概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：第二章 隨機(jī)變量及其分布

第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)§2.2離散型隨機(jī)變量的分布§2.3連續(xù)性隨機(jī)變量的分布§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布§2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)

在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)七月份福州的最高溫度燈泡的使用壽命在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以采用“數(shù)量化”的方法，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值相對應(yīng)。射手射擊擊中目標(biāo).拋硬幣實(shí)驗(yàn)這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為一種實(shí)值函數(shù).w.X(w)R量隨機(jī)變對于試驗(yàn)的每一個(gè)樣本點(diǎn)w,都對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)X(w),而X(w)是隨著實(shí)驗(yàn)結(jié)果不同而變化的一個(gè)變量。

隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量有限個(gè)或可列個(gè)可能值全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.連續(xù)型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量的分類

隨機(jī)變量的分布函數(shù)———|——>x設(shè)

X

是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為X

的分布函數(shù).F(x)也可記為FX(x).如果將X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間的概率.

分布函數(shù)的性質(zhì)3.右連續(xù):F(x+0)=F(x)已知X的分布函數(shù)為

F(x)，下列各事件的概率用F(x)

如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(X>x)P(x1<X<=x2)P(X<x)P(X=x)P(x1<X<x2)P(x1<=X<=x2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0)例1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)a,b及概率.§2.2離散型隨機(jī)變量的分布

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，pk是X取值

xk的概率，稱

k=1,2,……

為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布.

離散型隨機(jī)變量的概率分布分布列Xx1 x2 … xk …Pp1 p2 … pk …其中(k=1,2,…)滿足如下性質(zhì)：

k=1,2,…（1）（2）例1XP(1)求常數(shù)a;(2)

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)特點(diǎn)1.它的圖形是一條右連續(xù)的階梯型曲線2.在隨機(jī)變量的每一個(gè)可能取值點(diǎn)

x=xk(k=1,2,…)處,該圖形都有一個(gè)跳躍，其跳躍值為pk

幾種常見的離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布超幾何分布

兩點(diǎn)分布例2.一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量X描述廢品出現(xiàn)的情況(寫出X的分布律)。若隨機(jī)變量X的概率分布為：

P(X=1)=p,0<p<1 P(X=0)=1-p=q則稱X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)(或0-1)分布.例3.設(shè)射手每一次擊中目標(biāo)的概率為p，現(xiàn)連續(xù)射擊n次，求擊中次數(shù)X

的概率分布.

二項(xiàng)分布其中0<p<1,稱X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)若隨機(jī)變量X的概率分布為

對于固定的n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.

泊松分布若隨機(jī)變量X的概率分布為其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，簡記為泊松定理設(shè)隨機(jī)變量Xn(n=1,2,..)服從二項(xiàng)分布Xn~B(n,pn)，又設(shè)是一個(gè)常數(shù)，則有

定理的條件意味著當(dāng)

n很大時(shí)，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n

很大，p

很小時(shí)有以下近似式：其中例1.一批產(chǎn)品的廢品率為2%，從中任意抽取100個(gè)，求其中恰好有一個(gè)廢品的概率。例2.若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率為0.002,現(xiàn)有2000個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn)。參加者交納24元保險(xiǎn)金，而死亡時(shí)保險(xiǎn)公司付給其家屬5000元賠償費(fèi)。計(jì)算“保險(xiǎn)公司虧本”和“保險(xiǎn)公司盈利不少于10000元”的概率。某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是0.4，求所需射擊發(fā)數(shù)X

的概率分布.

幾何分布

在獨(dú)立試驗(yàn)序列中,若一次伯努利試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率為p,只要事件A不發(fā)生,試驗(yàn)就不斷地重復(fù)下去，直到事件A發(fā)生，試驗(yàn)才停止。設(shè)隨機(jī)變量X為直到事件A發(fā)生為止所需的試驗(yàn)次數(shù),則X的概率分布為則稱隨機(jī)變量X服從以p為參數(shù)的幾何分布，記作 。

超幾何分布設(shè)N個(gè)元素分為兩類，有M個(gè)屬于第一類，N-M個(gè)屬于第二類?，F(xiàn)在從中不重復(fù)抽取n個(gè)，其中包含的第一類元素的個(gè)數(shù)X的分布律為

其中l(wèi)=min{M,n},則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的超幾何分布，記作

§2.3連續(xù)性隨機(jī)變量的分布

對于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)函數(shù)f(x)

,使得對任意的實(shí)數(shù)x,都有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或分布密度。

概率密度

概率密度f(x)的性質(zhì)

f(x)xoof(x)xab密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個(gè)高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xo例1:某型號電子管的壽命X(小時(shí)）的概率密度為求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x).2.一電子設(shè)備內(nèi)配有3個(gè)這樣的電子管，求使用150小時(shí)都不需要更換電子管的概率

常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布

均勻分布例3：設(shè)隨機(jī)變量X~U[1,6],求二次方程沒有實(shí)根的概率。

指數(shù)分布指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.若隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從以為參數(shù)的指數(shù)分布,簡記為X~E().例1：某電子元件的使用壽命X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為(1)確定常數(shù)C;(2)壽命超過100小時(shí)的概率；

(3)已知該元件已正常使用200小時(shí)，求它至少還能正常使用100小時(shí)的概率。

指數(shù)分布的無記憶特性若隨機(jī)變量X，對任意的S>0,T>0滿足

P(X>S+T|X>S)=P(X>T)則稱X的分布具有無記憶性.

“永遠(yuǎn)年輕”！例：某機(jī)場在任何長為t的時(shí)間內(nèi)飛機(jī)來到的數(shù)目X服從參數(shù)為λt的泊松分布，求跑道的“等待時(shí)間”即相繼兩架飛機(jī)到來的時(shí)間間隔Y的概率分布。

X~P(λt),Y~?重點(diǎn)在于理解：相繼兩架飛機(jī)到來的時(shí)間間隔超過y的事件{Y>y}

等價(jià)于在y時(shí)間間隔內(nèi)飛機(jī)達(dá)到的數(shù)目為0的事件進(jìn)而將P(Y>y)轉(zhuǎn)化成P(X=0)若r.vX的概率密度為記作其中和都是常數(shù)，任意，>0，則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.

正態(tài)分布

正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)

正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于對稱的鐘形曲線.特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對稱”.

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.關(guān)于正態(tài)分布的密度函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)

1.對稱性關(guān)于X= 2.最大值在X=，max= 3.拐點(diǎn)，在X= 4.漸近線以X軸為漸進(jìn)線

5.曲線的變化規(guī)律

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系

正態(tài)分布的概率計(jì)算X>0時(shí)，查表計(jì)算；2.若1.若X～N(0,1)例1例2

例.

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,36),問車門高度應(yīng)如何確定?

分位點(diǎn)X~N(0,1),X關(guān)于α=0.05的上側(cè)分位點(diǎn)是？X~N(0,1),X關(guān)于α=0.05的雙側(cè)分位點(diǎn)是？X-2

-1

0

1

2 3Pk0.1 0.15 0.3 0.2 0.1 0.15例1已知X的分布列為a.求Y=2X-1的分布列；b.求Z=X2的分布列

離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.一般，若X是離散型r.v，X的概率函數(shù)為則Y=g(X)的分布列為Xg(x1)

g(x2) … g(xn)

Pkp1 p2 … pn Xx1 x2 … xn Pkp1 p2 … pn

連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2設(shè)X的密度函數(shù)為求Y=2X-1的概率密度.

從分布函數(shù)定義出發(fā)，通過等概率事件的轉(zhuǎn)化，建立隨機(jī)變量X與它的函數(shù)Y的分布函數(shù)之間的關(guān)