安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期秋季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題

姓名 座位號（在此卷上答題無效）絕密★啟用前安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023年秋季聯(lián)賽（高三）數(shù) 學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1至第3頁，第Ⅱ卷第4至第6頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘?？忌⒁馐马?xiàng)：1．答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號，并認(rèn)真核對答題卡上所粘貼的條形碼中姓名、座位號與本人姓名、座位號是否一致。2．答第Ⅰ卷時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。3．答第Ⅱ卷時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚。必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效。4．考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．若，其中a，，是虛數(shù)單位，則A．2 B． C．3 D．52．已知集合，集合，則A． B． C． D．3．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲-18歲的男生體重（kg），得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在的學(xué)生人數(shù)是A．20 B．30 C．40 D．504．若為偶函數(shù)，則A．1 B．0 C． D．5．若雙曲線：（，）的離心率為2，則雙曲線：的離心率為A． B． C． D．6．已知曲線在點(diǎn)，處的切線分別為，，記，與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，若，則A．0 B．1 C．2 D．37．設(shè)公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對于任意正整數(shù)n，都有為定值，則A．60 B．80 C．100 D．1208．已知，則A． B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則下列結(jié)論正確的是A．若，則點(diǎn)P的軌跡為直線 B．若，則點(diǎn)P的軌跡為圓C．若，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓 D．若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線10．投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．表1 股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2 股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是A． B．C．投資股票甲的期望收益較大 D．投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高11．已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法中正確的有A．為周期函數(shù) B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C．在區(qū)間上是減函數(shù) D．關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解12．在三棱錐P-ABC中，△PAB與△ABC都是邊長為的正三角形，且二面角P-AB-C為直角，則下列結(jié)論正確的有A．PC⊥AB B．PC與平面ABC所成角為45°C．AB上存在一點(diǎn)Q，使得∠PQC為鈍角 D．三棱錐P-ABC的外接球表面積為（在此卷上答題無效）第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）考生注意事項(xiàng)：請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．已知向量，滿足，，則．14．一個正四棱臺形油槽可以裝煤油190Ｌ，假如它的上下底面邊長分別為60cm和40cm，則該油槽的深度為cm．15．函數(shù)的所有正零點(diǎn)從小到大依次記為，，…，則．16．已知一組圓，，…，均與三個定圓，，相切，則圓，，…，的面積和為．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（10分）記△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且．（1）求的值；（2）求a的值．18．（12分）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，．（1）若，求的值；（2）若，求證：．19．（12分）甲和乙每人擲五枚硬幣，每個硬幣正面朝上或反面朝上的概率相等，且每個結(jié)果相互獨(dú)立，如果甲的硬幣正面朝上的數(shù)量比乙的多，那么這個游戲甲獲勝．如果甲乙兩人正面朝上的硬幣數(shù)量相同，那么這個游戲就是平局．（1）求甲乙兩人平局的概率；（2）求甲獲勝的概率．20．（12分）如圖，設(shè)E-ABCD與F-ABCD為兩個正四棱錐，且，點(diǎn)P在線段AC上，且C．第20題圖（1）記二面角E-BC-A，F(xiàn)-BC-A的大小分別為，，求的值；（2）記EP與FB所成的角為，求的最大值．21．（12分）已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．第21題圖（1）求橢圓的方程；（2）若經(jīng)過的直線與橢圓交于A，C，經(jīng)過的直線與橢圓交于B，D，與交于點(diǎn)P（點(diǎn)P在橢圓內(nèi)），求證：．22．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，若點(diǎn)P為函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，求P點(diǎn)處切線斜率的最大值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：，．培優(yōu)聯(lián)盟2023高三秋賽數(shù)學(xué)參考答案題號123456789101112答案BCCDABCDADACDABCABD1．【答案】B【解析】：由，得，解得所以．2．【答案】C【解析】：，，，所以．3．【答案】C【解析】：．4．【答案】D【解析】：函數(shù)定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，可得．5．【答案】A【解析】：因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，所以雙曲線的離心率．6．【答案】B【解析】：由題意知：，：，所以，，所以．7．【答案】C【解析】：，設(shè)，可得，若等式對任意正整數(shù)n都成立，則，可得，所以.8．【答案】D【解析】：由題意知，所以．9．【答案】AD【解析】：選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)，可得，軌跡為直線；選項(xiàng)B：點(diǎn)P軌跡為圓上的一段?。ǎ贿x項(xiàng)C：點(diǎn)P軌跡為線段AB；選項(xiàng)D：點(diǎn)P軌跡為雙曲線，軌跡方程為．10．【答案】ACD【解析】：，，，，，．11．【答案】ABC【解析】：選項(xiàng)A：，是周期函數(shù)；選項(xiàng)B：，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱；選項(xiàng)C：時，，所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；選項(xiàng)D：，，當(dāng)且僅當(dāng)，時方程有解，即，同時成立時方程有解，但和無法同時滿足，所以方程沒有實(shí)數(shù)解．12．【答案】ABD【解析】：取AB中點(diǎn)M，則AB⊥平面PMC，所以AB⊥PC，且∠PCM為直線PC與平面ABC所成的角，因?yàn)椋?故A、B選項(xiàng)正確.在AB上任取一點(diǎn)Q（不同于M），則，，在△CPQ中，由余弦定理可得，所以∠PQC為銳角，故C選項(xiàng)不正確．記H為△ABC的中心，在平面PMC內(nèi)，過H引CM的垂線與CP的中垂線交于點(diǎn)O，則O為三棱錐PABC外接球的球心，易知，所以三棱錐PABC外接球表面積為，故選項(xiàng)D正確．13．【答案】3【解析】：由題意知，消去可得，所以．14．【答案】75【解析】：正四棱臺體積，，代入數(shù)據(jù)可得.15.【答案】【解析】：令，可得或，所有的正零點(diǎn)為，，，，，，…則．16．【答案】【解析】：設(shè)：，：，：，若圓與，內(nèi)切，與內(nèi)切時，設(shè)圓心為，半徑為r，可得，由可知，，且有兩個；同理，若圓與，外切，與內(nèi)切時，可得，且有兩個；若圓與內(nèi)切，與外切，與內(nèi)切時，可得，且有兩個；若圓與內(nèi)切，與外切，與內(nèi)切時，可得，且有兩個；綜上所述，共有8個圓滿足題意，面積和為．17．解：（1）由正弦定理可得，又因?yàn)?，所以，且B為銳角，所以，，所以．（2）由余弦定理可知，所以，解得或（舍去）故．18．解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由可得，所以或，所以或，（1）因?yàn)?，所以，即，所以．?）因?yàn)?，所以，即，所以，故?9．解：（1）甲乙兩人的硬幣正面朝上的數(shù)量相同共有等可能的情形，每種情形發(fā)生的概率為，故甲乙兩人平局的概率．（2）注意到甲獲勝的概率與乙獲勝的概率相同，所以，進(jìn)一步解得．20．（1）解：記正方形ABCD的中心為O，則EF經(jīng)過點(diǎn)O，所以有EF⊥OA，又因?yàn)椋?，記BC的中點(diǎn)為M，連結(jié)EM，F(xiàn)M，OM，則EM⊥BC，F(xiàn)M⊥BC，OM⊥BC，所以∠EMO，∠FMO分別為二面角EBCA，F(xiàn)BCA的平面角，所以，所以．（2）以O(shè)為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，，，，則，由可知P為AO的中點(diǎn)，則，，，所以，所以當(dāng)時，取到最大值．21．解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線的斜率為（，2），則直線的方程為，代入橢圓的方程，消去y得到，即，整理可得，，因?yàn)榻?jīng)過，所以，所以，同理可得，故．22．【解析