新高考數(shù)學二輪復(fù)習講義第四講函數(shù)的概念及其表示（含解析）

第四講：函數(shù)概念及其表示【考點梳理】1、函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩個集合A、B設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射記法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個核心點．2、函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．3、構(gòu)成函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素為定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.4、函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.5、函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：(1)分式函數(shù)中分母不等于零.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞).(7)y＝tanx的定義域為SKIPIF1<0.【典型題型講解】考點一：函數(shù)的概念【典例例題】例1（多選題）下列對應(yīng)關(guān)系f，能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ABD【詳解】對于A中，集合SKIPIF1<0中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合SKIPIF1<0中存在唯一的元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函數(shù)；對于B中，集合SKIPIF1<0中的任意一個元素，按某種對應(yīng)法則，在集合SKIPIF1<0中存在唯一的元素相對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函數(shù)；對于C中，集合SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，所以不能構(gòu)成從集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函數(shù)；對于D中，集合SKIPIF1<0中的任一元素，按SKIPIF1<0，在集合SKIPIF1<0有唯一的元素與之對應(yīng)，所以能構(gòu)成從集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函數(shù).故選：ABD【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)概念：注意兩個非空數(shù)集，任意與唯一兩個關(guān)鍵字對應(yīng).【變式訓(xùn)練】1.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線SKIPIF1<0的交點個數(shù)（

）A．至少1個 B．至多1個 C．僅有1個 D．有0個、1個或多個【答案】B【詳解】若1不在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線SKIPIF1<0沒有交點，若1在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，y=f(x)的圖象與直線SKIPIF1<0有1個交點，故選：B.2.已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域和值域都是集合SKIPIF1<0，其定義如表所示，則SKIPIF1<0____________．xSKIPIF1<0012SKIPIF1<0012SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0解：由表可知，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.考點二：具體函數(shù)的定義域【典例例題】例1.函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故選：B例2.函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意可知SKIPIF1<0，而以2為底的對數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，因此SKIPIF1<0，求解可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】對求函數(shù)定義域問題的思路是：（1）先列出使式子SKIPIF1<0有意義的不等式或不等式組；（2）解不等式組；（3）將解集寫成區(qū)間的形式.【變式訓(xùn)練】1.已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0有意義，必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C2.函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是_______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意可得，SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<03．函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0考點三：抽象函數(shù)定義域【典例例題】例1.已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.【方法技巧與總結(jié)】1.抽象函數(shù)的定義域求法：此類型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的解SKIPIF1<0的范圍，即為SKIPIF1<0的定義域，口訣：定義域指的是SKIPIF1<0的范圍，括號范圍相同．已知SKIPIF1<0的定義域，求四則運算型函數(shù)的定義域2．若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集．【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B．3.已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D解：∵函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴函數(shù)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為[SKIPIF1<0]．故選：D考四：函數(shù)的解析式求法【典例例題】例1.（待定系數(shù)法）已知函數(shù)SKIPIF1<0是一次函數(shù)，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解析式可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：AD.例2.（換元法或配湊法（適用于了SKIPIF1<0型））已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因SKIPIF1<0，則設(shè)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C例3.已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】令SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0聯(lián)立可解得，SKIPIF1<0．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)解析式的常用方法如下：（1）當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解.（2）當已知表達式為SKIPIF1<0時，可考慮配湊法或換元法，若易將含SKIPIF1<0的式子配成SKIPIF1<0，用配湊法.若易換元后求出SKIPIF1<0，用換元法.（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.（4）求分段函數(shù)的解析式時，要注意符合變量的要求.（5）當出現(xiàn)大基團換元轉(zhuǎn)換繁瑣時，可考慮配湊法求解．（6）若已知成對出現(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個方程，消元的方法求出SKIPIF1<0．【變式訓(xùn)練】1.設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0等于（

）A．n(2n＋3) B．n(n＋4)C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)【答案】A【詳解】由已知，假設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：A．2.已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解析式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.3．已知函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的解析式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0.故選：A.考點五：分段函數(shù)【典例例題】例1.已知函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則m的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．9 D．2或9【答案】C【詳解】∵函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.例2．（2022·廣東東莞·高三期末）(多選)已知函數(shù)SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的所有根之和為SKIPIF1<0 D．關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的所有根之積小于SKIPIF1<0【答案】．ACD【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正確；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，關(guān)于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，

（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的整數(shù)）所以B錯，SKIPIF1<0的根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所有根的和為：SKIPIF1<0，C正確；由SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0所以所有根之積小于SKIPIF1<0，D正確.故選:ACD.【方法技巧與總結(jié)】1.分段函數(shù)的求值問題，必須注意自變量的值位于哪一個區(qū)間，選定該區(qū)間對應(yīng)的解析式代入求值2.函數(shù)區(qū)間分類討論問題，則需注意在計算之后進行檢驗所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi).【變式訓(xùn)練】1.已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．0【答案】B【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴必有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0.故選：B.2．己知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B．3．設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】B【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.4．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________；若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0___________.【答案】

1

SKIPIF1<0【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不符合；當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合；當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0無解，不符合.所以實數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：1；SKIPIF1<0【鞏固練習】一.單選題1．下列函數(shù)中，不滿足：SKIPIF1<0的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】試題分析：A中SKIPIF1<0，B中SKIPIF1<0，C中SKIPIF1<0，D中SKIPIF1<02．若函數(shù)f（x）滿足f（1－lnx）＝SKIPIF1<0，則f（2）＝（）A．SKIPIF1<0 B．eC．SKIPIF1<0 D．－1【答案】B【詳解】由1－lnx＝2，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即f（2）＝e.故選：B3．設(shè)全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．（1，2） B．（1，2]C．（2，+∞） D．[2，+∞）【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D.4．已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為(－2,0)，則SKIPIF1<0的定義域為（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題設(shè)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴對于SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故其定義域為SKIPIF1<0.故選：C5．若函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，且最小值為SKIPIF1<0.故選：D二、多選題6．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0化簡得SKIPIF1<0兩式相加得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，A正確，B錯誤；又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，C正確，D錯誤；故選：AC7．下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)＝x＋1，g(x)＝SKIPIF1<0 B．f(x)＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，g(x)＝SKIPIF1<0C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝SKIPIF1<0，g(x)＝SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】對于A，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，故不滿足；對于B，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的定義域都為SKIPIF1<0，且解析式可化為一樣，故表示的是同一函數(shù)；對于C，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，故不滿足；對于D，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的定義域都為SKIPIF1<0，且解析式可化為一樣，故表示的是同一函數(shù)故選：BD8．關(guān)于直線