浙江省溫州市環(huán)大羅山聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第一學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知直線，則該直線傾斜角的度數(shù)為（）A．B．C．D．2．已知平面的法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系為（）A．B．C．與相交但不垂直D．3．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為（）A．B．C．D．4．已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離最小值為（）A．1B．2C．3D．45．已知直線與橢圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．6．已知圓和兩點(diǎn)，若圓上有且僅有一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的值是（）A．B．C．或D．7．在等腰直角中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，沿與所成角為的方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)反射后回到線段之間（包括端點(diǎn)），則的取值范圍是（）A．B．C．D．8．在正方體中，棱長(zhǎng)為2，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且滿(mǎn)足直線與平面所成角為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，則長(zhǎng)度的取值范圍為（）A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則B．當(dāng)時(shí)，兩條平行線之間的距離為C．若，則D．直線過(guò)定點(diǎn)10．向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A．，使得B．若，則C．若，則D．當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為11．如圖，在平行六面體中，．底面為菱形，與的所成角均為，下列說(shuō)法中正確的是（）A．B．C．D．12．已知點(diǎn)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一定點(diǎn)，若的最大值為，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A．B．C．D．非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知圓，圓的弦被點(diǎn)平分，則弦所在的直線方程是______．14．已知雙曲線的一條漸近線為，則的焦距為_(kāi)_____．15．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事修．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最大值為_(kāi)_____．16．已知點(diǎn)分別是橢圓的上下焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若的最大值為，則橢圓的離心率為_(kāi)_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．如圖，在直三棱柱中，．（1）求證：；（2）求點(diǎn)到直線的距離．18．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求的面積．19．如圖所示，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，底面．（1）求證：平面；（2）求直線與直線所成角的余弦值．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為1的直線與在第一、四象限的交點(diǎn)分別為、，與軸的交點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，若，求的值．21．如圖，在三棱雉中，面面為等腰直角三角形，為線段上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），求點(diǎn)到平面的距離；（2）線段上是否存在點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），使得直線與平面的所成角的余弦值為．若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．已知與兩邊上中線長(zhǎng)的差的絕對(duì)值為．（1）求三角形重心的軌跡方程；（2）若，點(diǎn)在直線上，連結(jié)，與軌跡的軸右側(cè)部分交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值．2023學(xué)年第一學(xué)期溫州環(huán)大羅山聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．12345678BBACACDA二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9101112BCDBCDABDAC非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．14．15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【詳解】（1）建立直角坐標(biāo)系，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．依題意得，因?yàn)椋裕ㄏ蛄糠ǚ纸庹_2分，數(shù)量積2分）（2）（直接用點(diǎn)到線的距離公式，公式正確但運(yùn)算錯(cuò)誤給7分，公式正確且答案正確給10分）18．（1）聯(lián)立直線與橢圓方程解得．．（答案算錯(cuò)，公式寫(xiě)對(duì)得1分）（2）由題可知，左焦點(diǎn)．（答案算錯(cuò)，公式寫(xiě)對(duì)得1分）19．解：（1）如圖所示，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正半軸，方向?yàn)檩S正半軸，方向?yàn)檩S正半軸建立空間直角坐標(biāo)系．，又平面平面．（2）由（1）知直線所成線線角的余弦值為20．解：（1）設(shè)，則，由韋達(dá)定理得，，點(diǎn)坐標(biāo)為（2）由①知，，21．如圖，取中點(diǎn)，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（1）由題可知．建系坐標(biāo)1分點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），設(shè)面的法向量為（法向量表示答案不唯一）（答案計(jì)算錯(cuò)誤，公式寫(xiě)對(duì)得1分）（2）點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）或點(diǎn)為線段的十五等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．理由如下：點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，設(shè)設(shè)面的法向量為設(shè)直線與平面的夾角為．（答案計(jì)算錯(cuò)誤，公式寫(xiě)對(duì)得1分）（如寫(xiě)，但題中未設(shè)“直線與平面的夾角為”，扣1分）兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)可得，解得．點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）或點(diǎn)為線段的十五等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．22．設(shè)與的中點(diǎn)為，則由題意可得，由重心性質(zhì)得||由雙曲線的定義可知的軌跡為雙曲線，易得