巧用幾何直觀助力數(shù)學(xué)理解

【摘

要】小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)常需要借助直觀的感性材料，在具體的學(xué)習(xí)情境中進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究。幾何直觀是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其突出優(yōu)勢是化抽象為形象，展現(xiàn)問題的本質(zhì)，搭建溝通感性與理性的橋梁，降低學(xué)習(xí)難度，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解與問題解決，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?；趲缀沃庇^在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位，本文旨在從以下三個(gè)方面闡述幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用探究，希望對(duì)實(shí)際教學(xué)有所幫助?！娟P(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)；幾何直觀；數(shù)學(xué)理解；問題解決《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出，幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識(shí)與習(xí)慣。幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。對(duì)學(xué)生而言，幾何直觀是一種有效的學(xué)習(xí)方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮著重要的作用；對(duì)教師而言，幾何直觀是一種有效的教學(xué)手段，是落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效舉措。一、借助幾何直觀，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想猜想是不知其真假的數(shù)學(xué)敘述，也是學(xué)生喜愛的一種學(xué)習(xí)方式。它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引發(fā)驗(yàn)證、求知的心理需要。涉及“圖形與幾何”相關(guān)知識(shí)的猜想，教師經(jīng)常會(huì)引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、剪一剪、拼一拼等多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的手、腦、眼多個(gè)器官的協(xié)調(diào)配合，經(jīng)歷“做”數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，利用幾何圖形的形象直觀，用圖形說話，驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，從而豐富學(xué)生腦中的圖形表象，提升對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，發(fā)展空間觀念，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好知識(shí)鋪墊。例如，教學(xué)“圓柱的側(cè)面展開圖”時(shí)，教師請(qǐng)學(xué)生猜一猜：圓柱的側(cè)面展開可能是什么圖形？“長方形”“正方形”“不規(guī)則圖形”“梯形”……教師對(duì)于學(xué)生的多種猜想，并不急于進(jìn)行評(píng)判，而是鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手剪一剪帶來的圓柱側(cè)面學(xué)具，驗(yàn)證自己的想法是否正確，再和小組成員交流。師：你是怎么剪開圓柱側(cè)面的，圓柱側(cè)面展開是一個(gè)什么圖形？你的猜想是對(duì)的嗎？生1：我是沿著圓柱的一條高剪的，圓柱的側(cè)面展開是一個(gè)長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高，和我原來想的一樣。生2：我也是沿著圓柱的高剪的，但是我得到的是一個(gè)正方形。我發(fā)現(xiàn)這個(gè)圓柱的底面周長和高相等。師：還有不同的剪法嗎？生3：如果沿著斜線剪開，圓柱側(cè)面展開是一個(gè)平行四邊形。生4：我也是這么剪的。而且我還發(fā)現(xiàn)了，平行四邊形的底等于圓柱的底面周長，高等于圓柱的高。生5：我得到的是不規(guī)則圖形，我是任意彎彎曲曲剪的。師：同學(xué)們的想法、做法都非常棒！可是為什么你們都沒提到梯形呢？生6：因?yàn)椤爸挥幸唤M對(duì)邊平行的四邊形叫作梯形”。我是這么想的，不管怎么剪，圓柱的側(cè)面展開都不可能是梯形。就算得到的是一個(gè)不規(guī)則圖形，我們也可以再通過剪、移、拼的方法，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成長方形。師（豎起大拇指）：大家聽明白了嗎？想不想驗(yàn)證他的猜想對(duì)不對(duì)呢？一石激起千層浪，學(xué)生的學(xué)習(xí)激情被再次點(diǎn)燃，大家又興致勃勃地動(dòng)手剪了起來，再次開啟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅。又如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，由于學(xué)生在平時(shí)使用三角尺的操作實(shí)踐中，經(jīng)歷量角的過程，認(rèn)識(shí)到特殊的直角三角形的內(nèi)角和是180°。因此，學(xué)生會(huì)基于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理、有根據(jù)的數(shù)學(xué)猜想：三角形的內(nèi)角和是180°。教師肯定學(xué)生的想法后，提出問題：“那你要用什么方法驗(yàn)證任意三角形的內(nèi)角和是180°呢？”“三角形的個(gè)數(shù)是無限的，需要驗(yàn)證哪些三角形的內(nèi)角和，才能代表所有三角形的內(nèi)角和呢？”學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的分類，一致達(dá)成共識(shí)，選取銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形進(jìn)行分工操作探究。剛開始，多數(shù)學(xué)生用量一量、算一算的方法，發(fā)現(xiàn)得出的數(shù)據(jù)有時(shí)會(huì)存在偏差，比180°大些或小些，意識(shí)到用度量的方法驗(yàn)證，得到的結(jié)果不統(tǒng)一。這時(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生：“180°是什么角？能不能找到比度量更精確的驗(yàn)證方法呢？”問題驅(qū)動(dòng)思考，直觀的學(xué)習(xí)材料豐富了學(xué)生的想象空間，為學(xué)生提供了不同的思維路徑。有的學(xué)生分別撕或剪下三角形的三個(gè)內(nèi)角，拼成平角；有的學(xué)生通過折一折，把三角形的三個(gè)內(nèi)角拼成平角。學(xué)生在動(dòng)手操作、直觀體驗(yàn)、交流表達(dá)的活動(dòng)中，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，自主探索數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，感受成功的喜悅和學(xué)習(xí)的快樂，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)自信心。二、依托幾何直觀，感悟數(shù)學(xué)思想隱性的數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，數(shù)學(xué)思想方法是形成學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。依托幾何直觀，可以讓無形的數(shù)學(xué)思想“顯形”，變得具體化、生動(dòng)化、形象化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)理解，自覺建構(gòu)新知體系。在教學(xué)“植樹問題”時(shí)，出示：同學(xué)們?cè)谌L20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？學(xué)生通過畫線段圖、列式計(jì)算，自主探索植樹問題的三種情況：兩端都栽，棵數(shù)=間隔數(shù)＋1；兩端都不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)-1；只栽一端，棵數(shù)=間隔數(shù)。但課后練習(xí)的反饋情況暴露出學(xué)生并未能真正理解“植樹問題模型”，無法正確運(yùn)用“間隔數(shù)加1”“間隔數(shù)減1”“棵數(shù)等于間隔數(shù)”解決實(shí)際問題。究其原因是課堂上教師關(guān)注了學(xué)生的活動(dòng)體驗(yàn)，卻忽視了結(jié)合直觀引導(dǎo)學(xué)生理解“都是求棵數(shù)，為什么要加1，減1或不加不減的數(shù)學(xué)本質(zhì)”。所以，教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖（如圖1～3），充分借助直觀圖上的點(diǎn)（樹）和段（間隔），采用手指比劃、畫箭號(hào)等直觀學(xué)習(xí)方法，建立棵數(shù)與間隔數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，理清知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)理解，建構(gòu)清晰完整的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)靈活、正確地解決問題。教學(xué)“平行與垂直”，讓學(xué)生展開想象：把一張紙想象成一個(gè)無限大的平面，然后把想象的兩條直線的位置關(guān)系畫在紙上。教師收集代表性作品，標(biāo)上序號(hào)?！澳銈兡芙o這些直線進(jìn)行分類嗎？”學(xué)生通過觀察，進(jìn)行第一次分類，直觀地根據(jù)“兩條直線表面有無交叉”分成兩類?！爸本€有什么特點(diǎn)呢？”“直線沒有端點(diǎn)，可以向兩端無限延長?！痹诮處煹膯l(fā)下，學(xué)生通過畫延長線，發(fā)現(xiàn)有些沒有交叉的兩條直線，畫延長線后可以相交于一點(diǎn)；而有一些是無論怎么延長都不會(huì)相交，經(jīng)歷第二次分類：同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系存在“相交和不相交”兩種情況。教師順勢引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“平行”的概念。緊接著教師又問：“這些相交的直線還可以進(jìn)行分類嗎？”學(xué)生通過議一議、量一量，進(jìn)行第三次分類發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交的角，可以分為直角和不是直角兩類。此時(shí)進(jìn)行“互相垂直”概念的學(xué)習(xí)水到渠成。借助直觀材料的感性支撐，學(xué)生經(jīng)歷“剝筍式”的分類學(xué)習(xí)探究過程，不僅理清了同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，逐步抽象出數(shù)學(xué)概念，還學(xué)會(huì)了運(yùn)用分類的數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題。三、活用幾何直觀，解析數(shù)量關(guān)系徐利治先生指出：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。”鑒于小學(xué)生的心理認(rèn)知和思維水平，純文字呈現(xiàn)的問題，對(duì)他們而言，有時(shí)顯得抽象難懂，很難憑文字信息直接理解數(shù)量關(guān)系，不知從何入手思考問題，思路不清，解題不暢。如何突破這一“瓶頸”呢？在解決問題的過程中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上，養(yǎng)成自覺畫圖、分析思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，借助圖形理解數(shù)量關(guān)系，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，勾連已知和未知之間的通道，尋求解決問題的突破口，探索解決問題的思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。例如，教學(xué)“行程問題”：甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，甲、乙兩車速度比為7∶5，在距中點(diǎn)12千米處相遇。A、B兩地相距多少千米？學(xué)生根據(jù)文字信息，抓住關(guān)鍵句，理解題意：甲車速度比乙車快，它們相向而行，相遇時(shí)，甲車行的路程比全程的一半多12千米，而乙車行的路程比全程的一半少12千米。行駛時(shí)間相同，兩車的速度比是7∶5，那么路程比也是7∶5，全程12份。接著畫線段圖（如圖4），把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體形象的圖形表征，“看圖說話”，幫助理解，問題也就迎刃而解了。方法1：從線段圖直觀理解甲車行的路程是全程的７/12，超過中點(diǎn)12千米，12千米對(duì)應(yīng)的是全程的（７/12-1/2），A、B兩地相距：12÷（７/12-1/2）。方法2：從線段圖也可直觀理解乙車行的路程是全程的5/12，還要再行12千米才能到達(dá)中點(diǎn)，12千米對(duì)應(yīng)的是全程的（1/2-5/12），A、B兩地相距：12÷（1/2-5/12）。但有的學(xué)生錯(cuò)誤地理解，認(rèn)為甲車比乙車多行的路程是12千米，列出錯(cuò)誤的算式：12÷（7-5）×（7+5）。如何讓學(xué)生形象理解“甲車比乙車多行的路程是2個(gè)12千米呢？”教師運(yùn)用教學(xué)智慧，另辟蹊徑，畫出線段圖（如圖5），啟發(fā)學(xué)生換角度思考問題：假設(shè)甲、乙兩車是同向而行。教師借助線段圖進(jìn)行分析講解，學(xué)生不難理解“甲車行的路程是7份，乙車行的是5份，甲車和乙車的路程差是2個(gè)12千米，即24千米?！彪S即列出正確的算式：12×2÷（7-5）×（7+5）。還有的學(xué)生受到線段圖的直觀啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)一份路程是12千米，全程是12份，A、B兩地相距：12×12=14