3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（原卷版）

3.：拋物線的幾何性質(zhì)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e＝1通徑長2p考點(diǎn)二：直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或重合，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)．考點(diǎn)三：直線和拋物線1．拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于軸的弦)長為2p.2．拋物線的焦點(diǎn)弦過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重難點(diǎn)技巧：拋物線的焦半徑公式如下：（為焦準(zhǔn)距）（1）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（2）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（3）焦點(diǎn)在軸正半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則；（4）焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸，拋物線上任意一點(diǎn)，則.【題型歸納】題型一：拋物線的簡單性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、范圍）1．（2021·江蘇·高二專題）下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（

）A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向右，焦點(diǎn)為C．開口向上，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為2．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為．若直線過交于，兩點(diǎn)，且，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）拋物線與圓交于、兩點(diǎn)，圓心，點(diǎn)為劣弧上不同于、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則的周長的取值范圍是A． B． C． D．題型二：拋物線的對稱性4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與拋物線相交于M，N，且，則（

）A． B．2 C． D．45．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）是拋物線上的兩點(diǎn)，，且的面積為，則（

）A． B． C． D．6．（2020秋·江蘇南通·高二如皋市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作垂直軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，且，則拋物線方程為（

）A． B． C． D．題型三：拋物線的弦長問題7．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為（）A．2 B． C． D．48．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．4 B．2 C．1 D．9．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．8題型四：拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)問題10．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，延長FB交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別記為M，N，若，則的面積為（

）A． B．4 C． D．211．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．32 B．48 C．64 D．7212．（2023春·江蘇南京·高二南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則（

）A．或 B．或 C． D．題型五：拋物線中的參數(shù)范圍13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若在軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)，使得為銳角，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．14．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線和直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．15．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，直線，動(dòng)點(diǎn)M在C上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)M到直線l與l′的距離分別為d1，d2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)d1+d2最小時(shí)，cos∠MFO＝（）A． B． C． D．題型六：拋物線的定值、定點(diǎn)問題16．（2023春·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)校）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．17．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，A、B為拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，于，定點(diǎn)使有最小值．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)（且）時(shí)，是否存在一定點(diǎn)T滿足為定值？若存在，求出T的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請說明理由．18．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切．(1)求動(dòng)圓的圓心所在軌跡的方程；(2)已知點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，點(diǎn)是軌跡上不同的兩點(diǎn)（點(diǎn)均不與點(diǎn)重合），設(shè)直線的斜率分別為，且滿足，證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【雙基達(dá)標(biāo)】單選題19．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┮阎獮閽佄锞€的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線，P為C上一點(diǎn)，，，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．821．（2022·江蘇·高二期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作y軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)A，且滿足，則的值為（

）A．4 B．1 C．2 D．822．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，Q為上一點(diǎn)，M為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)且為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在x軸上，且在點(diǎn)F的右側(cè)，，，，則準(zhǔn)線的方程為（

）A． B． C． D．23．（2022·江蘇·高二假期作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．24．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且與E的準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，點(diǎn)F是E的焦點(diǎn)，若的面積是的面積的2倍，則（

）A． B． C．10 D．1725．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．B．C．直線AQ與BQ的斜率之和為0D．準(zhǔn)線l上存在點(diǎn)M，若為等邊三角形，可得直線AB的斜率為26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，.(1)求；(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與垂直的直線與拋物線交于，求四邊形的面積.27．（2023春·江蘇鹽城·高二?？计谥校┮阎c(diǎn)在拋物線：上.(1)求拋物線C的準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線與C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最小值.【高分突破】一、單選題28．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線C：y2＝2px（p＞0），過它的焦點(diǎn)F作直線交曲線C于M、N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，可證明是一個(gè)定值m，則m＝（）A． B．1 C．2 D．29．（2021·高二單元測試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若、分別垂直準(zhǔn)線于、，四邊形的周長為40，則（

）A． B．或 C． D．30．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）是拋物線C：上一定點(diǎn)，A，B是C上異于P的兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率，滿足為常數(shù)，，且直線AB的斜率存在，則直線AB過定點(diǎn)（）A． B．C． D．31．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線：（）上的動(dòng)點(diǎn)，若的最小值為1，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題32．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知是拋物線的焦點(diǎn)，，是拋物線上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．若，則的面積為C．若直線過焦點(diǎn)，且，則到直線的距離為D．若，則33．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2 B．拋物線關(guān)于軸對稱C．的最小值為4 D．過點(diǎn)且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且只有一條34．（2022秋·高二單元測試）設(shè)點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）35．（2022秋·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處的切線方程為C．的最小值為D．的最大值為36．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F、準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為，則（

）A．若，則B．以為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切C．設(shè)，則D．過點(diǎn)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條37．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)校考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的方程為的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)到軸的距離為2，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為6B．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．若，則直線的方程為D．若,則面積的最小值為三、填空題38．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省江都中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．39．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．40．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，與的公共點(diǎn)為M，N，且，則的離心率是．41．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是．四、解答題42．（2023春·江蘇南通·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)，過C的焦點(diǎn)F斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，的面積為(1)求拋物線C的方程；(2)若P為C上位于第一象限的任一點(diǎn)，直線l與C相切于點(diǎn)P，連接PF并延長交C于點(diǎn)M，過P點(diǎn)作l的垂線交C于另一點(diǎn)N，求面積S的最小值．43．（2023秋·江蘇南京·高二南京市大廠高級中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，點(diǎn)．(1)設(shè)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．44．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學(xué)?？计谀┮阎獮閽佄锞€的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，拋