第八章立體幾何初步總結(jié)

章末總結(jié)本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專(zhuān)注收集同步資源期待你的加入與分享聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤(pán)群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，一勞永逸網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合題型歸納·素養(yǎng)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識(shí)辨析判斷下列說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“√”或“×”)1.有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱.(

)2.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是梯形的幾何體叫做棱臺(tái).(

)3.圓錐是由一個(gè)直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)得來(lái)的.(

)4.到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球.(

)5.正方形利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖是菱形.(

)6.圓臺(tái)的側(cè)面積公式是π(r+R)l,其中r和R分別是圓臺(tái)的上、下底面半徑,l是其母線長(zhǎng).(

)7.用一個(gè)平面截圓錐,得到一個(gè)圓錐和圓臺(tái).(

)8.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái).(

)×××××√××9.如果兩個(gè)平面有一個(gè)交點(diǎn),則這兩個(gè)平面有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線.(

)10.如果兩個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面沒(méi)有交點(diǎn).(

)11.若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在某一平面內(nèi),則這條直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi).(

)12.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(

)13.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.(

)14.過(guò)一點(diǎn)垂直于一個(gè)平面的直線有且只有一條.(

)√√√×√√題型歸納·素養(yǎng)提升題型一空間幾何體的表面積和體積[例1](2021·江西景德鎮(zhèn)期末)已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)用一平行于正四棱錐底面的平面去截這個(gè)棱錐,截得棱臺(tái)的上、下底面的面積之比為1∶4,若截去的小棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2,則此棱臺(tái)的表面積為

.

規(guī)律總結(jié)(1)幾何體的表面積及體積的計(jì)算是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常能夠遇到的問(wèn)題,在計(jì)算中應(yīng)注意各數(shù)量之間的關(guān)系及各元素之間的位置關(guān)系,特別是特殊的柱、錐、臺(tái),要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面圖形的作用.(2)常見(jiàn)的計(jì)算方法

①公式法:根據(jù)題意直接套用表面積或體積公式求解;②割補(bǔ)法:割補(bǔ)法的思想是通過(guò)分割或補(bǔ)形,將原幾何體分割成或補(bǔ)成較易計(jì)算體積的幾何體,從而求出原幾何體的體積;③等體積變換法:等積變換法的思想是從不同的角度看待原幾何體,通過(guò)改變頂點(diǎn)和底面,利用體積不變的原理來(lái)求原幾何體的體積.題型二球與其他幾何體的組合問(wèn)題答案:(1)D規(guī)律總結(jié)解決與球有關(guān)組合體問(wèn)題的常用方法(1)與球有關(guān)的組合體,一種是內(nèi)切,一種是外接,解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形,充分發(fā)揮空間想象能力,做到以下幾點(diǎn):①明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置;②確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系;③作出合適的截面圖.(2)一般地,作出的截面圖中應(yīng)包括每個(gè)幾何體的主要元素,能反映出幾何體與球體之間的主要位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決.答案:(1)C跟蹤訓(xùn)練2:(1)《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑.若三棱錐P-ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為(

)(A)8π (B)12π(C)20π(D)24π答案:(2)36π題型三共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題[例3]如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求證:(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;證明:(1)因?yàn)锽G∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD,又E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.[例3]如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求證:(2)GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上.規(guī)律總結(jié)(1)三點(diǎn)共線問(wèn)題

證明空間三點(diǎn)共線問(wèn)題,通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)面的交線上,即先確定出某兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上,再證第三點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn),則此點(diǎn)必在兩個(gè)平面的交線上.(2)共面問(wèn)題

證明共面問(wèn)題,一般有兩種證法:一是由某些元素確定一個(gè)平面,然后證明其余元素在這個(gè)平面內(nèi);二是分別由不同元素確定若干個(gè)平面,然后證明這些平面重合.(3)三線共點(diǎn)問(wèn)題

證明三線共點(diǎn)問(wèn)題,先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題.(1)四邊形EFGH是梯形;(2)AC,EF,GH三條直線相交于同一點(diǎn).證明:(2)由(1)知EF,HG相交,設(shè)EF∩HG=K,因?yàn)镵∈EF,EF?平面ABC,所以K∈平面ABC.同理K∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以K∈AC,故EF和GH的交點(diǎn)在直線AC上.所以AC,EF,GH三條直線相交于同一點(diǎn).題型四平行與垂直問(wèn)題(1)求證:AE⊥平面CDE.[例4]如圖,已知在直角梯形ABCD中,E為CD邊中點(diǎn),且AE⊥CD,又G,F分別為DA,EC的中點(diǎn),將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.(1)證明:由已知得DE⊥AE,AE⊥EC.因?yàn)镈E∩EC=E,DE,EC?平面DCE,所以AE⊥平面CDE.(2)求證:FG∥平面BCD.[例4]如圖,已知在直角梯形ABCD中,E為CD邊中點(diǎn),且AE⊥CD,又G,F分別為DA,EC的中點(diǎn),將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.(2)證明:取AB的中點(diǎn)H,連接GH,FH,所以GH∥BD,FH∥BC,因?yàn)镚H?平面BCD,BD?平面BCD,所以GH∥平面BCD.同理FH∥平面BCD,又GH∩FH=H,所以平面FHG∥平面BCD,因?yàn)镚F?平面FHG,所以GF∥平面BCD.(3)在線段AE上找一點(diǎn)R,使得平面BDR⊥平面DCB,并說(shuō)明理由.[例4]如圖,已知在直角梯形ABCD中,E為CD邊中點(diǎn),且AE⊥CD,又G,F分別為DA,EC的中點(diǎn),將△ADE沿AE折疊,使得DE⊥EC.在△DEC中,ED=EC,M是CD的中點(diǎn),所以EM⊥DC.由(1)知AE⊥平面CDE,AE∥BC,所以BC⊥平面CDE.因?yàn)镋M?平面CDE,所以EM⊥BC.因?yàn)锽C∩CD=C,所以EM⊥平面BCD,因?yàn)镋M∥RS,所以RS⊥平面BCD.因?yàn)镽S?平面BDR,所以平面BDR⊥平面DCB.規(guī)律總結(jié)(1)平行、垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化(2)證明空間線面平行或垂直需注意三點(diǎn)①由已知想性質(zhì),由求證想判定;②適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一;③用定理時(shí)要先明確條件,再由定理得出相應(yīng)結(jié)論.(1)求證:直線AB1∥平面BC1D.跟蹤訓(xùn)練4:如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC為正三角形,AA1=AB=6,D為AC的中點(diǎn).(1)證明:連接B1C交BC1于點(diǎn)O,連接OD,BD,則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn).因?yàn)镈為AC的中點(diǎn),所以DO為△AB1C中位線,所以AB1∥OD.因?yàn)镺D?平面BC1D,AB1?平面BC1D,所以直線AB1∥平面BC1D.(2)求證:平面BC1D⊥平面ACC1A.跟蹤訓(xùn)練4:如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC為正三角形,AA1=AB=6,D為AC的中點(diǎn).(2)證明:因?yàn)锳A1⊥底面ABC,BD?平面ABC,所以AA1⊥BD.因?yàn)榈酌妗鰽BC是正三角形,D是AC的中點(diǎn),所以BD⊥AC.因?yàn)锳A1∩AC=A,所以BD⊥平面ACC1A1,因?yàn)锽D?平面BC1D,所以平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)求三棱錐C-BC1D的體積.跟蹤訓(xùn)練4:如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC為正三角形,AA1=AB=6,D為AC的中點(diǎn).題型五空間角的求法(1)求證:B1C∥平面A1BD.(1)證明:設(shè)AB1與A1B相交于點(diǎn)P,連接PD,則P為AB1的中點(diǎn),因?yàn)镈為AC的中點(diǎn).所以PD∥B1C.又因?yàn)镻D?平面A1BD,B1C?平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)求二面角A1-BD-A的大小.(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值.規(guī)律總結(jié)空間角的求法

(1)找異面直線所成的角的三種方法

①利用圖中已有的平行線平移;②利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;③補(bǔ)形平移.(2)線面角:求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影,即確定過(guò)斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足.通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形.(3)二面角:利用幾何體的特征作