2022年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(6月份)(附答案詳解)_第1頁
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文檔簡介

2022年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(6月份)

一、單選題(本大題共4小題,共20.0分)

1.如圖,△4'B'C'是水平放置的A4BC的斜二測直觀圖,其中O'C'=0'4=2。'8',則

以下說法正確的是()

B.△ABC是等腰三角形,但不是直角三角形

C.△ABC是等腰直角三角形

D.△ABC是等邊三角形

2.已知函數(shù)f(x)=|sinx|+cosx,下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)為偶函數(shù)B./(?為非奇非偶函數(shù)

C.在[0,捫上單調(diào)遞減D.的圖像關(guān)于直線x=熱寸稱

3.若向量優(yōu)方滿足|引=1,\b\=2,al(a+b),則&與石的夾角為()

4.如圖,四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱,4B是一條側(cè)棱,P8=1,2,…,8)是

上底面上其余的八個點(diǎn),則荏?祠(i=1,2,...,8)的不同值的個數(shù)為()

二、填空題(本大題共12小題,共54.0分)

5.已知集合4={y|y=2x,xN0},B={%|y=ln(2—x)},則4nB=

6.若復(fù)數(shù)2=告,則|z-i|=.

7.(%-2y戶的展開式中的系數(shù)是.(用數(shù)字作答)

8.正方體4BCD-4道道1。1的棱長為1,E、F分別為BC、CC1的中點(diǎn),則平面AEF截

正方體所得的截面面積為.

9.已知/(x)為R上的奇函數(shù),且/Q)+/(2-乃=0,當(dāng)一1cx<0時,/(x)=2X,

則/(2+log25)的值為.

10.已知雙曲線捻一'=l(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓C:(%-3)2+y2=4相切,

右焦點(diǎn)和圓心重合,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

11.已知sin(a+$=-圣則sin2a的值為.

12.在如今這個5G時代,6G研究己方興末艾,2021年8月30日第九屆未來信息通信技

術(shù)國際研討會在北京舉辦,會上傳出消息,未來6G速率有望達(dá)到17bps,并啟用毫

米波、太赫茲、可見光等尖端科技,有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò),預(yù)計6G數(shù)

據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍,時延達(dá)到亞毫秒級水平.香農(nóng)公式。=W,og2(l+

分是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù),它表示:在受噪聲干擾的信道中,最

大信息傳遞率C取決于信道寬帶勿,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪

聲功率N的大小,其中,叫做信噪比.若不改變寬帶W,而將信噪比汕11提升至499,

則最大信息傳遞率C會提升到原來的倍.(結(jié)果保留一位小數(shù))

13.已知點(diǎn)F為拋物線/=2Px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8,。為坐標(biāo)

原點(diǎn),若AOFP的面積為2近,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為.

14.設(shè)函數(shù)/j)(x)=|x|,A(%)=|/o(x)-l|,1(%)=歷(%)—2],則函數(shù)上(x)的圖象

與X軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是.

15.函數(shù)/(x)是偶函數(shù),當(dāng)XN0E1寸,f(x)=2x+2x-l,則不等式/(%)>3的解集為

16.已知等差數(shù)列{即}中,a=V1設(shè)函數(shù)f(x)=(4cos2^-2)sinx+cos2x+2,記

5oN

%=人即),則數(shù)列{%}的前9項和為.

三、解答題(本大題共5小題,共76.0分)

17.在A47c中,角4B,C的對邊分別為a,b,c,cosCsin(A+-)-sinCsin(A

632

⑴求B;

(2)若△ABC的周長為4,面積為產(chǎn),求b.

18.如圖,在三棱錐4-BCD中,平面平面BCD,AB=AD,。為BD的中點(diǎn).

(1)證明:041CD;

第2頁,共15頁

(2)已知△。(?。是邊長為1的等邊三角形,且三棱錐4-BCD的體積為?,若點(diǎn)E在

棱AD上,且二面角E-BC-D的大小為45。,求萼.

19.已知{即}是公差為2的等差數(shù)列,%>0,且a4是2a2和。5-2的等比中項.

(1)求{a“}的通項公式;

⑵設(shè)數(shù)列出"滿足?+腎+…+察=?』,求{為}的前71項和6

ala2an

20.已知橢圓C:5+,=l(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為Fi,F(xiàn)2,上,下頂點(diǎn)分別

為4,B,四邊形4F1BF2的面積和周長分別為2和4注.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線,:丫=上。+1)(/£K0)與橢圓。交于從F兩點(diǎn),線段EF的中垂線交y軸

于M點(diǎn),且AEMF為直角三角形,求直線,的方程.

因函數(shù)、=%+;”>0)的圖像形狀象對勾,我們稱形如“y=x+:(t>0)”的函數(shù)為

“對勾函數(shù)”.

(1)證明對勾函數(shù)具有性質(zhì):在(0,歷]上是減函數(shù),在(a,+8)上是增函數(shù);

(2)已知/(x)=2x+W-5,xG[l,3],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值

域;

(3)對于(2)中的函數(shù)f(無)和函數(shù)g(x)=x2-mx+4,若對任意打£[1,3],總存在&e

[1,3],使得g(%2)</(%i)成立,求實數(shù)血的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解:根據(jù)題意,將△A‘8'C'還原成原圖,如圖,

原圖中,則有,OC=OA=OB,

則aABC是等腰直角三角形;

故選:C.

根據(jù)題意,將AAB'C'還原成原圖,分析。C、0B、。4的

關(guān)系,由三角形的性質(zhì)即可得答案.

本題考查平面圖形的直觀圖,涉及斜二測畫法,屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解:f(x)=|sinx|+cosx,則/(—x)=|sin(—x)|+cos(—x)=|sinx|+cosx=

fM,

故/(x)為偶函數(shù),故4正確,8錯誤,

當(dāng)x=0時,/(0)=1,當(dāng)x=]時,/?)=1,故函數(shù)/Q)在[0,網(wǎng)上不單調(diào),故C錯誤,

由于函數(shù)/g-x)=|sin(^-x)|+cos(^-x)=|cosx|+sinx*/(x),故O錯誤.

故選:A.

對于48,結(jié)合偶函數(shù)的定義,即可求解;對于C,結(jié)合特殊值法,即可求解;對于D,

判斷/《一》)是否等于/⑶,即可求解.

本題主要考查偶函數(shù)的定義,以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

(解析]解:??,五JL(4+B),

a-(a+b)=a24-a-K=1+a-K=0,

a-h=-1,

???8S<a,b>=^F=-5'

又Va,b>E[0,TI],

??.a與挪夾角為拳

故選:c.

第4頁,共15頁

根據(jù)條件可得出蒼i=-1,然后即可求出cos(乙的值,從而得出答案.

本題考查了向量夾角的余弦公式,向量垂直的充要條件,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】4

【解析】解:解法一:建立如圖的空間右手直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意得4(0,0,0),5(0,0,1).

Pi(0,1,1),P2(0,2,1),P3(1A1).”(1,1,1),

Ps(1,2,1),P6(2,0,l)?P7(2,1,1),P8(2,2,1),

.?.而?麗=1,稱麗=1,荏?福=1,福麗=

1-希?甌=1,AB-APe=1'AB-AK=1-福福=1,

.?.屈?麗(i=1,2,…,8)的不同值的個數(shù)為1,

解法二:由向量數(shù)量積的幾何定義知:

AB-彳耳等于|AB|與福在荏上的投影之積,

而|荏|=1,麗在同上的投影都為線段2B的長,

ABAPi=1x1=1,

:.荏?福*=1,2,...,8)的不同值的個數(shù)為1,

故選:A.

解法一:建系,根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解;

解法二:根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何定義,向量的投影即可求解.

本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,向量的數(shù)量積的幾何定義,向量的投影,屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】[1,2)

【解析】解:4=(y\y=2x,x>0}={y\y>1],F={x\y=ln(2-x))={x\x<2},

??AC\B=[1,2).

故答案為:[1,2).

根據(jù)已知條件,先對集合4,B化簡,再結(jié)合交集的運(yùn)算,即可求解.

本題主要考查交集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】V5

【解析】解:z=^=湍匕=l-i,

則|z-i|=|1-2i|=V12+(-2)2=V5.

故答案為:V5.

先對z化簡,再結(jié)合復(fù)數(shù)模公式,即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)模公式,屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】一80

【解析】解:根據(jù)二項式定理可得展開式中含/y3的項為C02(_2y)3=-80/y3,

所以%2y3的系數(shù)為-80,

故答案為:—80.

根據(jù)二項式定理求出展開式中含/好的項,由此即可求解.

本題考查了二項式定理的應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】I

O

【解析】解:如圖,把截面力EF補(bǔ)形為四邊形4EFD],

連接45,貝何尸〃45,可得等腰梯形AEFDi為平面4EF截正方體所得的截面圖形,

由正方體4BCD-4出忑也的棱長為1,得力劣=&,EF=號

AE=J1+;=苧,則E到仍的距離為4_《)2=等

S四邊形4EFD]=:(曰+或)x苧=£

故答案為:O

把截面4EF補(bǔ)形為四邊形4EFD],由等腰梯形計算其面積即可.

本題考查了學(xué)生的作圖能力及立體幾何證明與求解的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】一3

【解析】解:根據(jù)題意,為R上的奇函數(shù),且/(均+/(2-%)=0,

f(2-x)=-f(x)=f(-x),變形可得f(%+2)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為2的周期

函數(shù),

第6頁,共15頁

則/'(2+log25)=/-(log25-2)=f(log2》,

f(x)為奇函數(shù)且當(dāng)一1<x<0時,f(x)=?x,則f(l°g2》=—/(—log?》=-/(log2i)=

4

貝”(2+log25)=-/

故答案為:-:.

根據(jù)題意,分析函數(shù)的周期,由此可得/■(2+log25)="log25-2)=/(log2$,結(jié)合

函數(shù)的奇偶性和解析式計算可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用,涉及函數(shù)值的計算,屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】百一狂=1

54

【解析】解:由題意可知,雙曲線《一5=l(a>0,b>0)的兩條漸近線方程為y=+^x,

即bx+ay=0,

由圓C的方程為(x-3)2+y2=4,得圓心為C(3,0),半徑為r=2,

因為右焦點(diǎn)和圓心重合,所以雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),c=3,

又因為雙曲線5―3=l(a>0,b>0)的兩條漸近線均與圓C:3y+y2=4相切,

所以與需1=2,即畏=2,解得b=2,

Va2+b27c2

所以4=c2-b2=9—4=5,

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為蘭-絲=1.

54

故答案為:=1.

54

根據(jù)已知條件得出雙曲線的漸近線方程及圓的圓心和半徑,進(jìn)而得出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),

利用雙曲線的漸近線與圓相切,得出圓心到漸近線的距離等于半徑,結(jié)合雙曲線中a,b,

c三者之間的關(guān)系即可求解.

本題考查了雙曲線的性質(zhì),屬于中檔題.

11.【答案w

【解析】解:因為sin(a+彳)=—圣

所以日(sina+cosa)=—可得sina+cosa=---,

2

兩邊平方,可得sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a=|,

則sin2a=

故答案為:

由已知利用兩角和的正弦公式化簡可求sina+cosa=-漁,將等式兩邊平方,利用同

2

角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式即可求解.

本題考查了兩角和的正弦公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式在三角

函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】2.5

【解析】解:設(shè)提升前最大信息傳遞率為G,提升后最大信息傳遞率為C2,

由題意可知,Ci=Wlog2(.l+11)=Wlog212,

C2=仞0先(1+499)=Wlog2500,

W,og2500_202(125)_Zo^(22x53)

所以我=。。乂2

2

Wlog212~log2(.2x3)~他⑵對

1。。222+,0。253_2+3,。%5_2+3x2.328.96

2----a2.5倍.

logz2+logl~2+log23-2+1.583.58

所以最大信息傳遞率C會提升到原來的2.5倍.

故答案為:2.5.

設(shè)提升前最大信息傳遞率為的,提升后最大信息傳遞率為C2,再根據(jù)題意求?,利用指

數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求解.

本題考查函數(shù)的實際應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

13.【答案】x=-l

【解析】解:拋物線必=2Px(p>0)的焦點(diǎn)F《,0),

由y2=I6p,可得y=±4而,不妨令P(8,4赤),

則,OFP=|X^X4萬=py/p=2V2,解之得p=2,

則拋物線方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-l.

故答案為:%=-1.

先求得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,再去求其準(zhǔn)線方程即可解決.

本題考查了拋物線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

第8頁,共15頁

14.【答案】7

【解析】解:根據(jù)題意,可由%(x)的圖象向下平移1個單位,然后進(jìn)行絕對值變換得到

再把方。)向下平移2個單位,再進(jìn)行絕對值變換得到月Q)的圖象如圖所示:

先根據(jù)條件分別求出在第一象限,0cx<”寸,心(x)=x+1;當(dāng)1Wx<3時,心(%)=

—X+3

;2(x)的圖象與無軸所圍成圖形中的封閉部分的面積S=2[。(%+l)dx+/;(-x+

3)]=2[(1x2+%|J)+(-1x2+3x|?)]=7

故答案為:7

要求函數(shù)心")的圖象與工軸所圍成圖形中的封閉部分的面積,先求出函數(shù)月。)的解析式,

由題意可知,根據(jù)圖象的平移與對稱可得到函數(shù)心(%)的圖象及解析式,然后利用定積

分求出面積即可.

此題是中檔題,要求學(xué)生會利用平移及絕對值變換得到函數(shù)的圖象,然后才能利用定積

分求面積.學(xué)生做題時應(yīng)當(dāng)把函數(shù)圖象畫出來,然后數(shù)形結(jié)合才能得到解題思路.

15.【答案】(-8,-1)u(1,+8)

【解析】解:,當(dāng)X20時,/(x)=2x+2X-1,

???當(dāng)xNO時,單調(diào)遞增,

又?;/(%)是偶函數(shù),且/(1)=3,

不等式f(|x|)>3=/(I),即田>1,解得久>1或x<-1,

故不等式/(K)>3的解集為(—8,—1)U(1,4-00).

故答案為:(―°°,—1)U(l,+oo).

根據(jù)已知條件,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,以及函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.

本題主要考查函數(shù)的奇偶性,以及函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】18

【解析】解:,?'/(%)=(4cos2^-2)sinx+cos2x+2=2cosxsinx+cos2x+2=

sin2x+cos2x+2

=V2sin(2x+3)+2,

由2x+£=k7r(k€Z),可得x="—g(keZ),當(dāng)k=l時,x=f,

4288

故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?,2)對稱,

o

由等差中項的性質(zhì)可得%+=。2+。8=。3+。7=。4+。6=2a5,

故/'(%)+/(。9)=/(。2)+/(。8)=/(?3)+/(?7)=/(?4)+/(。6)=2X2=4,

所以,數(shù)列仇}的前9項和為f(%)+/(a2)+…+/(a9)=4x(2x2)+/(a5)=16+

2=18.

故答案為:18.

化簡函數(shù)f(x)的解析式,函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(?,2)對稱,利用等差中項的性質(zhì)結(jié)合正弦型

O

函數(shù)的對稱性質(zhì)可求得結(jié)果.

本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合,考查學(xué)生的綜合能力,屬于中檔題.

17.【答案】解:(l)sin(4-9=sinQ4+£—T)=-COS(4+£),

Jozo

故原式左邊等價于cosCs譏(A+7)+sinCcos{A+7)=sin(4+7+C)=sin(7r-B+

666

*=sin(B—)即sin(B/)=右

又0<B<IT,

故B-洛,

所以B=g;

(2)由余弦定理知"妥""=cosB=5即/4-c2-ac=/?2,

又a+b+c=4,

故小4-c2-ac=[4—(a+c)]2,整理得3ac+16=8(a+c),

又S2ABC=Y=\acsinB=與ac,可得ac=

故a4-c=j,

所以b=|.

第10頁,共15頁

【解析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換化簡己知等式可得sin(B-5結(jié)合范圍0<B<

oN

TT,即可求解8的值.

(2)由已知利用余弦定理可得a?+c2-ac=非,又a+b+c=4,利用三角形的面積公

式可求ac=*進(jìn)而求得a+c=|,即可求解b的值.

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換,余弦定理,三角形的面積公式在解三角形中的綜合

應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

18.【答案】(1)證明:因為=。為BD的中點(diǎn),

所以。4JLBD,

因為平面ABD1平面BCD,平面4BDn平面BCD=BD,。4u平面4BD,

所以021平面BCD,

因為COu平面BCD,所以。4J.CD,

解:(2)取。。的中點(diǎn)尸,

因為AOCD為等邊三角形,所以CFJ.OD,

過。作。M\\CF,與BC交于M,則OMJ.。。,

由(1)可知。A_L平面BC。,

因為。“,。。<3平面8。。,所以041?!?,0A10D,

所以。例,OD,0A兩兩垂直,所以以。為原點(diǎn),OM,0D,。4所在的直線分別為x,y,

z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,

因為△OCD是邊長為1的等邊三角形,。為BD的中點(diǎn),

所以SABCD=2s4()CD=2X弓=

因為三棱維4-BCD的體積為立,

6

所以!SABCD?04=gx?04=^,所以04=1,

Joz—

6

設(shè)詈=t(t>0),則DE=tE4,則E(0,近,±)

Cn1"T*C1TC

因為。41平面BCD,所以瓦5=(0,0,1)是平面BCD的一個法向量,

設(shè)平面BCE的一個法向量為=(x,y,z),

因為配=(',|,0),俞=(0,宵,味)?

n-BC=—x+-y=0

所以一tK2t,令艾=7,貝W=i,z=_t+等2

n-BE=—y+—z=0c

、t+lzt+1

所以荏=(一百,1,一半),

因為二面角E-BC-。的大小為45。,

所以|cos〈瓦?,力|=|周高42

2,

化簡得(1+|)2=4,解得t=2或t=-|(舍去),

所以篙=2,

【解析】(1)由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證得04,平面BCD,再由線面

垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論,

(2)取。。的中點(diǎn)F,則可得CF10D,過。作。M|CF,與BC交于M,則0M10D,可得。M,

0D,。4兩兩垂直,所以以。為原點(diǎn),OM,0D,。4所在的直線分別為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解即可.

本題考查二面角及空間向量的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

19.【答案】解:(1){%3是公差為2的等差數(shù)列,%>0,且。4是2a2和。5-2的等比中

項,

可得諼=2a2(。5-2),即為(%+6)2=2(%+2)(%+8-2),

解得%=2(負(fù)值舍去),

則Qn=24-2(n-1)=2n:

(2)數(shù)列{九}滿足4+*+?“+察=2"1,

aia2an

可得ri=1時,瓦=4al=8,

nN2時,?+腎+…+”=2",兩式相減可得*=2%

aia2^n-1an

nn+1

則匕=2an=n?2,

第12頁,共15頁

所以〃=4+l,2^+2,2^+...+n-2n+1?

2〃=8+1?23+2?24+...+n-2n+2,

兩式相減可得一7;=-4+22+23+...+2n+1-n-2n+2

=-4+4("2")—幾.2n+2,

1-2

化簡可得〃=8+5—1)-2n+2.

【解析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用,以及數(shù)列的錯位

相減法求和,考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想、運(yùn)算能力,屬于中檔題.

(1)由等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式,解方程可得首項,進(jìn)而得到所求通

項公式:

(2)由數(shù)列的遞推式可得勾,再由數(shù)列的錯位相減法求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,

可得所求和.

-x2cxZ)x2=2

2

20.【答案】解:(1)由題意可知,14a=4或

以2=匕2+?2

"2

所以橢圓C的方程為y+y2=1;

(y=fc(x+1)

(2)設(shè)E(xi,yI),F(xiàn)(x,y),聯(lián)立/工2..

22%+y=1

消去y,整理得(1+2fc2)x2+4k2%+21-2=0.

所以勺+芯2=一②,與&=蕊,

4=(4/)2-4(1+2k2)(21-2)=8(1+fc2)>0,

由[、/1+亞_2k2%+為_、(-1+必+2)_k

1X~2~~~l+2k^f22-1+2西

所以線段EF的中垂線y—急=一;。+恚),令x=0,解得y=一4,

因此,“(°,一生危),所以ME=(Xi,y1+不服),MF=。2,丫2+生包),

因為AEMF為直角三角形,且ME=MF,

所以ME1MF,所以砒,MF=xrx2+(y]+—773)(72+焉7)

JL十NKJiiZifC

k2k

=Xl%2+kQl+1)。2+1)+強(qiáng)定l+2k2+(l+2k2)2

22

k2(X]+X)+fc+(]+;H)2

=(FC+1)%IX2+2

〃2,八2k2-24k23k2

+k+

=*+1)X1+2,2-1+2fci(1+27)2

=絲土父=0,所以卜2=1,即卜=±1,

l+2k

所以直線,的方程為x-y+1=0或x+y+1=0.

【解析】(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì),列方程求出a和b的值,即可得到橢圓的方程;

(2)將直線1的方程,代入橢圓方程,求得E

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