專題22.6 難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長、線段最值問題之三大考點(diǎn)（原卷版）

專題22.6難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長、線段最值問題之三大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最值問題】 1【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求周長最值問題】 12【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求線段最值問題】 26【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最值問題】例題：（2022春·九年級單元測試）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，，若點(diǎn)在直線的下方運(yùn)動，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，使四邊形的面積最大，求出此時(shí)四邊形的面積最大值和P的坐標(biāo)．2．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級?？计谥校┤鐖D，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)連接，說明；(3)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2023年遼寧省營口市中考模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試卷）已知直線l與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．

(1)求直線的函數(shù)解析式和拋物線的函數(shù)解析式；(2)在第一象限內(nèi)拋物線上取點(diǎn)，連接、，求面積的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)拋物線上是否存在點(diǎn)使為直角三角形，如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線交直線于坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)，交軸于另一點(diǎn)，連接．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)．連接，求面積的最大值；(3)若在直線上存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求周長最值問題】例題：（2023秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D．(1)試確定的值，并直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)試在軸上求一點(diǎn)P，使得的周長取最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BCF周長最小，若存在求點(diǎn)F坐標(biāo)，并求周長的最小值；若不存在，請說明理由2．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)判斷的形狀，證明你的結(jié)論；(3)點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)周長最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的最小周長；(4)在該拋物線位于第四象限內(nèi)的部分上是否存在點(diǎn)，使得的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.3．（2022秋·江蘇連云港·九年級連云港市新海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求拋物線的解析式．(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M．使的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，連接，點(diǎn)E是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作交拋物線于點(diǎn)F，以M，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．4．（2022秋·山西大同·九年級大同一中校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

(1)求的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2)點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)點(diǎn)為拋物線在第一象限上的一個(gè)點(diǎn)，連接，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求出的最大面積和點(diǎn)的坐標(biāo)；5．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持時(shí)的矩形不動，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離．【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求線段最值問題】例題：（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對稱，與相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，且位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間；點(diǎn)N在拋物線上，也位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且軸．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求線段長度的最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若直線與軸交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點(diǎn)，當(dāng)取何值時(shí)，使得有最大值，并求出最大值．(3)若點(diǎn)為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，將拋物線向左平移個(gè)單位長度后，為平移后拋物線上一動點(diǎn)．在（）的條件下求得的點(diǎn)，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請說明理由．2．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．3．（2023·海南海口·海師附中?？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，連接，P是第一象限內(nèi)拋物線上的