人教版(新教材)高中數(shù)學(xué)必修1(第一冊)學(xué)案：4.3.2 對數(shù)的運算

高中數(shù)學(xué)人教A版（新教材）必修第一冊PAGEPAGE14．3.2對數(shù)的運算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立條件.2.掌握換底公式及其推論.3.能熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行化簡求值．知識點一對數(shù)運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．知識點二換底公式1．logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．對數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；(2)＝eq\f(m,n)logab(a>0，且a≠1，b>0)；(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．預(yù)習(xí)小測自我檢驗1．計算log84＋log82＝________.『答案』12．計算log510－log52________.『答案』13．(1)lgeq\r(10)＝________；(2)已知lna＝0.2，則lneq\f(e,a)＝________.『答案』(1)eq\f(1,2)(2)0.84.eq\f(log29,log23)＝________.『答案』2

一、對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用例1計算下列各式：(1)log5eq\r(3,625)；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log5eq\f(9,5).解(1)原式＝eq\f(1,3)log5625＝eq\f(1,3)log554＝eq\f(4,3).(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.反思感悟?qū)?shù)式化簡與求值的基本原則和方法(1)基本原則對數(shù)式的化簡求值一般是正用或逆用公式，對真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡，取決于問題的實際情況，一般本著便于真數(shù)化簡的原則進(jìn)行．(2)兩種常用的方法①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．跟蹤訓(xùn)練1計算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9－\f(3,5)lg\r(27),lg81－lg27).解(1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5－lg2＋2lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3－\f(9,10)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)－\f(9,10)))lg3,4－3lg3)＝eq\f(9,10).二、對數(shù)換底公式的應(yīng)用例2(1)計算：(log43＋log83)log32＝________.『答案』eq\f(5,6)『解析』原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log34)＋\f(1,log38)))log32＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))log32＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)解因為18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log182×18)＝eq\f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq\f(a＋b,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).延伸探究若本例(2)條件不變，求log915.(用a，b表示)解因為18b＝5，所以log185＝b.所以log915＝eq\f(log1815,log189)＝eq\f(log183×5,log189)＝eq\f(log183＋log185,a)＝eq\f(log18\r(9)＋b,a)＝＝eq\f(\f(1,2)log189＋b,a)＝eq\f(\f(1,2)a＋b,a)＝eq\f(a＋2b,2a).

反思感悟利用換底公式化簡與求值的思路跟蹤訓(xùn)練2(1)eq\f(log89,log23)的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．1D．2『答案』A『解析』方法一將分子、分母利用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)，即eq\f(log89,log23)＝eq\f(\f(lg9,lg8),\f(lg3,lg2))＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(2,3).方法二將分子利用換底公式轉(zhuǎn)化為以2為底的對數(shù)，即eq\f(log89,log23)＝eq\f(\f(log29,log28),log23)＝eq\f(2log23,3log23)＝eq\f(2,3).(2)計算：eq\f(log5\r(2)·log79,log5\f(1,3)·log7\r(3,4)).解原式＝eq\f(log5\r(2),log5\f(1,3))·eq\f(log79,log7\r(3,4))＝－eq\f(1,2)·log32·3log23＝－eq\f(3,2).三、對數(shù)的綜合應(yīng)用例32018年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果平均每年增長8%，估計約經(jīng)過多少年后國民生產(chǎn)總值是2018年的2倍？(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精確到1年)解設(shè)經(jīng)過x年后國民生產(chǎn)總值為2018年的2倍．經(jīng)過1年，國民生產(chǎn)總值為a(1＋8%)，經(jīng)過2年，國民生產(chǎn)總值為a(1＋8%)2，…，經(jīng)過x年，國民生產(chǎn)總值為a(1＋8%)x＝2a，所以1.08x＝2，所以x＝log1.082＝eq\f(lg2,lg1.08)＝eq\f(0.3010,0.0334)≈9，故約經(jīng)過9年后國民生產(chǎn)總值是2018年的2倍．反思感悟解決對數(shù)應(yīng)用題的一般步驟跟蹤訓(xùn)練3在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：kg)，火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位：kg)滿足ev＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2000(e為自然對數(shù)的底數(shù)，ln3≈1.099)．當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭(除燃料外)質(zhì)量m的兩倍時，求火箭的最大速度(單位：m/s)．解因為v＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2000＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，所以v＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m的兩倍時，火箭的最大速度為2198m/s.1．計算：log123＋log124等于()A．1B．2C．3D．4『答案』A2．若lg2＝m，則lg5等于()A．mB.eq\f(1,m)C．1－mD.eq\f(10,m)『答案』C『解析』lg5＝lgeq\f(10,2)＝lg10－lg2＝1－m.3．化簡eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的結(jié)果為()A．6eq\r(2)B．12eq\r(2)C．log6eq\r(3)D.eq\f(1,2)『答案』C『解析』原式＝log6eq\r(12)－log62＝log6eq\f(\r(12),2)＝log6eq\r(3).4．下列各等式正確的為()A．log23·log25＝log2(3×5)B．lg3＋lg4＝lg(3＋4)C．log2eq\f(x,y)＝log2x－log2yD．lgeq\r(n,m)＝eq\f(1,n)lgm(m>0，n>1，n∈N*)『答案』D『解析』A，B顯然錯誤，C中，當(dāng)x，y均為負(fù)數(shù)時，等式右邊無意義．5．計算：log5eq\f(1,3)·log36·log6eq\f(1,25)＝________.『答案』2『解析』原式＝eq\f(lg\f(1,3),lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lg\f(1,25),lg6)＝eq\f(－lg3,lg5)·e