教師用：全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法

教師用2014、8、11周一-PAGE4-全等三角形問題中常見的輔助線的作法總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等1.等腰三角形“三線合一”法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2.倍長(zhǎng)中線：倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添輔助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”：遇到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段的長(zhǎng)，6.圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30、60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為30度或60度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形遇到角平分線在三種添輔助線的方法（1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線（2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答．一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.解：延長(zhǎng)AD至E使AE＝2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范圍是1<AD<4例2、如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.解：(倍長(zhǎng)中線,等腰三角形“三線合一”法)延長(zhǎng)FD至G使FG＝2EF，連BG，EG,顯然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三線合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性質(zhì)知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.△ADP≌△ACP（ASA）故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)BA至F，使BF＝BC，連FD△BDF≌△BDC（SAS）故∠DFB＝∠DCB，F(xiàn)D＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至F，使AF＝AB，連PD△ABP≌△AFP（SAS）故BP＝PF由三角形性質(zhì)知PB－PC＝PF－PC<CF＝AF－AC＝AB－AC應(yīng)用：1、如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．(答案與解析)證明：∵AB＞AC，則在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．(點(diǎn)評(píng))因?yàn)锳B＞AC，所以可在AB上截取線段AE＝AC，這時(shí)BE＝AB－AC，如果連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE．這表明只要證明ME＝MC，則結(jié)論成立．充分利用角平分線的對(duì)稱性，截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān)鍵.三、平移變換例1AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為，△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.解：（鏡面反射法）延長(zhǎng)BA至F，使AF＝AC，連FEAD為△ABC的角平分線,MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE（SAS）故EF＝CE在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例2如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長(zhǎng)至N,使MN=AM,連BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延長(zhǎng)ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。四、借助角平分線造全等1、在ΔABC中，AB＞AC.求證：∠B＜∠C(答案與解析)證明：作∠A的平分線，交BC于D，把△ADC沿著AD折疊，使C點(diǎn)與E點(diǎn)重合.在△ADC與△ADE中∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.(點(diǎn)評(píng))作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD，DC+AE=AC證明(角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法)∠B=60度,則∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均為角平分線,則∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.則⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.則∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.3、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BD，DCDG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC（HL）故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝（a+b）/2BE=(a-b)/2五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。解：(計(jì)算數(shù)值法)（1）連接DC，D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1應(yīng)用：如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為；解：(圖形補(bǔ)全法,“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”,計(jì)算數(shù)值法)AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，在線段CF上取點(diǎn)E，使CE＝BM∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和