,0),C(癡,0)三點，

代入圓的方程，可得：

a2+aE+F=0,

3a—V3a￡>+F=0,

3a+y/3aD+F=0,

(0=0,

解得《E=3-a,

=-3a,

圓M的方程為/+y2+(3-a)y-3a=o

(2)圓M的方程可化為(y+3)a-(x2+y2+3y)=0,

y+3=0,

爐+丫2+3y=0,

x=0,

得

,y=-3,

圓M過定點(0,-3).

【答案】

解：(1)已知4(一1,2)到直線x+2y+7=0的距離為圓A半徑r,

...「=曰評1=2后

圓4的方程為(％+1)2+0-2)2=20;

(2)根據(jù)題意畫圖如下：

垂徑定理可知NMQ4=90。，且MQ=g,

在RtziAMQ中由勾股定理易知L4Q=ylAM2-MQ2=1,

設(shè)動直線I方程為：y=k(x+2)或％=-2,

顯然x——2合題意.

由4(-1,2)到，距離為1,

知霽等=1,得左=

vl+fcz4

3%—4y+6=0或％=—2為所求Z方程.

【考點】

圓的綜合應(yīng)用

直線與圓相交的性質(zhì)

點到直線的距離公式

【解析】

(1)利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；

(2)根據(jù)相交弦長公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點到直線的

距離公式確定直線方程.

【解答】

解：(1)已知4(-1,2)到直線x+2y+7=0的距離為圓4半徑r,

...「=匕浮1=2后

圓4的方程為(％+1)2+0-2)2=20;

(2)根據(jù)題意畫圖如下：

試卷第14頁，總16頁

垂徑定理可知NMQA=90°,且MQ=V19,

在Rt△AMQ中由勾股定理易知AQ=JAM?_MQ2=1,

設(shè)動直線/方程為：了=/￡。+