2.第二章 激光器的工作原理

PAGEPAGE80第2章激光器的工作原理目前有關(guān)激光器的理論已經(jīng)發(fā)展得十分完善。本章將對(duì)激光器的工作原理進(jìn)行詳細(xì)介紹與討論。首先，討論激光器的主要組成部分——光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性，然后分析描述激光器工作過(guò)程的數(shù)學(xué)模型—速率方程組，從這個(gè)模型出發(fā)討論粒子數(shù)密度發(fā)生反轉(zhuǎn)的條件，工作過(guò)程中增益介質(zhì)的飽和現(xiàn)象以及激光工作的閾值。希望通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，能使讀者對(duì)激光器工作過(guò)程的物理圖像有比較清晰的理解，也為學(xué)習(xí)后面的章節(jié)作一些必要的準(zhǔn)備。2.1光學(xué)諧振腔結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性激光是在光學(xué)諧振腔中產(chǎn)生的。上一章已經(jīng)指出諧振腔對(duì)激光的形成和激光束的特性起重要的作用，它的主要功能之一是使光在腔內(nèi)來(lái)回反射多次以增長(zhǎng)激活介質(zhì)作用的工作長(zhǎng)度，提高腔內(nèi)的光能密度。如圖（1-21）所示的兩塊平面鏡就可以使與平面垂直的光線在腔內(nèi)來(lái)回反射任意多次而不會(huì)投射到平面鏡的通光口徑之外。顯而易見(jiàn)的是，不垂直于反射鏡表面的傍軸光線經(jīng)過(guò)有限次的反射就會(huì)投射到平面鏡的通光口徑之外，而使得激活介質(zhì)作用的工作長(zhǎng)度只得到很有限的增長(zhǎng)。所以，光線能夠在諧振腔中反射的次數(shù)與其結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。能夠使腔中任一束傍軸光線經(jīng)過(guò)任意多次往返傳播而不逸出腔外的諧振腔能夠使激光器穩(wěn)定地發(fā)出激光，這種諧振腔叫做穩(wěn)定腔，反之稱為不穩(wěn)定腔。本節(jié)討論光學(xué)諧振腔的結(jié)構(gòu)與穩(wěn)定性的關(guān)系。2.1.1共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件光學(xué)諧振腔都是由相隔一定距離的兩塊反射鏡組成的。無(wú)論是平面鏡還是球面鏡，無(wú)論是凸面鏡還是凹面鏡，都可以用“共軸球面”的模型來(lái)表示。因?yàn)橹灰褍蓚€(gè)反射鏡的球心連線作為光軸，整個(gè)系統(tǒng)總是軸對(duì)稱的，兩個(gè)反射面可以看成是“共軸球面”。平面鏡是半徑為無(wú)窮大的球面鏡。如果其中一塊是平面鏡，可以用通過(guò)另一塊球面鏡球心與平面鏡垂直的直線作為光軸。平行平面腔的光軸則可以是與平面鏡垂直的任一直線。當(dāng)然兩個(gè)平面鏡不平行不能產(chǎn)生諧振，不在討論之列。圖（2-1）共軸球面腔結(jié)構(gòu)示意圖如圖（2-1）所示，共軸球面腔的結(jié)構(gòu)可以用三個(gè)參數(shù)來(lái)表示：兩個(gè)球面反射鏡的曲率半徑R1、R2，和腔長(zhǎng)即與光軸相交的反射鏡面上的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離L。如果規(guī)定凹面鏡的曲率半徑為正，凸面鏡的曲率半徑為負(fù)，可以證明（參閱《激光原理》第二章第2節(jié)，P29，周炳琨等編，國(guó)防工業(yè)出版社，1995），共軸球面腔的穩(wěn)定性條件是（2-1）上式左邊成立的條件等價(jià)于和同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)，這就要求兩鏡面的曲率半徑為正時(shí)必須同時(shí)大于腔長(zhǎng)或同時(shí)小于腔長(zhǎng)。如果鏡面的曲率半徑同時(shí)為負(fù)，盡管上式左邊成立，右邊的不等式卻不成立。如果鏡面的曲率半徑一正一負(fù)，則需要具體討論。2.1.2共軸球面腔的穩(wěn)定圖及其分類為了直觀起見(jiàn),常用穩(wěn)定圖來(lái)表示共軸球面腔的穩(wěn)定條件。首先定義兩個(gè)參數(shù)共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件（2-1）式可改寫為（2-2）即當(dāng)（2-2）式成立時(shí)為穩(wěn)定腔；當(dāng)（2-3）時(shí)為非穩(wěn)腔；當(dāng)（2-4）時(shí)為臨界腔。以gl為橫軸，g2為縱軸建立直角坐標(biāo)系，畫出g1g2＝1的兩條雙曲線。由gl、g2軸和g1g2＝1的兩條雙曲線可以區(qū)分出（2-2）式—(圖（2-2）穩(wěn)定腔圖利用穩(wěn)定條件可將球面腔進(jìn)一步分類如下：1．穩(wěn)定腔(1)雙凹穩(wěn)定腔由兩個(gè)凹面鏡組成。其中，R1＞L，R2＞L的腔對(duì)應(yīng)圖中l(wèi)區(qū)；R1＜L，R2＜L，及R1+R2＞L的腔對(duì)應(yīng)圖中2、3和4區(qū)。(2)平凹穩(wěn)定腔由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成。其中，凹面鏡R＞L，它對(duì)應(yīng)圖中AC、AD段。(3)凹凸穩(wěn)定腔由一個(gè)凹面鏡和一個(gè)凸面鏡組成。滿足條件R1＞0，R2＜0，R1＞R2，R1＞L＞R1－R2；或R2＞R1＞L的腔對(duì)應(yīng)圖中5區(qū)。R1＜0，R2＞0，R2＞R1，R2＞L＞R2－R1；或R1＞R2＞L的腔對(duì)應(yīng)圖中6區(qū)。(4)共焦腔R1＝R2＝L，因而g1=0，g2=0，它對(duì)應(yīng)圖中的坐標(biāo)原點(diǎn)。因?yàn)槿我獍S光線均可在共焦腔內(nèi)無(wú)限往返而不逸出腔外，所以它是一種穩(wěn)定腔。但從穩(wěn)區(qū)圖上看，原點(diǎn)鄰近有非穩(wěn)區(qū)，所以說(shuō)它是一種很特殊的穩(wěn)定腔。(5)半共焦腔由一個(gè)平面鏡和一個(gè)R=2L的凹面鏡組成的腔。它對(duì)應(yīng)圖中E和F點(diǎn)。2．臨界腔(1)平行平面腔因g1＝g2＝1，它對(duì)應(yīng)圖中的A點(diǎn)。只有與腔軸平行的光線才能在腔內(nèi)往返而不逸出腔外。(2)共心腔滿足條件R2＋R2＝L的腔稱為共心腔。如果R1＞0，R2＞0，且R1＋R2＝L，公共中心在腔內(nèi)，稱為實(shí)共心腔。這時(shí)，gl＜0，g2＜0，g1g2＝1，它對(duì)應(yīng)圖中第三象限的g1g2＝1的雙曲線。特別，在R1＝R2＝R＝L／2，g1＝g2＝－1時(shí)，為對(duì)稱共心腔，它對(duì)應(yīng)圖中B點(diǎn)。如果R1和R2異號(hào)，且R2＋R2＝L，公共中心在腔外，稱為虛共心腔。由于g1＞0，g2＞0，g1g2＝1，它對(duì)應(yīng)圖中第一象限的g(3)半共心腔由一個(gè)平面鏡和一個(gè)凹面鏡組成。凹面鏡半徑R＝L，因而，g1＝1，g2＝0，它對(duì)應(yīng)圖中C點(diǎn)和D點(diǎn)。實(shí)共心腔內(nèi)有一個(gè)光束會(huì)聚點(diǎn)，會(huì)引起工作物質(zhì)的破壞；半共心腔的光束會(huì)聚點(diǎn)在平面鏡上，會(huì)引起反射鏡的破壞。因此，有實(shí)際價(jià)值的臨界腔只有平行平面腔和虛共心腔。3．非穩(wěn)腔對(duì)應(yīng)圖中陰影部分的光學(xué)諧振腔都是非穩(wěn)腔。非穩(wěn)腔，因其對(duì)光的幾何損耗大，不宜用于中小功率的激光器。但對(duì)于增益系數(shù)G大的固體激光器，也可用非穩(wěn)定腔產(chǎn)生激光，其優(yōu)點(diǎn)是可以連續(xù)地改變輸出光的功率，在某些特殊情況下能使光的準(zhǔn)直性、均勻性比較好。區(qū)分穩(wěn)定腔與非穩(wěn)腔在制造和使用激光器時(shí)有很重要的實(shí)際意義，由于在穩(wěn)定腔內(nèi)傍軸光線能往返傳播任意多次而不逸出腔外，因此這種腔對(duì)光的幾何損耗（指因反射而引起的損耗）極小，一般中小功率的氣體激光器(由于增益系數(shù)G小)常用穩(wěn)定腔，它的優(yōu)點(diǎn)是容易產(chǎn)生激光。以下將會(huì)看到，整個(gè)激光穩(wěn)定腔的模式理論是建立在對(duì)稱共焦腔的基礎(chǔ)上的，因此，對(duì)稱共焦腔是最重要和最有代表性的一種穩(wěn)定腔。2．1．3穩(wěn)定圖的應(yīng)用有了穩(wěn)定圖，選取光學(xué)諧振腔的腔長(zhǎng)或反射鏡的曲率半徑就方便多了，現(xiàn)舉例如下：（1）要制作一個(gè)腔長(zhǎng)為L(zhǎng)的對(duì)稱穩(wěn)定腔，反射鏡曲率半徑的取值范圍如何確定？在穩(wěn)定圖中，對(duì)稱腔對(duì)應(yīng)于區(qū)域1、2中連接A、B兩點(diǎn)的線段AB，如圖（2-2）。由AB線段所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值范圍立即就可找到曲率半徑的范圍是：L/2R＜，最大曲率半徑可以取R1＝R2，這是平行平面腔，最小取R1＝R2＝L/2，即共心腔。（2）給定穩(wěn)定腔的一塊反射鏡，要選配另一塊反射鏡的曲率半徑，其取值范圍如何確定?根據(jù)已有反射鏡的數(shù)據(jù)，例如R1＝2L，求出g1＝l－L/R1＝0.5，在穩(wěn)定圖g1軸上找出相應(yīng)的C點(diǎn)，如圖(2-3a)，過(guò)C點(diǎn)作一直線平行于g2軸，此直線落在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的線段CD就是所要求的另一塊反射鏡曲率半徑的取值范圍，由CD上任一點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的R2值都能與已有的反射鏡配成穩(wěn)定腔，R2可用凹面鏡，也可用凸面鏡，若用凹面鏡，則取值范圍為：LR2＜，若用凸面鏡，取值范圍為－＜R2－L。（3）如果已有兩塊反射鏡，曲率半徑分別為R1、R2，欲用它們組成穩(wěn)定腔，腔長(zhǎng)范圍如何確定？ 由已知的曲率半徑求出k＝R2/R1，代入g1、g2的表達(dá)式中，找出g1、g2的方程，從而找出腔長(zhǎng)的取值范圍。例如，k＝2，有這是斜率為0.5、截距為0.5的直線方程，此直線落在穩(wěn)定區(qū)中的線段為AE、DF，如圖(2-3b)。圖2－3（b）中的線段中的AE線段對(duì)應(yīng)的腔長(zhǎng)取值范圍為0＜LR1，圖2－3（b）中的線段DF對(duì)應(yīng)的腔長(zhǎng)取值范圍為2R1L3R1。圖（2-3a）穩(wěn)定圖示解法一圖（2-2.2速率方程組與粒子數(shù)反轉(zhuǎn)有了光學(xué)諧振腔，在其中充以激光工作物質(zhì)，并在外界激勵(lì)源作用下，將下能級(jí)的粒子抽運(yùn)到上能級(jí),使激光上下能級(jí)之間產(chǎn)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，激光器就可以工作。1.5節(jié)對(duì)這一工作過(guò)程作了定性的分析，本節(jié)建立一種定量的分析方法。首先討論激活介質(zhì)中抽運(yùn)、自發(fā)輻射、受激輻射與受激吸收同時(shí)發(fā)生的物理模型，建立描述這個(gè)物理過(guò)程的速率方程組，然后再根據(jù)速率方程組討論介質(zhì)中形成粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)的條件以及在粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)狀態(tài)下各參量之間的關(guān)系。2.2.1三能級(jí)系統(tǒng)和四能級(jí)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)上下能級(jí)之間粒子數(shù)反轉(zhuǎn)產(chǎn)生激光的絕大多數(shù)物理機(jī)制可以歸結(jié)為兩種，即所謂三能級(jí)系統(tǒng)和四能級(jí)系統(tǒng)。三能級(jí)系統(tǒng)中參與激光產(chǎn)生過(guò)程的有三個(gè)能級(jí)，如1960年發(fā)明的第一臺(tái)紅寶石激光器就是用的三能級(jí)系統(tǒng)（圖（2-4a））。產(chǎn)生激光的下能級(jí)E1是基態(tài)能級(jí)，激光的上能級(jí)E2是亞穩(wěn)態(tài)能級(jí)，E3為抽運(yùn)高能級(jí)。E3實(shí)際上常常不是單一的能級(jí)，而是代表比E2高的一些激發(fā)態(tài)能級(jí)。在激勵(lì)源作用下，下能級(jí)的粒子被抽運(yùn)到E3能級(jí)。E3能級(jí)上粒子壽命很短，會(huì)通過(guò)非輻射躍遷轉(zhuǎn)移到亞穩(wěn)態(tài)的激光上能級(jí)E2上。處于能級(jí)E2上的粒子比較穩(wěn)定，壽命較長(zhǎng)。當(dāng)下能級(jí)E1的粒子多于一半被抽運(yùn)到上能級(jí)E2后，就在E2、E1之間產(chǎn)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布。三能級(jí)系統(tǒng)的主要特征是激光的下能級(jí)為基態(tài)，通常情況下，基態(tài)是充滿粒子的。而且在激光的發(fā)光過(guò)程中，下能級(jí)的粒子數(shù)一直保有著相當(dāng)?shù)臄?shù)量。四能級(jí)系統(tǒng)（圖（2-4b））中產(chǎn)生激光的下能級(jí)E1不是基態(tài)能級(jí)，粒子抽運(yùn)是從比下能級(jí)E1更低的基態(tài)能級(jí)E0上進(jìn)行的。粒子抽運(yùn)到吸收帶E3上以后，同樣由于非輻射躍遷轉(zhuǎn)移到亞穩(wěn)態(tài)的激光上能級(jí)E2上。激光的下能級(jí)E1是個(gè)激發(fā)態(tài)能級(jí)，在常溫下基本是空的，粒子在能級(jí)E1的壽命極短，很容易在E2、E1之間產(chǎn)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布。因此，四能級(jí)系統(tǒng)所需要的激勵(lì)能量要比三能級(jí)系統(tǒng)小得多，產(chǎn)生激光比三能級(jí)系統(tǒng)容易得多。常用的氦氖激光器和摻釹釔鋁石榴石(Nd:YAG)激光器的發(fā)光機(jī)制就是四能級(jí)系統(tǒng).（圖（2-4a））三能級(jí)系統(tǒng)示意圖（圖（2-4b））四能級(jí)系統(tǒng)示意圖2.2.2速率方程組考慮到大多數(shù)激光工作物質(zhì)是四能級(jí)系統(tǒng)，以四能級(jí)系統(tǒng)為例來(lái)建立速率方程組，三能級(jí)系統(tǒng)可以用同樣的方法處理。圖(2-5)為簡(jiǎn)化了的四能級(jí)系統(tǒng)的能級(jí)圖。E2、E1分別為激光上、下能級(jí)，E0為基態(tài)。設(shè)上、下能級(jí)的粒子數(shù)密度分別為n2、n1，基態(tài)的粒子數(shù)密度為n0，n為單位體積內(nèi)增益介質(zhì)的總粒子數(shù)，在諧振腔中傳播的單色光能密度為。當(dāng)激勵(lì)能源開始工作后，它以速率R2把粒子由基態(tài)E0抽運(yùn)到E2能級(jí)上，使E2能級(jí)上的粒子數(shù)密度以R2速率增加。同時(shí)它也以速率R1把粒子由基態(tài)E0抽運(yùn)到E1能級(jí)上。對(duì)E1能級(jí)的抽運(yùn)是不希望卻又無(wú)法完全避免的。由于激發(fā)態(tài)粒子的壽命有限，E2能級(jí)上的粒子將通過(guò)受激輻射、自發(fā)輻射等方式不斷地離開，使E2能級(jí)上的粒子數(shù)密度減少?？紤]到介質(zhì)的線型函數(shù)遠(yuǎn)比傳播著的光能密度為的單色受激輻射光的線寬要寬，E2能級(jí)上的粒子數(shù)密度的減小速率可表示為表示為（）。同時(shí)E1能級(jí)上的粒子通過(guò)吸收躍遷又使E2能級(jí)上的粒子數(shù)密度n1B12f()的速率增加。因此，總起來(lái)，E2能級(jí)在單位時(shí)間內(nèi)粒子數(shù)密度的增加可以由如下方程表示(2-5a)圖（2-5）簡(jiǎn)化的四能級(jí)圖另一方面，E1能級(jí)上的粒子也將通過(guò)受激躍遷、自發(fā)輻射等方式不斷地離開E1能級(jí)，使E1能級(jí)上的粒子數(shù)密度以速率以速率（）減少，同時(shí)，E2能級(jí)的受激輻射、自發(fā)輻射等又使E1能級(jí)上的粒子數(shù)以n2A21+n2B21f()的速率增加?？偲饋?lái)，單位時(shí)間內(nèi)E1(2-5b)而總的粒子數(shù)為各能級(jí)上粒子數(shù)之和（2-5c）上述三個(gè)方程組成描述各能級(jí)上的粒子數(shù)密度隨時(shí)間變化規(guī)律的速率方程組，它是個(gè)微分方程組。由這個(gè)方程組出發(fā)，原則上可以計(jì)算出任何時(shí)刻各個(gè)能級(jí)上的粒子數(shù)量，因而可以用來(lái)研究上下能級(jí)之間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)的問(wèn)題。2.2.3穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布首先來(lái)簡(jiǎn)化(2-5)式表示的微分方程組。(2-5)式描述的是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，而激光器在工作的時(shí)候會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的動(dòng)平衡，各能級(jí)上粒子數(shù)密度并不隨時(shí)間而改變，即從而第一步可將微分方程組簡(jiǎn)化為一個(gè)描述穩(wěn)態(tài)過(guò)程的代數(shù)方程組。不失一般性，可以假設(shè)能級(jí)E2、E1的簡(jiǎn)并度相等，即g1=g2。因此有又，對(duì)許多四能級(jí)系統(tǒng)的高效率激光器，可以認(rèn)為E2能級(jí)向E1能級(jí)的自發(fā)躍遷幾率遠(yuǎn)大于E2能級(jí)向基態(tài)E0的自發(fā)躍遷幾率，即有此時(shí)，速率方程組簡(jiǎn)化為（2-6a）（2-6b）兩式相加，有將上式代回(2-6a)式得式中、分別為上、下能級(jí)上粒子的壽命。激光上、下能級(jí)間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布n可以表示為(2-7)(2-7)式就是一般的穩(wěn)態(tài)情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值與各參量之間的關(guān)系式。2.2.4小信號(hào)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布式(2-7)中的參數(shù)的表達(dá)式為（2-8）它是當(dāng)分母中的第二項(xiàng)為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值。由于分母中的第二項(xiàng)一定是個(gè)正值，因此它又是粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值可能達(dá)到的最大值。顯然，、和作為物理常數(shù)是不能改變的，不會(huì)為零,只有在諧振腔中傳播的單色光能密度可能趨近于零。換句話說(shuō)，參數(shù)對(duì)應(yīng)著諧振腔的單色光能密度為零或者近似為零時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的大小。在激光諧振腔中尚未建立受激輻射光放大的穩(wěn)定工作狀態(tài)發(fā)出激光之前，諧振腔內(nèi)單色光能密度相對(duì)于穩(wěn)定工作發(fā)出激光時(shí)的值要小得多，可認(rèn)為近似為零。因此參數(shù)對(duì)應(yīng)著激光諧振腔尚未發(fā)出激光時(shí)的狀態(tài)，通常把這個(gè)狀態(tài)叫作小信號(hào)工作狀態(tài)，而參數(shù)就被稱作是小信號(hào)工作時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布。式(2-8)給出了小信號(hào)工作時(shí)粒子數(shù)密度在能級(jí)間的反轉(zhuǎn)分布值與能級(jí)壽命、抽運(yùn)速率之間的關(guān)系?？梢钥闯?，首先，在選擇激光上、下能級(jí)時(shí)應(yīng)該滿足這樣的要求：E2能級(jí)的壽命要長(zhǎng)，使該能級(jí)上的粒子不能輕易通過(guò)非受激輻射而離開；E1能級(jí)的壽命要短，使E1能級(jí)上的粒子能很快地衰減。這就是說(shuō)，滿足條件2＞1的能級(jí)，有利于實(shí)現(xiàn)能級(jí)間的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布。其次，應(yīng)該選擇合適的激勵(lì)能源，使它對(duì)介質(zhì)的E2能級(jí)的抽運(yùn)速率R2愈大愈好，對(duì)E1能級(jí)的抽運(yùn)速率R1愈小愈好。2.2.5均勻增寬型介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布表達(dá)式中包含有激光工作物質(zhì)的光譜線型函數(shù)，這就意味著激光工作物質(zhì)的光譜線型函數(shù)對(duì)激光器的工作有很大影響。首先來(lái)討論均勻增寬型介質(zhì)的情況。1.4節(jié)中給出均勻增寬的介質(zhì)的線型函數(shù)為f()中心頻率值為如果介質(zhì)中傳播著的光波頻率為0，則于是光波頻率為時(shí)，(2-7)式分母上的第二項(xiàng)可改寫為式中Is為飽和光強(qiáng)，其定義為(2-9)如果介質(zhì)中傳播著的光波頻率，則(2-7)式分母上的第二項(xiàng)可以化簡(jiǎn)為這樣，(2-7)式就可以表示為(2-10)(2-10)式就是均勻增寬型介質(zhì)內(nèi)E2、El能級(jí)之間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的表達(dá)式，它給出了能級(jí)間的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值與腔內(nèi)光強(qiáng)I、光波的中心頻率、介質(zhì)的飽和光強(qiáng)Is、激勵(lì)能源的抽運(yùn)速率R2、R1以及介質(zhì)能級(jí)的壽命2、1等諸參量之間的關(guān)系(后兩項(xiàng)體現(xiàn)在n0中)。2.2.6均勻增寬型介質(zhì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和效應(yīng)(2-10)式表明,當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)I0(即小訊號(hào))時(shí)，介質(zhì)中的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n最大，其值為n0，n0由能級(jí)壽命、抽運(yùn)速率決定。對(duì)一定的介質(zhì)，愈大，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n0也愈大。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)的影響不能忽略時(shí)，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n將隨光強(qiáng)的增加而減小，此現(xiàn)象稱為粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的飽和效應(yīng)。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)一定時(shí)，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n隨腔內(nèi)光波頻率而變，圖(2-6)給出了I一定時(shí)n隨變化的曲線。為了更具體地說(shuō)明頻率對(duì)n的影響，令腔中光強(qiáng)都等于Is，根據(jù)(2-10)式算出幾個(gè)頻率下的n值。結(jié)果表明，頻率為的光波能使粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值下降一半，而頻率為的光波僅能使粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值下降16。隨著頻率對(duì)中心頻率的偏離，光波對(duì)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的影響逐漸減小。為了確定對(duì)介質(zhì)有影響的光波的頻率范圍，通常采用與線型函數(shù)的線寬同樣的定義方法：頻率為、強(qiáng)度為Is的光波使n0減少了n02，這里把使n0減少的光波頻率與0之間的間隔定義為能使介質(zhì)產(chǎn)生飽和作用的頻率范圍，計(jì)算表明這個(gè)范圍是（2-11）粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值不能由實(shí)驗(yàn)直接測(cè)定。但是(1-90)式給出了增益系數(shù)和粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值之間的關(guān)系，而增益系數(shù)G是可以由實(shí)驗(yàn)測(cè)定的，因此，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n的表示式的正確性可以通過(guò)測(cè)定G而間接地得到驗(yàn)證。圖（2-6）n的飽和效應(yīng)需要說(shuō)明的是，雖然公式(2-10)是經(jīng)過(guò)較多簡(jiǎn)化后導(dǎo)出的，但是實(shí)驗(yàn)證明，在激光器工作的過(guò)程中，它能夠反映增益介質(zhì)與各個(gè)參量之間關(guān)系的主要特性。2.3均勻增寬介質(zhì)的增益系數(shù)和增益飽和增益系數(shù)對(duì)激光器的工作特性起著十分重要的作用，本節(jié)將對(duì)增益系數(shù)進(jìn)行深入的討論。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不同的介質(zhì)，其增益系數(shù)可以有很大的差別，同一種介質(zhì)的增益系數(shù)也隨工作條件的變化而改變。介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率變化的規(guī)律和介質(zhì)的線型函數(shù)隨頻率變化的規(guī)律相似。當(dāng)測(cè)量增益系數(shù)所用的入射光強(qiáng)度很小尚未發(fā)出激光時(shí)，測(cè)得的增益系數(shù)是一個(gè)常數(shù)，可以視為上一節(jié)中定義的小訊號(hào)的增益系數(shù)。當(dāng)測(cè)量所用的光強(qiáng)增大到一定程度后，增益系數(shù)G的值將隨光強(qiáng)的增大而下降，產(chǎn)生增益飽和現(xiàn)象。這些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象都將在本節(jié)進(jìn)行討論。2.3.1均勻增寬介質(zhì)的增益系數(shù)1.5節(jié)中說(shuō)明了當(dāng)增益介質(zhì)中發(fā)生粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布時(shí)，受激輻射將大于受激吸收，在介質(zhì)中傳播的光將得到受激放大。標(biāo)志介質(zhì)受激放大能力的物理量─增益系數(shù)G可以用式(1-90)表示為該式說(shuō)明，增益系數(shù)與介質(zhì)的若干物理常數(shù)有關(guān)，同時(shí)還取決于介質(zhì)中的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n。對(duì)于均勻增寬介質(zhì),將粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布(2-10)式代入（1-90）式，得到（2-12）當(dāng)介質(zhì)中尚未發(fā)生光放大時(shí),粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n達(dá)到最大值，與之對(duì)應(yīng)的增益系數(shù)可以定義為小訊號(hào)增益系數(shù)（2-13）式中代表介質(zhì)的線型函數(shù)，并且已用來(lái)代替。由于光的頻率很大，線寬，所以與可以互相替代。將（2-13）式代入（2-12）式得到（2-14）這就是均勻增寬介質(zhì)增益系數(shù)的表達(dá)式。因?yàn)樾∮嵦?hào)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)與光強(qiáng)無(wú)關(guān)，所以（2-13）表示的小訊號(hào)增益系數(shù)也與光強(qiáng)無(wú)關(guān)，而僅僅是頻率的函數(shù)。這說(shuō)明增益介質(zhì)對(duì)不同頻率的光波有不同的小訊號(hào)增益系數(shù)，與譜線的線型函數(shù)有相似的變化規(guī)律，如圖(2-7)所示。從圖中可以看出，譜線中心頻率處的增益系數(shù)值最大，隨著頻率對(duì)中心頻率的偏離，小訊號(hào)增益系數(shù)也逐漸減小。圖（2-7）均勻增寬介質(zhì)小訊號(hào)增益系數(shù)對(duì)均勻增寬型介質(zhì)，中心頻率處線型函數(shù)值，代到(2-13)式中，可得到中心頻率處的小訊號(hào)增益系數(shù)（2-15）(2-15)式說(shuō)明，中心頻率處的小信號(hào)增益系數(shù)與線寬成反比，其原因是線型函數(shù)的歸一化條件決定了線寬愈小，中心頻率處的值愈大，受激輻射幾率也愈大，因此增益系數(shù)也愈大。2.3.2均勻增寬介質(zhì)的增益飽和在測(cè)定增益系數(shù)的實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在抽運(yùn)速率一定的條件下，當(dāng)入射光的光強(qiáng)很弱時(shí)，增益系數(shù)是一個(gè)常數(shù)；當(dāng)入射光的光強(qiáng)增大到一定程度后，增益系數(shù)隨光強(qiáng)的增大而減小，這種現(xiàn)象稱為增益飽和。增益系數(shù)隨光強(qiáng)的增加而減小是因?yàn)楣獾氖芗ぽ椛鋵?duì)介質(zhì)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布有著強(qiáng)烈的影響造成的。當(dāng)諧振腔中光強(qiáng)很弱時(shí)，介質(zhì)的受激輻射幾率很小，粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布幾乎不隨光強(qiáng)變化，介質(zhì)對(duì)光波的增益系數(shù)也不隨光強(qiáng)改變。此時(shí)，光波在介質(zhì)中以最大的相對(duì)增長(zhǎng)率不斷地獲得放大。當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)逐漸增強(qiáng)，介質(zhì)中的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值將因受激輻射的消耗而明顯下降，光強(qiáng)越強(qiáng)，受激輻射幾率越大，上能級(jí)粒子數(shù)密度減少得越多，這就使粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值也下降得越多，進(jìn)而使增益系數(shù)也同樣下降，這就是增益飽和的實(shí)質(zhì)。但是這里應(yīng)該提請(qǐng)注意的是，上面所說(shuō)的光強(qiáng)的大小都是相對(duì)于飽和光強(qiáng)Is而言的，也就是指比值的大小。增益飽和現(xiàn)象可分三種情況進(jìn)行討論。1、介質(zhì)對(duì)頻率為、光強(qiáng)為I的光波的增益系數(shù)介質(zhì)中傳播著強(qiáng)度為I、頻率的光波時(shí)，介質(zhì)對(duì)此光波的增益系數(shù)可由(2-14)式得出為（2-16）式中包含的飽和光強(qiáng)Is在上一節(jié)中已經(jīng)定義，它是激光工作物質(zhì)的一個(gè)重要參量，是發(fā)光物質(zhì)光學(xué)性質(zhì)的反映。不同激光工作物質(zhì)的飽和光強(qiáng)Is值不相同。有些介質(zhì)如二氧化碳，它的飽和光強(qiáng)值很大。由二氧化碳構(gòu)成的激光器，即使腔內(nèi)光強(qiáng)的數(shù)值已經(jīng)很大，與介質(zhì)的飽和光強(qiáng)Is的比值仍遠(yuǎn)小于l，介質(zhì)對(duì)光波的增益仍然很大。直到腔內(nèi)光強(qiáng)的數(shù)值大到足以與飽和光強(qiáng)相比擬時(shí)，介質(zhì)對(duì)光波的增益才開始下降而出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。因此，由飽和光強(qiáng)大的二氧化碳介質(zhì)制成的激光器，腔內(nèi)光強(qiáng)將會(huì)很強(qiáng)。而另外一些介質(zhì)，例如氦氖激光器的工作物質(zhì)，飽和光強(qiáng)很小。在氖氖激光器中，腔內(nèi)光強(qiáng)不很大時(shí)，其飽和光強(qiáng)相比已經(jīng)是一個(gè)不可忽略的值了，因此介質(zhì)在不大的光強(qiáng)下就使增益系數(shù)開始下降，出現(xiàn)了增益飽和現(xiàn)象。這時(shí)，光波在介質(zhì)中的放大率開始下降，隨著光強(qiáng)I繼續(xù)增加，比值繼續(xù)增大，I被放大的相對(duì)增長(zhǎng)率繼續(xù)下降，直至光放大過(guò)程趨于停止。因此，飽和光強(qiáng)小的介質(zhì)，腔內(nèi)光強(qiáng)一定不會(huì)很大?？梢?jiàn)，飽和光強(qiáng)的確是介質(zhì)的一個(gè)重要參量，它決定著腔內(nèi)光強(qiáng)以至激光器輸出功率的大小。下面給出幾個(gè)激光器飽和光強(qiáng)數(shù)值，以供分析問(wèn)題時(shí)參考：氦氖激光器(6328?譜線)，Is0.3W／mm2氬離子激光器(5145?譜線)，Is7W／mm2縱向二氧化碳激光器(10.6m譜線)，Is2W／mm2、介質(zhì)對(duì)頻率為、強(qiáng)度為的光波的增益系數(shù)當(dāng)均勻增寬型介質(zhì)中傳播著頻率為、強(qiáng)度為的光波時(shí)，介質(zhì)中增益系數(shù)隨光強(qiáng)I而變化的規(guī)律為(2-14)式，將均勻增寬的線型函數(shù)代入得到(2-17)此式說(shuō)明：當(dāng)腔內(nèi)光波的頻率時(shí)也會(huì)引起增益飽和，只是不如當(dāng)時(shí)的作用那樣顯著。從式中亦可看出，當(dāng) (2-18)時(shí)，光強(qiáng)對(duì)增益系數(shù)的影響幾乎可以忽略。把(2-17)式的形式稍加改變即可得到用中心頻率處小信號(hào)增益系數(shù)表示的增益系數(shù)的表達(dá)式(2-19)為了比較各種頻率的光波在介質(zhì)中獲得增益的大小，也為了比較各種頻率的光波對(duì)增益系數(shù)作用的大小，根據(jù)(2-19)式列表2-1如下，令表中各種頻率光波的光強(qiáng)都等于飽和光強(qiáng)Is。并作的曲線如圖(2-8)所示。頻率增益系數(shù)圖（2-8）均勻增寬型增益飽和由表2-1和圖(2-8)可以看出，在光強(qiáng)I＝Is的光波作用下，介質(zhì)對(duì)頻率為的光波的增益系數(shù)值最大，該光波的增益飽和作用也最大，頻率逐漸偏離時(shí)，增益系數(shù)逐漸減小，光波對(duì)介質(zhì)的增益飽和作用也逐漸減弱。當(dāng)時(shí)，介質(zhì)對(duì)光波的增益作用以及光波對(duì)介質(zhì)的增益飽和作用都很微弱。因此，以下討論介質(zhì)對(duì)光波的增益作用以及光波對(duì)介質(zhì)的增益飽和作用時(shí)，都是對(duì)光頻在范圍內(nèi)而言的。3、頻率為、強(qiáng)度為I的強(qiáng)光作用下的增益介質(zhì)對(duì)另一小訊號(hào)光波的增益系數(shù)在腔內(nèi)傳播著頻率為強(qiáng)度為I的光波的同時(shí)，再入射一束頻率為強(qiáng)度為i的小訊號(hào)光波，這時(shí)，由于I和i放大是消耗同一個(gè)E2能級(jí)上的粒子，而介質(zhì)中E2能級(jí)上的粒子數(shù)密度已經(jīng)在I的激勵(lì)下大為減少，所以，此時(shí)介質(zhì)對(duì)光波的增益系數(shù)也下降為(2-19)式表示的。這就是說(shuō)，頻率為的強(qiáng)光I不僅使本身頻率處介質(zhì)的增益系數(shù)由下降至，而且使介質(zhì)的線寬范圍內(nèi)一切頻率處介質(zhì)的增益系數(shù)都下降了同樣的倍數(shù)變?yōu)椤Ｋ?2-19)式就是介質(zhì)在頻率為、強(qiáng)度為I的光波作用下對(duì)各種頻率的小訊號(hào)光波的增益系數(shù)的表達(dá)式。由于光強(qiáng)I僅改變粒子在上下能級(jí)間的分布值，并不改變介質(zhì)的密度、粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及能級(jí)的寬度。因此，在光強(qiáng)I的作用下，介質(zhì)的光譜線型不會(huì)改變，線寬不會(huì)改變，增益系數(shù)隨頻率的分布也不會(huì)改變，光強(qiáng)僅僅使增益系數(shù)在整個(gè)線寬范圍內(nèi)下降同樣的倍數(shù)，如圖(2-9)所示。而且由于與譜線的線型函數(shù)具有相似的變化規(guī)律，中心頻率附近的激光的增益系數(shù)大，偏離中心頻率愈遠(yuǎn)的激光，其增益系數(shù)也愈小。這是均勻增寬型介質(zhì)的特點(diǎn)。在4.1節(jié)中還會(huì)看到，因?yàn)槟Ｊ礁?jìng)爭(zhēng)的原因，均勻增寬型介質(zhì)制作的激光器發(fā)出的激光只會(huì)輸出一個(gè)單一的頻率，其譜線寬度遠(yuǎn)小于介質(zhì)線型函數(shù)的寬度。這種激光器發(fā)出的激光的增益系數(shù)對(duì)應(yīng)著圖(2-9)中與中心頻率極為靠近的一個(gè)點(diǎn)。圖（2-9）光強(qiáng)I、頻率強(qiáng)光作用下的對(duì)小訊號(hào)光波的增益飽和2.4非均勻增寬介質(zhì)增益飽和一般低壓氣體激光器介質(zhì)的發(fā)光特性是：對(duì)確定的上下能級(jí)E2、E1，介質(zhì)中單個(gè)粒子發(fā)光的譜線線型函數(shù)仍然是均勻增寬型的，但是由于氣體粒子處在劇烈、混亂的熱運(yùn)動(dòng)之中，由大量粒子組成的氣體介質(zhì)發(fā)光時(shí)，接收到的光譜譜線的線型變成非均勻增寬的。2.4.1介質(zhì)在小訊號(hào)時(shí)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值在非均勻增寬型介質(zhì)中，穩(wěn)態(tài)工作的情況下，上下能級(jí)E2、E1之間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值仍然可以用（2-7）式表示，相應(yīng)的小信號(hào)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值也仍然可以用（2-8）式表示。具體來(lái)講，由于介質(zhì)內(nèi)的粒子在作紊亂的熱運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)的速度沿腔軸方向的分量滿足麥克斯韋速度分布律，小信號(hào)情況下E2能級(jí)上的粒子中速度在至之間的粒子數(shù)密度為E1能級(jí)上速度在至之間的粒子數(shù)密度為若E2、E1能級(jí)的簡(jiǎn)并度相等，則速度在至之間的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值為(2-20)在E2、E1能級(jí)間各種速度的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值之和為（2-21）n0與激勵(lì)能源的抽運(yùn)速率、粒子的能級(jí)壽命等參量之間的關(guān)系仍由（2-8）式?jīng)Q定。在非均勻增寬型介質(zhì)中，單位速度間隔內(nèi)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值隨速度的分布情況如圖(2-10)所示。圖（2-10）隨速度的分布在非均勻增寬型介質(zhì)中，在E2、E1能級(jí)間躍遷的粒子，輻射的光波也是中心頻率為的自然增寬型函數(shù)。但是當(dāng)粒子具有熱運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，由于光的多普勒效應(yīng)，在正對(duì)著粒子運(yùn)動(dòng)的方向上接收到的光波的線型函數(shù)變?yōu)橹行念l率為的自然增寬型函數(shù)了，和的關(guān)系為反過(guò)來(lái)，用頻率表示速度，則 (2-22)如果發(fā)光粒子的速度改變了，接收到的光波的中心頻率也將相應(yīng)地改變，它們之間的關(guān)系是 (2-23)把(2-22)或(2-23)式所給出的與的關(guān)系代入(2-20)式中，將換成相應(yīng)的，就可以得到介質(zhì)中能夠輻射中心頻率為光波的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值為(2-24)能夠輻射以為中心頻率的單位頻率間隔內(nèi)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值為式中是非均勻增寬介質(zhì)的線型函數(shù)在處的大小。的中心頻率也是，但的線寬卻遠(yuǎn)大于均勻增寬譜線的線寬。單位頻率間隔內(nèi)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值與頻率的函數(shù)關(guān)系曲線與圖(2-10)相似，只要把圖中的速度改成頻率。由于(2-22)式給出了粒子的運(yùn)動(dòng)速度和發(fā)光頻率之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以在下面的討論中凡涉及到粒子的運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，都可以用其相應(yīng)的頻率來(lái)代替。2.4.2非均勻增寬型介質(zhì)在小訊號(hào)時(shí)的增益系數(shù)非均勻增寬型介質(zhì)的小訊號(hào)增益系數(shù)是由具有不同速度的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布提供的，頻率為粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布對(duì)小訊號(hào)增益系數(shù)的貢獻(xiàn)，就象均勻增寬型介質(zhì)的對(duì)的貢獻(xiàn)那樣，為(2-25)介質(zhì)的小訊號(hào)增益系數(shù)是介質(zhì)中各種速度的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的貢獻(xiàn)之和，故有(2-26)雖然積分是在0區(qū)間內(nèi)進(jìn)行的，但是由于是的中心頻率，外的值迅速趨近于零，所以，實(shí)際上的取值范圍為或積分是在以為中心、以均勻增寬的線寬為范圍的區(qū)間內(nèi)進(jìn)行的。也就是說(shuō)，實(shí)際上是由頻率在范圍內(nèi)的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值貢獻(xiàn)的。在此范圍內(nèi)，非均勻增寬的線型函數(shù)幾乎不變，可以用代替，如圖(2-11)所示。這樣，上式積分可以化為 (2-27)(2-27)式就是非均勻增寬型介質(zhì)的小訊號(hào)增益系數(shù)的表達(dá)式?？梢钥闯觯c均勻增寬型介質(zhì)的小訊號(hào)增益系數(shù)(2-13)式在形式上是一致的。圖（2-11）非均勻增寬型介質(zhì)的小訊號(hào)增益根據(jù)(2-27)，同樣可以求得中心頻率處的小訊號(hào)增益系數(shù)，它與線寬D成反比(2-28)2.4.3、非均勻增寬型介質(zhì)穩(wěn)態(tài)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布對(duì)非均勻增寬型介質(zhì)，當(dāng)頻率為、強(qiáng)度為I的光波在其中傳播時(shí)，對(duì)中心頻率為的粒子來(lái)說(shuō)，這相當(dāng)于用中心頻率的光波與均勻增寬型介質(zhì)作用引起粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的飽和，(2-10)式的第一式相應(yīng)地變?yōu)椋?(2-29)(2-29)式給出了非均勻增寬型介質(zhì)中頻率為附近單位頻率間隔內(nèi)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值隨頻率為、光強(qiáng)為I的光波變化的關(guān)系式。由于光波的頻率不在該粒子的中心頻率，頻率的光對(duì)附近的頻率為處單位頻率間隔內(nèi)粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的飽和效應(yīng)規(guī)律，應(yīng)由(2-10)式的第二式給出，故有 (2-30)式中是光波的頻率，是粒子的中心頻率，為均勻增寬譜線的線寬。這就是說(shuō)，頻率為的光波也可以引起頻率為的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值n()的飽和。計(jì)算表明，光波對(duì)頻率為的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和作用已很弱。圖（2-12）非均勻增寬型粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和作用圖(2-12)描繪了光波對(duì)頻率為的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的飽和作用以及起作用的頻率范圍。由于光波頻率恰好是點(diǎn)的中心頻率，因此，在光波I作用下n()下降到點(diǎn)。但對(duì)點(diǎn)，光波的頻率不是它的中心頻率，故點(diǎn)的飽和效應(yīng)比點(diǎn)弱，它僅下降至點(diǎn)。對(duì)于c點(diǎn)，光波的頻率對(duì)它的中心頻率的偏離已大于寬度，所以飽和效應(yīng)可以忽略。由此可見(jiàn)，頻率為強(qiáng)度為I的光波僅使圍繞中心頻率、寬度為范圍內(nèi)的粒子有飽和作用，因此在曲線上形成一個(gè)以為中心的凹陷，習(xí)慣上把它叫做孔，這就是非均勻增寬型介質(zhì)在較大訊號(hào)情況下的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的飽和效應(yīng)?？椎纳疃葹榭椎膶挾葹榭椎拿娣e通常稱上述現(xiàn)象為粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的“燒孔”效應(yīng)。大致說(shuō)來(lái)，燒孔面積的大小與受激輻射功率成正比。2.4.4非均勻增寬型介質(zhì)穩(wěn)態(tài)情況下的增益飽和在非均勻增寬型介質(zhì)中，頻率為、強(qiáng)度為I的光波只在附近寬度約為的范圍內(nèi)有增益飽和作用，如圖(2-13)所示。增益系數(shù)在處下降的現(xiàn)象稱為增益系數(shù)的“燒孔”效應(yīng)。與圖(2-12)的燒孔情況相仿，孔的中心頻率仍是光頻，孔寬仍為，只是孔的深度淺了一點(diǎn)。在頻率為、強(qiáng)度為I的光波作用下，介質(zhì)的增益系數(shù)可以計(jì)算出得到(2-31)至于在光波的作用下對(duì)其他頻率下介質(zhì)的增益系數(shù)，由于它與小訊號(hào)增益系數(shù)相比變化不大，這里就不再討論了。圖（2-13）非均勻增寬型增益飽和比較(2-16)式和(2-31)式可以看出，光波I使非均勻增寬型介質(zhì)發(fā)生增益飽和的速率要比對(duì)均勻增寬型介質(zhì)的情況緩慢。例如，當(dāng)光強(qiáng)I＝Is時(shí)，均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)下降為小訊號(hào)增益系數(shù)的一半，即，而非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)僅降到小訊號(hào)增益系數(shù)的。比較圖(2-9)與圖(2-13)可以看出，光強(qiáng)為I的光波使均勻增寬型介質(zhì)對(duì)各種頻率的光波的增益系數(shù)都下降同樣的倍數(shù)。而對(duì)非均勻增寬型介質(zhì)，光強(qiáng)為I的光波只能引起以光波頻率為中心頻率、頻寬范圍內(nèi)的增益系數(shù)下降，而且孔內(nèi)不同頻率處增益系數(shù)下降的值不同。實(shí)際上均勻增寬型與非均勻增寬型的飽和作用影響的頻率范圍是一樣大的。由于多普勒增寬比均勻增寬要寬得多，同樣的頻率范圍對(duì)于多普勒增寬只能燒一個(gè)孔。對(duì)多普勒增寬型氣體激光器，由于諧振腔的存在，腔內(nèi)光束是由傳播方向相反的兩列行波組成的。頻率為、沿腔軸正方向傳播的光波將引起沿腔軸方向運(yùn)動(dòng)的速度為附近的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值飽和，因而在曲線上附近燒一個(gè)孔；沿腔軸負(fù)方向傳播的頻率為的光波將引起沿腔軸方向運(yùn)動(dòng)的速度為附近的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值飽和，而速度為的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值正是對(duì)沿腔軸正方向傳播的頻率為的光波作出增益貢獻(xiàn)者，它的飽和將導(dǎo)致增益介質(zhì)對(duì)沿腔軸正方向傳播的頻率為的光波的增益飽和，即沿腔軸負(fù)方向傳播的頻率為的光波將在增益曲線上附近燒一個(gè)孔。所以，頻率為的光波在增益曲線上燒兩個(gè)孔，它們對(duì)稱地分布在中心頻率的兩側(cè)，如圖(2-14)所示。如果光波頻率恰好是多普勒增寬型線型函數(shù)的中心頻率，則該光波只在增益曲線上燒一個(gè)孔。也即中心頻率的光波只能使那些沿腔軸方向運(yùn)動(dòng)的、速度為零的激發(fā)態(tài)粒子作受激輻射。圖（2-14）非均勻增寬型激光器中的增益飽和2.5激光器的損耗與閾值條件激光器產(chǎn)生激光的前提條件是介質(zhì)必須實(shí)現(xiàn)能級(jí)間的粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布，即，或者說(shuō)增益系數(shù)。但是，由于光波在實(shí)現(xiàn)了粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的介質(zhì)中傳播時(shí)還有各種損耗，只有當(dāng)因增益放大而增加的光能量除了能夠補(bǔ)償因損耗而失去的部分外還能有剩余時(shí)，光波才能被放大。所以要求增益系數(shù)要大于一個(gè)下限值，此下限值即為激光器的閾值，它由各種損耗的大小所決定。本節(jié)從分析穩(wěn)定光強(qiáng)形成的過(guò)程出發(fā)，找出雙程光放大倍數(shù)K與增益系數(shù)和各種損耗之間的關(guān)系，從而得出增益系數(shù)的閾值表達(dá)式和粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布的閾值表達(dá)式。2.5.1激光器的損耗激光器的損耗指的是在激光諧振腔內(nèi)的光損耗，這種損耗可以分為兩類，第一類是諧振腔內(nèi)增益介質(zhì)內(nèi)部的損耗，它與增益介質(zhì)的長(zhǎng)度有關(guān)，叫做內(nèi)部損耗，第二類損耗是可以折合到諧振腔鏡面上的損耗,叫做鏡面損耗。1.內(nèi)部損耗在增益介質(zhì)內(nèi)部由于成分不均勻、粒子數(shù)密度不均勻、或者有缺陷，光波通過(guò)這樣的介質(zhì)時(shí)就會(huì)發(fā)生折射、散射，使部分光波偏離原來(lái)的傳播方向，造成光能量的損耗。增益介質(zhì)內(nèi)還會(huì)有不在下能級(jí)的粒子吸收光能，躍遷至其他上能級(jí)去造成光能量的損耗。這樣，當(dāng)光穿過(guò)增益介質(zhì)時(shí)，在獲得增益的同時(shí)，又會(huì)因上述損耗的存在以相對(duì)速率而減小，稱為內(nèi)部損耗系數(shù)，和增益系數(shù)一樣具有量綱。它表示光通過(guò)單位長(zhǎng)度介質(zhì)時(shí)光強(qiáng)的相對(duì)損耗率，介質(zhì)越長(zhǎng)，因內(nèi)損耗而失去的光能量也越多，此時(shí)，光在增益介質(zhì)中的變化規(guī)律就由(1-91)式變?yōu)橄率?2-32)2.鏡面損耗用、和、分別代表諧振腔反射鏡M1、M2的反射系數(shù)和透射系數(shù)，當(dāng)強(qiáng)度為I的光波射到鏡面上時(shí)，其中I部分(或I)反射回腔內(nèi)繼續(xù)放大，其余部分對(duì)諧振腔來(lái)說(shuō)都是損耗，這些損耗包括：由鏡面上透射出去作為激光器對(duì)外輸出的I(或I)，鏡面的散射、吸收以及由于光的衍射使光束擴(kuò)散到反射鏡范圍以外而造成的損耗，后者用(或)表示，這些損耗統(tǒng)稱為鏡面損耗。應(yīng)當(dāng)注意：與內(nèi)損耗系數(shù)不同，反射系數(shù)、透射系數(shù)、、、和鏡面損耗、都是無(wú)量綱的參數(shù)。2.5.2激光諧振腔內(nèi)形成穩(wěn)定光強(qiáng)的過(guò)程激光諧振腔內(nèi)光強(qiáng)由弱變強(qiáng)直至最后達(dá)到穩(wěn)定的過(guò)程可以用圖(2-15)來(lái)描繪。設(shè)增益介質(zhì)長(zhǎng)為L(zhǎng)，用圖(2-15)中的橫坐標(biāo)表示，腔內(nèi)光強(qiáng)用縱軸表示。M2是反射率的全反射鏡，置于處，M1是反射率的部分反射鏡，置于坐標(biāo)處。由于M2的透射率，我們把M2上的鏡面損耗全部折合到M1上，這樣，腔內(nèi)各點(diǎn)的光強(qiáng)值隨時(shí)間而增長(zhǎng)的情況，由圖(2-15)中不同曲線，，，，，所表示。這一部分曲線代表光的放大過(guò)程，當(dāng)光強(qiáng)達(dá)到穩(wěn)定后，穩(wěn)定光強(qiáng)在腔中傳播的過(guò)程由閉合曲線，，所表示。圖（2-15）激光諧振腔內(nèi)光強(qiáng)增長(zhǎng)1.諧振腔內(nèi)光強(qiáng)的放大過(guò)程激光器開始工作時(shí)，由于自發(fā)輻射，腔內(nèi)沿z軸方向有很微弱的光強(qiáng)傳播著。把這微弱的光強(qiáng)等效成在z＝0處有一束強(qiáng)度為I1的入射光沿腔軸傳播，由于腔內(nèi)光強(qiáng)很弱，此時(shí)介質(zhì)的增益系數(shù)就是小訊號(hào)增益系數(shù)。I1在介質(zhì)中依的規(guī)律放大，傳至M2處時(shí)，I1已放大為。在M2上，光波經(jīng)M2反射，反射光將沿方向傳播，其光強(qiáng)為圖中曲線表示了這個(gè)過(guò)程。又經(jīng)增益介質(zhì)進(jìn)行放大，再傳到M1處時(shí)，光強(qiáng)已增至如圖中曲線所示。光強(qiáng)在M1上一部分反射回波內(nèi)繼續(xù)放大，這部分為一部分作為激光器的輸出由M1鏡透射出去，這部分的大小為其余部分都作為鏡面損耗而損失掉了，這部分為圖中縱軸上代表總鏡面損耗，即此時(shí)腔內(nèi)光的放大倍數(shù)為(2-33)I2又在增益介質(zhì)中沿z軸傳播，并往返于M1、M2反射鏡之間，每往返一次，就重復(fù)上述過(guò)程放大K倍，如此往返不止，來(lái)回放大，隨著腔內(nèi)光強(qiáng)增大，光的放大倍數(shù)由于增益飽和也逐漸下降。整個(gè)過(guò)程由圖中一組曲線，，，，，所表示。2.諧振腔穩(wěn)定出光過(guò)程以均勻增寬型介質(zhì)為例，當(dāng)腔內(nèi)光強(qiáng)和介質(zhì)的飽和光強(qiáng)可以比擬時(shí)，增益系數(shù)不再可以用小信號(hào)增益系數(shù)來(lái)近似。增益系數(shù)開始依規(guī)律下降，光的放大速率開始隨光強(qiáng)的增大而減小，而總損耗卻隨光強(qiáng)的增大而增大，但是光強(qiáng)仍然在增長(zhǎng)。隨著光強(qiáng)的增大，增益系數(shù)進(jìn)一步地減少，光放大速率也進(jìn)一步地減慢。這個(gè)逐漸減慢的放大過(guò)程一直持續(xù)到光在增益介質(zhì)中來(lái)回往返一次，由增益而增加的光能量?jī)H夠補(bǔ)償損耗而無(wú)剩余為止。此時(shí)，雖然腔內(nèi)不同地點(diǎn)的光強(qiáng)不同，但腔內(nèi)各點(diǎn)的光強(qiáng)不再隨時(shí)間而變化，輸出光強(qiáng)也不再改變。光波在腔中往返傳播一次，光強(qiáng)隨路程而變化的曲線構(gòu)成一個(gè)閉合曲線，，，其中曲線，代表光波在介質(zhì)中往返一次被放大的情況，代表往返一次的總鏡面損耗。此時(shí)，光波在介質(zhì)中往返一次所獲得的放大倍數(shù)為(2-34)2.5.3閾值條件上面討論指出，腔內(nèi)光強(qiáng)比較弱時(shí)，光波往返一次的放大倍數(shù)，隨著光強(qiáng)不斷地增強(qiáng)，放大倍數(shù)就不斷下降，直至為止。因此，合并(2-33)式和(2-34)式就可以得到形成激光所要求的雙程放大倍數(shù)(2-35)也可把(2-35)式改寫為增益系數(shù)的形式(2-36)令(2-37)稱為總損耗系數(shù)，則(2-36)式可寫為(2-38)這就是形成激光所要求的增益系數(shù)的條件。小訊號(hào)增益系數(shù)是激光器在形成激光的過(guò)程中增益系數(shù)所能取的最大值。隨著腔內(nèi)光強(qiáng)的增大，增益系數(shù)將不斷下降，當(dāng)增益系數(shù)下降到下限值時(shí)，腔內(nèi)光強(qiáng)也就達(dá)到最大值IM（IM為平均值）。增益系數(shù)的下限值稱為增益系數(shù)的閾值，表示為(2-39)對(duì)非均勻增寬型介質(zhì)，增益系數(shù)的閾值則為(2-40)由增益系數(shù)的閾值也可以導(dǎo)出粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的閾值把代入上式有(2-41)式中：為E2能級(jí)的壽命，為折射率，為譜線的線型函數(shù)。(2-41)式給出了對(duì)激勵(lì)能源的要求，即激勵(lì)能源對(duì)介質(zhì)粒子的抽運(yùn)一定要滿足，才能產(chǎn)生激光。2.5.4對(duì)介質(zhì)能級(jí)選取的討論在選取激光的能級(jí)方面也有一些值得考慮的問(wèn)題。前面的討論指出，激光上下能級(jí)間粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值愈大，增益系數(shù)也愈大，而粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值直接由激光上下能級(jí)的粒子數(shù)密度決定。如果選取的激光下能級(jí)只是基態(tài)，或者是很接近基態(tài)的能級(jí)，那么，根據(jù)玻爾茲曼分布，在常溫下激光下能級(jí)上的粒子數(shù)密度已經(jīng)很大，上能級(jí)幾乎是空的，完全靠激勵(lì)能源把下能級(jí)中一半以上的粒子不停地抽運(yùn)到E2能級(jí)上去，造成粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布，并且E2能級(jí)上的粒子數(shù)密度值要滿足(2-42)這就要求激勵(lì)能源有較大的抽運(yùn)功率。如果選取的激光下能級(jí)不是基態(tài)，在常溫下它就是一個(gè)空能級(jí)，此時(shí)，只要激勵(lì)能源抽運(yùn)的粒子到E2能級(jí)上即可，這對(duì)激勵(lì)能源的功率要求就低多了。這兩種情況就是目前激光能級(jí)選取上常說(shuō)的三能級(jí)系統(tǒng)和四能級(jí)系統(tǒng)問(wèn)題。大量的實(shí)驗(yàn)證明，現(xiàn)有效率較高的激光器絕大多數(shù)都屬于四能級(jí)系統(tǒng)。也就是說(shuō)，輸出的光能量占激勵(lì)能源輸入的總能量的百分比高的激光器大多數(shù)用的是四能級(jí)系統(tǒng)。下面以常見(jiàn)的三種固體激光器為例，給出參數(shù)，用公式(2-41)算出粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的閾值、達(dá)到閾值時(shí)上能級(jí)粒子數(shù)密度以及，并對(duì)三種激光器的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)把實(shí)驗(yàn)測(cè)得的效率列入，以便進(jìn)行比較。假定，激光器腔長(zhǎng)L＝l0cm，反射率，，內(nèi)損耗系數(shù)＝0，介質(zhì)的線型函數(shù)為，則總損耗系數(shù)：粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值的閾值為式中、、和的值示于表（2-2）中，由表中所給數(shù)據(jù)即可算得并列于下表中，對(duì)三能級(jí)系統(tǒng)要求，而，是總粒子數(shù)密度；對(duì)四能級(jí)系統(tǒng)，就滿足要求了。由表2-2可以看出，三能級(jí)系統(tǒng)達(dá)到閾值時(shí)上能級(jí)應(yīng)該具有的粒子數(shù)密度幾乎是的10倍，這要求激勵(lì)能源對(duì)三能級(jí)的增益介質(zhì)輸入較多的能量來(lái)抽運(yùn)下能級(jí)的粒子，這樣的工作效率是很低的。而四能級(jí)系統(tǒng)達(dá)到閾值時(shí)，只要求上能級(jí)的粒子數(shù)密度稍大于即可，它對(duì)激勵(lì)能源的要求較低，因此，工作效率也比三能級(jí)系統(tǒng)的要高。從反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度閾值出發(fā)，可對(duì)激光器所需的最低抽運(yùn)功率作一個(gè)粗略的計(jì)算。表2-