全等三角形復習題

全等三角形專題復習一、全等三角形知識要點1．三角形全等的判定方法：邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）2.全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等對應中線相等，對應高相等，對應角平分線相等.注：①判定兩個三角形全等必須有一組邊對應相等；②全等三角形面積相等．關鍵：三角形全等的證明及其運用關鍵點在于“把相等的邊（角）放入正確的三角形中”，去說明“相等的邊（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等來說明兩個角相等（兩條邊相等）是初中里面一個非常常見而又重要的方法。要說明兩邊相等，兩角相等，最常用的方法就是說明三角形全等2．證題的思路：2．證題的思路：一、直角三角形的全等問題：直角三角形的研究是整個中學幾何圖形部分里的重點！直角三角形有關的全等問題中，在條件的尋找上首先就有了一組直角相等；而多個直角，多個垂直的圖形組合在一塊時，就很容易利用“同（等）角的余角相等”來得到其他的角相等。典型例題：1、如圖1，已知DO⊥BC，OC=OA，OB=OD，問CD=AB嗎？請說明理由.圖1[分析]：（1）凡是題中的垂直往往意味著會有一組90°角，得到一組等量關系；（2）出現(xiàn)垂直，往往意味著要運用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關系；專題一：直角三角形[變形1]：請說明△BCE是直角三角形。變形2：（2008威海）把兩個含有45°角的直角三角板如圖1放置，點D在BC上，連結BE，AD，AD的延長線交BE于點F．求證：AF⊥BE．AFBCED變式3：兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，點B,C,E在同一條直線上，連結CD．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）（2）求證：CD⊥BE圖2圖1變式4：如圖2，在△ABC中，高AD與BE相交于點H，且AD=BD，問△BHD≌△ACD嗎？為什么？圖2ABCEHD[分析]：此題實際上就是[變形1]的反問，已經(jīng)存在一組直角（由垂直得到），一組相等的邊（已知），再利用“同（等）角的余角相等”來得到第二組角相等！2、如圖1，已知，AC⊥CE，AC=CE，∠ABC=∠CDE=90°，問BD=AB+ED嗎? 為什么？圖5[分析]：（1）凡是題中的垂直往往意味著會有一組90°角，得到一組等量關系；（2）出現(xiàn)3個垂直，往往意味著要運用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關系；[變形1]：如圖7，

如果△ABC≌△CDE，請說明AC與CE的關系。[注意]：兩條線段的關系包括：大小關系（相等，一半，兩倍之類）位置關系（垂直，平行之類）圖7[變形2]：（2008瀘州）如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過點A作FA⊥AE交CB的延長線于點F，求證：DE=BF[分析]：注意圖形中有多個直角，利用同角的余角相等或等式性質可到一組銳角相等。[變形3]：如圖8，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點A的直線，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=3，BD=7，請你求出DE的長度。

[分析]：說明相等的邊所在的三角形全等，題中“AB=AC”，發(fā)現(xiàn)：AB在Rt△ABD中，AC在Rt△CAE中，所以嘗試著去找條件，去說明它們所在的兩個Rt△全等.于是：已經(jīng)存在了兩組等量關系：AB=AC，直角=直角，再由多個垂直利用同角的余角相等，得到第三組等量關系。圖81.一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上.(1)求證：AB⊥ED(2)若PB=BC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明[變形4]：在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）當直線MN繞點C旋轉到圖9的位置時，△ADC≌△CEB，且DE=AD+BE。你能說出其中的道理嗎？（2）當直線MN繞點C旋轉到圖10的位置時，

DE=AD-BE。說說你的理由。（3）當直線MN繞點C旋轉到圖11的位置時，試問DE，AD，BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系。圖11圖12圖10等腰三角形、等邊三角形的全等問題：[必備知識]：如右圖，由∠1=∠2，可得∠CBE=∠DBA；反之，也成立。12例三：已知在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠1=∠2，請問BD=CE嗎？21[分析]這類題目的難點在于，需要將本來就存在于同一個三角形中的一組相等的邊，分別放入兩個三角形中，看成是一組三角形的對應邊，∴題目中所給的△ABC與△ADE是用來干擾你的思路的，應該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起，加上所求的“BD=CE”，你會發(fā)現(xiàn)BD在△ABD中，CE在△ACE中。而AB=AC,AD=AE,所以只需要說明它們的夾角相等即可。關鍵還是在于：說明“相等的邊（角）所在的三角形全等”[變形1]：如圖13，已知∠BAC=∠DAE，∠1=∠2，BD=CE，請說明△ABD≌△ACE.嗎？為什么？[分析]：例三是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用SAS說明全等，此題是兩組角相等，那么該如何做呢?21圖14[變形2]：如圖，B、A、E三點共線，△ABC、△ADE是等邊三角形，連接BD，CE，請說明它們相等。[分析]：此題實際上是例三的變形，只不過將等腰三角形換成了等邊三角形，只要你根據(jù)所求問題，把BD看成在△ABD的一邊，CE看成△ACE的一邊，自然就得到了證明的方向。圖15[變形3]：如圖16—18，還是剛才的條件，把右側小等邊三角形的位置稍加變化，，連接BD，CE，請說明它們相等。