橋隧選修6常用測(cè)量坐標(biāo)系及其變換

常用測(cè)量坐標(biāo)系及其變換梁建昌主要內(nèi)容一、坐標(biāo)系統(tǒng)介紹二、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換一、坐標(biāo)系統(tǒng)（一）基本概念1、大地基準(zhǔn)大地基準(zhǔn)是建立國(guó)家大地坐標(biāo)系統(tǒng)和推算國(guó)家大地控制網(wǎng)中各點(diǎn)大地坐標(biāo)的基本依據(jù)(考橢球的大小、形狀及其定位、定向參數(shù))，包括一組大地測(cè)量參數(shù)和一組起算數(shù)據(jù)。建立大地基準(zhǔn)就是求定旋轉(zhuǎn)橢球的參數(shù)及其定向(橢球旋轉(zhuǎn)軸平行于地球的旋轉(zhuǎn)軸起始子午面平行于地球的起始子午面)和定位(旋轉(zhuǎn)橢轉(zhuǎn)中心與地球中心的相對(duì)關(guān)系)。2、大地測(cè)量參考系統(tǒng)

坐標(biāo)參考系統(tǒng)：天球坐標(biāo)系和地球坐標(biāo)系。

天球坐標(biāo)系用于研究天體和人造衛(wèi)星的定位與運(yùn)動(dòng)。

地球坐標(biāo)系用于研究地球上物體的定位與運(yùn)動(dòng)，是以旋轉(zhuǎn)橢球?yàn)閰⒄阵w建立的坐標(biāo)系統(tǒng)，分為大地坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系兩種形式。以大地水準(zhǔn)面為參照面的高程系統(tǒng)稱為正高，以似大地水準(zhǔn)面為參照面的高程系統(tǒng)稱為正常高。正常高Ｈ正常及正高Ｈ正與大地高有如下關(guān)系：

H=H正常+ζH=H正

+N3、高程參考系統(tǒng)4.大地測(cè)量參考框架大地測(cè)量參考框架是大地測(cè)量參考系統(tǒng)的具體實(shí)現(xiàn)，是通過大地測(cè)量手段確定的固定在地面上的控制網(wǎng)（點(diǎn)）所構(gòu)建的，分為坐標(biāo)參考框架、高程參考框架、重力參考框架。國(guó)家平面控制網(wǎng)是全國(guó)進(jìn)行測(cè)量工作的平面位置的參考框架，國(guó)家平面控制網(wǎng)是按控制等級(jí)和施測(cè)精度分為一、二、三、四等網(wǎng)。目前提供使用的國(guó)家平面控制網(wǎng)含三角點(diǎn)、導(dǎo)線點(diǎn)共154348個(gè)。國(guó)家高程控制網(wǎng)是全國(guó)進(jìn)行測(cè)量工作的高程參考框架，按控制等級(jí)和施測(cè)精度分為一、二、三、四等網(wǎng)，目前提供使用的1985國(guó)家高程系統(tǒng)共有水準(zhǔn)點(diǎn)成果114041個(gè)，水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度為4166191公里。國(guó)家重力基本網(wǎng)是確定我國(guó)重力加速度數(shù)值的參考框架，目前提供使用的2000國(guó)家重力基本網(wǎng)包括21個(gè)重力基準(zhǔn)點(diǎn)和126個(gè)重力基本點(diǎn)?！?000國(guó)家GPS控制網(wǎng)”由國(guó)家測(cè)繪局布設(shè)的高精度GPSA、B級(jí)網(wǎng)，總參布設(shè)的GPS一、二級(jí)網(wǎng)，地震局、總參測(cè)繪局、科學(xué)院、國(guó)家測(cè)繪局共建的中國(guó)地殼運(yùn)動(dòng)觀測(cè)網(wǎng)組成，該控制網(wǎng)整合了上述三個(gè)大型的有重要影響力的GPS觀測(cè)網(wǎng)的成果，共2609個(gè)點(diǎn)，通過聯(lián)合處理將其歸于一個(gè)坐標(biāo)參考框架，可滿足現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)對(duì)地心坐標(biāo)的需求，是我國(guó)新一代的地心坐標(biāo)系統(tǒng)的基礎(chǔ)框架。

平面直角坐標(biāo)系大地坐標(biāo)坐標(biāo)系空間直角系與地球固結(jié)在一起的坐標(biāo)系（地球坐標(biāo)系）不與地球固結(jié)在一起的坐標(biāo)系（天球坐標(biāo)系）（二）坐標(biāo)系統(tǒng)的種類和各自優(yōu)勢(shì)（三）大地坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)1.大地坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)概念（1）大地坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)的建立1）大地坐標(biāo)系

P點(diǎn)的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點(diǎn)大地經(jīng)度，P點(diǎn)的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點(diǎn)的大地緯度，P點(diǎn)的位置用L、B表示。PH若P點(diǎn)不在橢球面上，還要一個(gè)參數(shù)：大地高H來(lái)表示點(diǎn)位。它與正常高及正高的關(guān)系為：

大地坐標(biāo)系是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系，具有如下的優(yōu)點(diǎn):(1)它是整個(gè)橢球體上統(tǒng)一的坐標(biāo)系，是全世界公用的最方便的坐標(biāo)系統(tǒng)。經(jīng)緯線是地形圖的基本線，所以在測(cè)圖及制圖中應(yīng)用這種坐標(biāo)系。

(2)它與同一點(diǎn)的天文坐標(biāo)(天文經(jīng)緯度)比較，可以確定該點(diǎn)的垂線偏差的大小。2）空間直角坐標(biāo)系以橢球中心O為原點(diǎn)，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向?yàn)閅軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標(biāo)系O-XYZ，在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用X、Y、Z表示（2）極移地軸相對(duì)于地球本身相對(duì)位置變化地球自轉(zhuǎn)軸存在相對(duì)于地球體自身內(nèi)部結(jié)構(gòu)的相對(duì)位置變化，從而導(dǎo)致極點(diǎn)在地球表面上的位置隨時(shí)間而變化，這種現(xiàn)象稱為極移。某一觀測(cè)瞬間地球極所在的位置稱為瞬時(shí)極，某段時(shí)間內(nèi)地極的平均位置稱為平極。地球極點(diǎn)的變化，導(dǎo)致地面點(diǎn)的緯度發(fā)生變化。國(guó)際天文聯(lián)合會(huì)IAU和國(guó)際大地測(cè)量與地球物理聯(lián)合會(huì)IUGG在1967年于意大利共同召開的第32次討論會(huì)上，建議采用國(guó)際上5個(gè)緯度服務(wù)(ILS)站以1900～1905年的平均緯度所確定的平極作為基準(zhǔn)點(diǎn)，通常稱為國(guó)際協(xié)議原點(diǎn)CIO(ConventionalInternationalOrigin)，它相對(duì)于1900～1905年平均歷元1903.0。（3）協(xié)議地球極、協(xié)議坐標(biāo)系國(guó)際極移服務(wù)IPMS(InternationalPolarMotionService)和國(guó)際時(shí)間局BIH等機(jī)構(gòu)分別用不同的方法得到地極原點(diǎn)，因而有不同的CIO,屬于BIH的有BIH1968.0,BIH1979.0,BIH1984.0等。與CIO相應(yīng)的地球赤道面稱為平赤道面或協(xié)議赤道面。以協(xié)議地極CIP為指向點(diǎn)的地球坐標(biāo)系稱為協(xié)議地球坐標(biāo)系CTS(ConventionalTerrestrialSystem)，以瞬時(shí)極為指向點(diǎn)的地球坐標(biāo)系稱為瞬時(shí)地球坐標(biāo)系。在大地測(cè)量中采用的地心地固坐標(biāo)系大多采用協(xié)議地極原點(diǎn)CIO為指向點(diǎn)，因而也是協(xié)議地球坐標(biāo)系；一般情況下協(xié)議地球坐標(biāo)系和地心地固坐標(biāo)系代表相同的含義。

2.參心坐標(biāo)系、地心坐標(biāo)系（1）參心坐標(biāo)系參心坐標(biāo)系:以參考橢球?yàn)榛鶞?zhǔn)的坐標(biāo)系參心坐標(biāo)系還是地心坐標(biāo)系均可分為空間直角坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系兩種,都是地固坐標(biāo)系。建立（地球）參心坐標(biāo)系，需選擇橢球參數(shù)和參進(jìn)行考橢球的定位與定向：①選擇或求定橢球的幾何參數(shù)（長(zhǎng)短半徑）；②確定橢球中心位置（定位）；③確定橢球短軸的指向（定向）；④建立大地原點(diǎn)。地心空間直角坐標(biāo)系

原點(diǎn)O與地球質(zhì)心重合，Z軸指向地球北極，X軸指向格林尼治平均子午面與地球赤道的交點(diǎn)，Y軸垂直于XOZ平面構(gòu)成右手坐標(biāo)系。地心大地坐標(biāo)系

地球橢球的中心與地球質(zhì)心重合，橢球面與大地水準(zhǔn)面在全球范圍內(nèi)最佳符合，橢球短軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合（過地球質(zhì)心并指向北極）。大地緯度、大地經(jīng)度、大地高地球北極是地心地固坐標(biāo)系的基準(zhǔn)指向點(diǎn)，地球北極的變動(dòng)將引起坐標(biāo)軸方向的變化。（2）地心坐標(biāo)系

建國(guó)初期，為了迅速開展我國(guó)的測(cè)繪事業(yè)，鑒于當(dāng)時(shí)的實(shí)際情況，將我國(guó)一等鎖與原蘇聯(lián)遠(yuǎn)東一等鎖相連接，然后以連接處呼瑪、吉拉寧、東寧基線網(wǎng)擴(kuò)大邊端點(diǎn)的原蘇聯(lián)1942年普爾科沃坐標(biāo)系的坐標(biāo)為起算數(shù)據(jù)，平差我國(guó)東北及東部區(qū)一等鎖，這樣傳算過來(lái)的坐標(biāo)系就定名為1954年北京坐標(biāo)系。因此，P54可歸結(jié)為：

a．屬參心大地坐標(biāo)系；

b．采用克拉索夫斯基橢球的兩個(gè)幾何參數(shù)；

c.大地原點(diǎn)在原蘇聯(lián)的普爾科沃；

d．采用多點(diǎn)定位法進(jìn)行橢球定位；

e．高程基準(zhǔn)為1956年青島驗(yàn)潮站求出的黃海平均海水面；

f．高程異常以原蘇聯(lián)1955年大地水準(zhǔn)面重新平差結(jié)果為起算數(shù)據(jù)。按我國(guó)天文水準(zhǔn)路線推算而得。

3.常用坐標(biāo)系介紹（1）1954年北京坐標(biāo)系

C80是為了進(jìn)行全國(guó)天文大地網(wǎng)整體平差而建立的。根據(jù)橢球定位的基本原理，在建立C80坐標(biāo)系時(shí)有以下先決條件：

（1）大地原點(diǎn)在我國(guó)中部，具體地點(diǎn)是陜西省徑陽(yáng)縣永樂鎮(zhèn)；

（2）C80坐標(biāo)系是參心坐標(biāo)系，橢球短軸Z軸平行于地球質(zhì)心指向地極原點(diǎn)方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文臺(tái)子午面；X軸在大地起始子午面內(nèi)與Z軸垂直指向經(jīng)度0方向；Y軸與Z、X軸成右手坐標(biāo)系；

（3）橢球參數(shù)采用IUG1975年大會(huì)推薦的參數(shù)

因而可得C80橢球兩個(gè)最常用的幾何參數(shù)為：

長(zhǎng)軸：6378140±5（m）；扁率：1：298.257

（4）多點(diǎn)定位；橢球定位時(shí)按我國(guó)范圍內(nèi)高程異常值平方和最小為原則求解參數(shù)

（5）大地高程以1956年青島驗(yàn)潮站求出的黃海平均水面為基準(zhǔn)

（2）1980年國(guó)家大地坐標(biāo)系CGCS2000（ChinaGeodeticCoordinateSystem2000）國(guó)家2000大地坐標(biāo)系是全球地心坐標(biāo)系在我國(guó)的具體體現(xiàn)，其定義包括坐標(biāo)系的原點(diǎn)、三個(gè)坐標(biāo)軸的指向、尺度以及地球橢球的4個(gè)基本參數(shù)的定義。原點(diǎn)為包括海洋和大氣的整個(gè)地球的質(zhì)量中心；Z軸由原點(diǎn)指向歷元2000.0的地球參考極的方向，該歷元的指向由國(guó)際時(shí)間局給定的歷元為1984.0的初始指向推算；X軸由原點(diǎn)指向格林尼治參考子午線與地球赤道面（歷元2000.0）的交點(diǎn)；Y軸與Z軸、X軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。采用廣義相對(duì)論意義下的尺度。（3）2000國(guó)家大地坐標(biāo)系2000國(guó)家大地坐標(biāo)系采用的地球橢球參數(shù)的數(shù)值為：長(zhǎng)半軸a＝6378137m扁率f＝1/298.257222101地心引力常數(shù)GM＝3.986004418×1014m3s-2自轉(zhuǎn)角速度

ω＝7.292115×10-5rad·s-1

我國(guó)自2008年7月1日起啟用2000國(guó)家大地坐標(biāo)系。短半徑b(m) 6356752.31414極曲率半徑c(m) 6399593.62586第一偏心率e 0.0818191910428第一偏心率平方e2 0.00669438002290第二偏心率 0.0820944381519第二偏心率平方2 0.006739496775481/4子午圈的長(zhǎng)度Q(m) 10001965.7293橢球平均半徑R1(m) 6371008.77138相同表面積的球半徑R2(m) 6371007.18092相同體積的球半徑R3(m) 6371000.78997橢球的正常位U0(m2s-2) 62636851.7149動(dòng)力形狀因子J2 0.001082629832258球諧系數(shù)J4 -0.00000237091126球諧系數(shù)J6 0.00000000608347球諧系數(shù)J8 -0.00000000001427正常重力平均值γ（伽） 9.7976432224緯度45度的正常重力值γ45°（伽） 9.8061977695美國(guó)國(guó)防部1984年世界大地坐標(biāo)系是一個(gè)協(xié)議地球參考系CTS（ConventionalTerrestrialSystem）,其原點(diǎn)是地球的質(zhì)心，Z軸指向BIH1984.0定義的協(xié)議地球極CTP（ConventionalTerrestrialPole）方向，X軸指向BIH1984.0零度子午面和CTP赤道的交點(diǎn)，Y軸和Z、X軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。WGS-84橢球采用國(guó)際大地測(cè)量與地球物理聯(lián)合會(huì)第17屆大會(huì)大地測(cè)量常數(shù)推薦值（4）WGS-84世界大地坐標(biāo)系自1987年1月10日之后，GPS衛(wèi)星星歷均采用WGS-84坐標(biāo)系統(tǒng)。因此GPS網(wǎng)的測(cè)站坐標(biāo)及測(cè)站之間的坐標(biāo)差均屬于WGS-84系統(tǒng)。為了求得GPS測(cè)站點(diǎn)在地面坐標(biāo)系（屬于參心坐標(biāo)系）中的坐標(biāo)，就必須進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。WGS-84橢球基準(zhǔn)參數(shù)4個(gè)基準(zhǔn)參數(shù)：長(zhǎng)半軸a=6378137m地球引力常數(shù)（含大氣層）GM=3986005×108m3s-2正?；A帶球諧系數(shù)C2.0=-484.16685×10-6地球自轉(zhuǎn)角速度ω=7292115×10-11rad/s20世紀(jì)60年代以來(lái)，美國(guó)和原蘇聯(lián)等國(guó)家利用衛(wèi)星觀測(cè)等資料，開展了建立地心坐標(biāo)系的工作。美國(guó)國(guó)防部曾先后建立過世界大地坐標(biāo)系(WorldGeodeticSystem，簡(jiǎn)稱為WGS)WGS-60，WGS-66和WGS-72，并于1984年開始，經(jīng)過多年修正和完善，建立起更為精確的地心坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為WGS-84。

當(dāng)測(cè)區(qū)面積小于100km2時(shí)，可不進(jìn)行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨(dú)立的平面直角坐標(biāo)系。起算坐標(biāo)和起算方位角最好能與國(guó)家網(wǎng)聯(lián)測(cè)，如果聯(lián)測(cè)有困難可自行測(cè)定邊長(zhǎng)和方位，而起始點(diǎn)坐標(biāo)可假定。這種假定平面直角坐標(biāo)系只限于某種工程建筑施工之用。（四）獨(dú)立平面直角坐標(biāo)2023/11/28271

投影面：用測(cè)區(qū)中心點(diǎn)a的切平面作為投影平面.圖1-9）圖1-9圖1-101

坐標(biāo)系原點(diǎn)O:一般選在測(cè)區(qū)的西南角，使測(cè)區(qū)內(nèi)各點(diǎn)均處于第一象限，坐標(biāo)均為正值。x軸:南北方向?yàn)榭v軸，向北為正，向南為負(fù)；y軸:東西方向?yàn)闄M軸，向東為正，向西為負(fù)。坐標(biāo)系中象限按順時(shí)針方向編號(hào)，x軸與y軸互換。

在測(cè)量中常將點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)稱為點(diǎn)的平面位置。假定平面直角坐標(biāo)系(地方獨(dú)立坐標(biāo)系)的特點(diǎn)：1)投影面一般采用區(qū)域的平均高程面；2)投影的中央子午線一般采用過位于區(qū)域中心附近的子午線，或采用經(jīng)度為整分或整度的子午線。3)原點(diǎn)的坐標(biāo)一般加上某個(gè)整數(shù)，使整個(gè)區(qū)域中的坐標(biāo)不出現(xiàn)負(fù)值，也有些城市如上海，其加常數(shù)為0。4)其高斯坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的橢球面應(yīng)是與投影面相接近的區(qū)域性橢球面，而不是國(guó)家參考橢球面。（五）高斯平面直角坐標(biāo)系1.什么是高斯平面直角坐標(biāo)高斯投影是高斯在1820~1830年間，為解決德國(guó)漢諾威地區(qū)大地測(cè)量投影問題而提出的一種投影方法。1912年起，德國(guó)學(xué)者克呂格(Kruger)將高斯投影公式加以整理和擴(kuò)充并推導(dǎo)出了實(shí)用計(jì)算公式。①用一個(gè)空心橢圓柱橫套在參考橢球外面，使橢圓柱與某一投影帶的中央子午線相切；②再將橢球面上這一帶的圖形按保角投影的原理投影到圓柱體面上；③然后將圓柱體沿著過南北極的母線切開，展開成為平面；④并在該平面上定義平面直角坐標(biāo)系。2.為什么要投影和分帶（控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求）1)采用等角投影（又稱正形投影）2)長(zhǎng)度和面積變形不大，并能用簡(jiǎn)單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù)。3)能很方便地按分帶進(jìn)行，并能按高精度的、簡(jiǎn)單的、同樣的計(jì)算公式和用表把各帶聯(lián)成整體。在三角測(cè)量中大量的角度觀測(cè)元素在投影前后保持不變，免除了大量投影計(jì)算工作;可以保證在有限的范圍內(nèi)地圖上的圖形同橢球上原形保持相似，識(shí)圖、用圖很大方便。31(統(tǒng)一)6°帶:從首子午線(通過英國(guó)格林尼治天文臺(tái)的子午線)起，每隔經(jīng)度6°劃分為一帶，自西向東將整個(gè)地球劃分為60個(gè)帶。帶號(hào)從首子午線開始，用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，編號(hào)為1～60。

中央子午線：位于各投影帶中央的子午線，稱為各帶的中央子午線。則六度帶中央子午線的經(jīng)度依次為3°,9°,15°,…,357°。任何六度帶的中央子午線經(jīng)度與帶號(hào)關(guān)系為:L0=6N-3。反之，已知地面任意點(diǎn)的經(jīng)度L，要求計(jì)算該點(diǎn)所在的統(tǒng)一6°帶編號(hào)的公式為N=INT(L/6)+1.例如：某點(diǎn)經(jīng)度為東經(jīng)118°，其帶號(hào)為20，其所在六度帶的中央子午線經(jīng)度L=120

°。

3°帶:

自東經(jīng)1°30′開始每隔經(jīng)差3°劃分一帶,將地球共分120個(gè)帶，帶寬3°,編號(hào)為1～120;各帶的中央子午線的經(jīng)度L0依次為3°,6°,…,360°。3.怎樣投影和分帶2023/11/28326°，3°投影帶3°帶帶號(hào)k與中央子午線經(jīng)度的關(guān)系

L0′＝3n

（1-2）。我國(guó)經(jīng)度:75°～135°

6°帶帶號(hào):13～23帶

3°帶帶號(hào):25～45帶不難看出，兩者之間無(wú)重疊帶號(hào)；3°帶的中央子午線經(jīng)度有一半與6°帶中央子午線經(jīng)度相同，另一半是6°分帶子午線經(jīng)度。2023/11/2833

l

x軸——中央子午線經(jīng)投影展開后是一條直線，其長(zhǎng)度不變形。以此直線作為縱軸。赤道以北為正，赤道以南為負(fù)；

l

y軸——赤道經(jīng)投影展開后是一條與中央子午線相正交的直線，將它作為橫軸。中央子午線以東為正，以西為負(fù)。

l

原點(diǎn)——兩軸線的交點(diǎn)作為O點(diǎn)。這樣，各帶就構(gòu)成了獨(dú)立的平面直角坐標(biāo)系，稱為高斯—克呂格平面直角坐標(biāo)系。

高斯平面直角坐標(biāo)系的建立高斯投影結(jié)果

(1)高斯投影坐標(biāo)正算公式高斯投影必須滿足以下三個(gè)條件：①中央子午線投影后為直線；②中央子午線投影后長(zhǎng)度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。4.高斯投影坐標(biāo)正反算第一類稱高斯投影正算公式，亦即由（B,L）求（x、y）;第二類稱高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B,L）。由①中央子午線投影后為直線可知：因?yàn)榈厍驒E球體是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體，所以中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對(duì)稱于中央子午線。為l的偶函數(shù)，為l的奇函數(shù)即：(8-41)因高斯投影是分帶投影，經(jīng)差l一般不大于3°，l″/ρ″≈1/20是一個(gè)微小量，所以可將上式展開為經(jīng)差l的冪級(jí)數(shù):1.高斯投影坐標(biāo)正算一般公式上式分別對(duì)q,l求偏導(dǎo)數(shù)：由，即正形投影條件可知：2.求一般公式中的各系數(shù)上兩式兩邊相等，其必要充分條件是同次冪前的系數(shù)應(yīng)相等，即可見：是一種遞推公式，關(guān)鍵確定由②中央子午線投影后長(zhǎng)度不變可知：

位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)該等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長(zhǎng)，即：式中X為自赤道量起的子午線弧長(zhǎng)。（1）求m0（2）求m1（3）求m2（4）求m3、m4、m5，……3.高斯投影坐標(biāo)正算公式將各系數(shù)代入(1)略去η2l5及l(fā)6以上各項(xiàng)，得：此式，在經(jīng)差小于3.5°時(shí)，精度為±0.1m(2)擴(kuò)展到精度0.001m的公式：自赤道量起的到所求點(diǎn)的子午線弧長(zhǎng)所求點(diǎn)的大地經(jīng)度與該點(diǎn)所在帶的中央子午線的大地經(jīng)度之差(2)高斯投影坐標(biāo)反算公式投影方程①x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線,是投影的對(duì)稱軸；②x坐標(biāo)軸投影后長(zhǎng)度不變；③投影具有正形性質(zhì)。即高斯面上的角度投影到橢球面上后角度沒有變形，仍然相等。投影函數(shù)φ1、φ2應(yīng)滿足以下三個(gè)條件：

首先根據(jù)x計(jì)算縱坐標(biāo)在橢球面上的垂足緯度Bf，接著按Bf計(jì)算(Bf-B)及經(jīng)差l,最后得到反算公式的推導(dǎo)方法的基本思想：1.高斯投影坐標(biāo)反算基本思想借助等量緯度2.高斯投影坐標(biāo)反算基本公式c由于高斯投影區(qū)域不大，將(q,l)展開為y的冪級(jí)數(shù)。顧及到“X是投影的對(duì)稱軸”，q應(yīng)是y的偶函數(shù)，l應(yīng)是y的奇函數(shù)，因此3.（q-qf）、l正形投影第三條件求偏導(dǎo)代入整理下面的目標(biāo)是它代入繼續(xù)還剩著前面提到的變換形式6.精度為0.0001″的高斯投影坐標(biāo)反算公式將（8-85）、（8-86）代入(8-81)，得：垂足緯度。其值由子午線弧長(zhǎng)計(jì)算公式反算求得(3)高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋①當(dāng)B=0時(shí)，x=X=0，y則隨l的變化而變化?？梢姡撼嗟劳队盀橐恢本€且為y軸。②當(dāng)l=0時(shí),則y=0,x=X?？梢姡褐醒胱游缇€投影亦為直線，且為x軸，其長(zhǎng)度與中央子午線長(zhǎng)度相等。兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。③當(dāng)l=常數(shù)時(shí)，隨著B值增加，x值增大，y值減??；且當(dāng)用-B代替B時(shí)，y值不變，而x值數(shù)值相等符號(hào)相反?？梢姡航?jīng)線是凹向中央子午線的曲線，收斂于兩極。且對(duì)稱與中央子午線和赤道。④當(dāng)B=常數(shù)時(shí)，隨著的l增加，x值和y值都增大；又當(dāng)用-l代替l時(shí)，x值不變，而y值數(shù)值相等符號(hào)相反?？梢姡壕暰€是凸向赤道的曲線，中央子午線是投影對(duì)稱軸。⑤滿足正形投影條件，所以經(jīng)線和緯線的投影是互相垂直的。⑥距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，表明長(zhǎng)度變形愈大。1）位于兩個(gè)相鄰帶邊緣地區(qū)并跨越兩個(gè)投影帶的控制，為了能在同一帶內(nèi)進(jìn)行平差計(jì)算，計(jì)算前，必須先進(jìn)行起始坐標(biāo)統(tǒng)一化換算。(1)換帶的原因

一個(gè)帶的平面坐標(biāo)換算到相鄰帶的平面坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱為“鄰帶換算”。5.高斯投影坐標(biāo)換帶2)在分界子午線附近測(cè)圖時(shí)，往往需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制，因此必須將這些點(diǎn)的坐標(biāo)換算到同一帶中；為實(shí)現(xiàn)兩相鄰帶地形圖的拼接和使用，在于45＇(或37.5＇)重疊地區(qū)的平面控制點(diǎn)需要具有相鄰帶的坐標(biāo)值。3)當(dāng)大比例尺(1:0000或更大)測(cè)圖時(shí),特別是在工程測(cè)量中，要求采用3°帶、1.5°帶或任意帶，而國(guó)家控制點(diǎn)通常只有6°帶坐標(biāo),這時(shí)就產(chǎn)生了6°帶同3°帶(或1.5“帶、任意帶)之間的相互坐標(biāo)換算問題。(2)應(yīng)用高斯投影正、反算公式間接進(jìn)行換帶計(jì)算平面坐標(biāo)大地坐標(biāo)平面坐標(biāo)實(shí)質(zhì)：把橢球面上的大地坐標(biāo)作為過渡坐標(biāo):

利用高斯投影的正反算公式，可以進(jìn)行不同投影帶坐標(biāo)的換帶計(jì)算。這種方法,理論上最簡(jiǎn)明嚴(yán)密，精度最高，通用性最強(qiáng)。不僅適用于6°-6°帶，3°-3°帶以及6°-3°帶互相之間的鄰帶坐標(biāo)換算，且適用于任意帶之間的坐標(biāo)換算。雖計(jì)算量稍大，但由于計(jì)算機(jī)的普及和本法的通用性及計(jì)算的高精度，它自然便成為坐標(biāo)鄰帶換算中最基本的方法。反算公式正算公式4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐標(biāo)x'，y'。算步驟：1.根據(jù)高斯投影坐標(biāo)x,y，反算得緯度B和經(jīng)度差l；2.由中央子午線的經(jīng)度L0,求得經(jīng)度L=L0+l；3.根據(jù)換帶后新的中央子午線經(jīng)度L0‘

，計(jì)算相應(yīng)的經(jīng)差;算例在中央子午線的Ⅰ帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線的第Ⅱ帶的平面直角坐標(biāo)。計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到:，。采用已求得的,，顧及第Ⅱ帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第Ⅱ帶的直角坐標(biāo),。為了檢核計(jì)算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算二、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換1.平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換兩個(gè)平面直角坐標(biāo)系之間的相似轉(zhuǎn)換一般都包含四個(gè)原始轉(zhuǎn)換參數(shù)，即兩個(gè)平移參數(shù)(△x，△y)，一個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)α和一個(gè)尺度參數(shù)m。常見的轉(zhuǎn)換過程有兩個(gè)：先旋轉(zhuǎn)、再平移、最后統(tǒng)一尺度；先平移、再旋轉(zhuǎn)、最后統(tǒng)一尺度。數(shù)學(xué)模型：令：得：例：曲線測(cè)量中兩個(gè)切線坐標(biāo)系的坐標(biāo)統(tǒng)一換算

一個(gè)曲線有兩個(gè)切線坐標(biāo)系，要在一個(gè)置鏡點(diǎn)用極坐標(biāo)法測(cè)設(shè)整個(gè)曲線，需要將另半個(gè)曲線在HZ點(diǎn)切線坐標(biāo)系下的x′、y′的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為ZH坐標(biāo)系下的坐標(biāo)x、y。

當(dāng)P點(diǎn)位于橢球面上時(shí)：2.大地坐標(biāo)和空間直角