專題26 反比例函數(shù)【有答案】

專題26反比例函數(shù)知識點一：反比例函數(shù)的定義形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其他形式xy=k知識點二：反比例函數(shù)的圖像和性質1.圖像：反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x0，函數(shù)y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線y=x和y=-x。對稱中心是：原點k＞0k＜02.性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減?。划攌＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大。

知識點三：反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義如圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。|k|的幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積。在學習反比例函數(shù)時，教師可讓學生對比之前所學習的一次函數(shù)啟發(fā)學生進行對比性學習。在做題時，培養(yǎng)和養(yǎng)成數(shù)形結合的思想。1.反比例函數(shù)解析式的確定方法確定解析式的方法是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。2.用函數(shù)的觀點處理實際問題關鍵在于分析實際情景，建立函數(shù)模型，并且進一步明確數(shù)學問題將實際問題置于已學的知識背景之中，用數(shù)學知識重新解釋這是什么？可以看作什么？逐步形成考察實際問題的能力，在解決實際問題時，不僅要充分利用函數(shù)圖象的性質，參透數(shù)形結合的思想，也要注意函數(shù)、不等式、方程之間的聯(lián)系。生活中處處有數(shù)學。用反比例函數(shù)去研究兩個物理量之間的關系是在物理學中最常見的，因此同學們要學好物理，首先要打好數(shù)學基礎，才能促進你對物理知識的理解和探索。1.在工程與速度中的應用；2.反比例函數(shù)在電學中的運用；3.在光學中運用；4.在排水方面的運用；5.在解決經(jīng)濟預算問題中的應用；6.其他方面的應用?！纠}1】（2020?濱州）如圖，點A在雙曲線y=4x上，點B在雙曲線y=12x上，且AB∥x軸，點C、D在A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關系S＝|k|即可判斷．【解析】過A點作AE⊥y軸，垂足為E，∵點A在雙曲線y=4∴四邊形AEOD的面積為4，∵點B在雙曲線線y=12x上，且AB∥∴四邊形BEOC的面積為12，∴矩形ABCD的面積為12﹣4＝8．【例題2】（2020?常德）如圖，若反比例函數(shù)y=kx（x＜0）的圖象經(jīng)過點A，AB⊥x軸于B，且△AOB的面積為6，則k＝【答案】﹣12．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可解決問題．【解析】∵AB⊥OB，∴S△AOB=|k∴k＝±12，∵反比例函數(shù)的圖象在二四象限，∴k＜0，∴k＝﹣12【例題3】（2020?廣東）如圖，點B是反比例函數(shù)y=8x（x＞0）圖象上一點，過點B分別向坐標軸作垂線，垂足為A，C．反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象經(jīng)過OB的中點M，與AB，BC分別相交于點D，E．連接DE并延長交x軸于點F，點G與點O關于點C對稱，連接（1）填空：k＝；（2）求△BDF的面積；（3）求證：四邊形BDFG為平行四邊形．【答案】見解析?！痉治觥浚?）設點B（s，t），st＝8，則點M（12s，12t），則k=12s?12t（2）△BDF的面積＝△OBD的面積＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；（3）確定直線DE的表達式為：y=-12m2x+52m，令y＝0，則x＝【解析】（1）設點B（s，t），st＝8，則點M（12s，12則k=12s?12t=1故答案為2；（2）△BDF的面積＝△OBD的面積＝S△BOA﹣S△OAD=12×8-1（3）設點D（m，2m），則點B（4m，2∵點G與點O關于點C對稱，故點G（8m，0），則點E（4m，12設直線DE的表達式為：y＝sx+n，將點D、E的坐標代入上式得2m=ms故直線DE的表達式為：y=-12m2x+52m，令y＝0，則x＝故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，則FG∥BD，故四邊形BDFG為平行四邊形．《反比例函數(shù)》單元精品檢測試卷本套試卷滿分120分，答題時間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共18分）1．（2020?黑龍江）如圖，正方形ABCD的兩個頂點B，D在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，對角線AC，BD的交點恰好是坐標原點O，已知B（﹣1，1），則A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【答案】D【分析】把B（﹣1，1）代入y=k【解析】∵點B在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，B（﹣1，∴1=k∴k＝﹣12．（2020?內江）如圖，點A是反比例函數(shù)y=kx圖象上的一點，過點A作AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，則A．43 B．83 C．3 D【答案】D【分析】根據(jù)題意可知△AOC的面積為2，然后根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k的值．【解析】∵AC⊥x軸，垂足為點C，D為AC的中點，若△AOD的面積為1，∴△AOC的面積為2，∵S△AOC=12|k|＝2，且反比例函數(shù)y∴k＝43．（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點B，則A．163 B．8 C．10 D．【答案】D【分析】過D作DE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸，BH⊥y軸，得到∠BHC＝90°，根據(jù)勾股定理得到AE=AD2-DE2=4，根據(jù)矩形的性質得到AD＝BC，根據(jù)全等三角形的性質得到BH＝【解析】過D作DE⊥x軸于E，過B作BF⊥x軸，BH⊥y軸，∴∠BHC＝90°，∵點D（﹣2，3），AD＝5，∴DE＝3，∴AE=AD∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠DCH，∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，∠CPD＝∠APO，∴∠DCP＝∠DAE，∴∠CBH＝∠DAE，∵∠AED＝∠BHC＝90°，∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝4，∵OE＝2，∴OA＝2，∴AF＝2，∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠BAF，∴△APO∽△BAF，∴OPAF∴12×32=2BF，∴BF=∴k=4．（2020?黔東南州）如圖，點A是反比例函數(shù)y=6x（x＞0）上的一點，過點A作AC⊥y軸，垂足為點C，AC交反比例函數(shù)y=2x的圖象于點B，點P是A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】連接OA、OB、PC．由于AC⊥y軸，根據(jù)三角形的面積公式以及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB進行計算．【解析】如圖，連接OA、OB、PC．∵AC⊥y軸，∴S△APC＝S△AOC=12×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC=1∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2．5．（2020?金華）已知點（﹣2，a）（2，b）（3，c）在函數(shù)y=kx（k＞A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a【答案】C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質得到函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨x的增大而減小，則b＞c＞0，a＜【解析】∵k＞0，∴函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象分布在第一、三象限，在每一象限，y隨∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．6．（2020?黔西南州）如圖，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一個頂點C在反比例函數(shù)y═kx（k≠0A．y=-33x B．y=-3x C．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質和平面直角坐標系的特點可以求得點C的坐標，從而可以求得k的值，進而求得反比例函數(shù)的解析式．【解析】∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形邊長為2，∴OC＝2，∠COB＝60°，∴點C的坐標為（﹣1，3），∵頂點C在反比例函數(shù)y═kx∴3=k-1即y=二、填空題（每空3分，共27分）7.如果反比例函數(shù)（是常數(shù)，≠0）的圖像經(jīng)過點(－1，2)，那么這個函數(shù)的解析式是．【答案】【解析】根據(jù)點在曲線圖上點的坐標滿足方程的關系，把(－1，2)代入，得，即，那么這個函數(shù)的解析式是。8.若點A（1，1）、B（2，2）是雙曲線上的點，則12（填“＞”，“＜”或“=”）．【答案】＞【解析】∵比例函數(shù)中=3＞0，∴此函數(shù)圖象在一、三象限，且在每一象限內隨的增大而減小，∵點A（1，1）、B（2，2）是此雙曲線上的點，2＞1＞0，∴A、B兩點在第一象限，由2＞1，得1＞。9.如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過坐標原點的直線l相交于A、B兩點，過點B作軸的垂線，垂足為C，若△ABC的面積為3，則這個反比例函數(shù)的解析式為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭OA（，）（，），則根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性，B（－，－）（，），因此S△ABC=S△ACO＋S△BCO=。則這個反比例函數(shù)的解析式為。10．如圖，菱形ABCD頂點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，函數(shù)y＝（k＞3，x＞0）的圖象關于直線AC對稱，且經(jīng)過點B、D兩點，若AB＝2，∠BAD＝30°，則k＝．【答案】6+2．【解析】連接OC，AC過A作AE⊥x軸于點E，延長DA與x軸交于點F，過點D作DG⊥x軸于點G，∵函數(shù)y＝（k＞3，x＞0）的圖象關于直線AC對稱，∴O、A、C三點在同直線上，且∠COE＝45°，∴OE＝AE，不妨設OE＝AE＝a，則A（a，a），∵點A在在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴a2＝3，∴a＝，∴AE＝OE＝，∵∠BAD＝30°，∴∠OAF＝∠CAD＝∠BAD＝15°，∵∠OAE＝∠AOE＝45°，∴∠EAF＝30°，∴AF＝，EF＝AEtan30°＝1，∵AB＝AD＝2，AE∥DG，∴EF＝EG＝1，DG＝2AE＝2，∴OG＝OE+EG＝+1，∴D（+1，2），故答案為：6+2．【點撥】連接OC，AC過A作AE⊥x軸于點E，延長DA與x軸交于點F，過點D作DG⊥x軸于點G，得O、A、C在第一象限的角平分線上，求得A點坐標，進而求得D點坐標，便可求得結果．說明：學完解直角三角形后，再做這個題。11．（2020?遼陽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點A在反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象上，點B，C在x軸上，OC=15OB，延長AC交y軸于點D，連接BD，若△BCD的面積等于1，則k的值為【答案】3．【分析】作AE⊥BC于E，連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質得出OC=12CE，根據(jù)相似三角形的性質求得S△CEA＝1，進而根據(jù)題意求得S△AOE=32，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)【解析】作AE⊥BC于E，連接OA，∵AB＝AC，∴CE＝BE，∵OC=15OB，∴OC=∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴S△CEAS△COD=（∵△BCD的面積等于1，OC=15∴S△COD=14S△BCD=14，∴S△CEA＝∵OC=12CE，∴S△AOC=12S△CEA=12，∴S∵S△AOE=12k（k＞0），∴k＝故答案為3．12．（2020?陜西）在平面直角坐標系中，點A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分別在三個不同的象限．若反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過其中兩點，則m的值為【答案】﹣1．【分析】根據(jù)已知條件得到點A（﹣2，1）在第三象限，求得點C（﹣6，m）一定在第三象限，由于反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過其中兩點，于是得到反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過B（3，2），C（﹣【解析】∵點A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分別在三個不同的象限，點A（﹣2，1）在第三象限，∴點C（﹣6，m）一定在第三象限，∵B（3，2）在第一象限，反比例函數(shù)y=kx（k≠∴反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過B（3，2），C（﹣6，∴3×2＝﹣6m，∴m＝﹣113．（2020?涼山州）如圖，矩形OABC的面積為1003，對角線OB與雙曲線y=kx（k＞0，x＞0）相交于點D，且OB：OD＝5：3，則k的值為【答案】12．【分析】設D的坐標是（3m，3n），則B的坐標是（5m，5n），根據(jù)矩形OABC的面積即可求得mn的值，把D的坐標代入函數(shù)解析式y(tǒng)=kx即可求得【解析】設D的坐標是（3m，3n），則B的坐標是（5m，5n）．∵矩形OABC的面積為1003∴5m?5n=100∴mn=4把D的坐標代入函數(shù)解析式得：3n=k∴k＝9mn＝9×4314．（2020?達州）如圖，點A、B在反比函數(shù)y=12x的圖象上，A、B的縱坐標分別是3和6，連接OA、OB，則△OAB的面積是【答案】9．【分析】根據(jù)圖象上點的坐標特征求得A、B的坐標，將三角形AOB的面積轉化為梯形ABED的面積，根據(jù)坐標可求出梯形的面積即可，【解析】∵點A、B在反比函數(shù)y=12x的圖象上，A、B的縱坐標分別是3和∴A（4，3），B（2，6），作AD⊥y軸于D，BE⊥y軸于E，∴S△AOD＝S△BOE=12×12∵S△OAB＝S△AOD+S梯形ABED﹣S△BOE＝S梯形ABED，∴S△AOB=12（4+2）×（6﹣315．（2020?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB在y軸上，點C坐標為（2，﹣2），并且AO：BO＝1：2，點D在函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，則k的值為【答案】2．【分析】先根據(jù)C的坐標求得矩形OBCE的面積，再利用AO：BO＝1：2，即可求得矩形AOED的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k．【解析】如圖，∵點C坐標為（2，﹣2），∴矩形OBCE的面積＝2×2＝4，∵AO：BO＝1：2，∴矩形AOED的面積＝2，∵點D在函數(shù)y=kx（x＞∴k＝2三、解答題（6個小題，共75分）16．（14分）如圖，平面直角坐標系中，O為原點，點A、B分別在y軸、x軸的正半軸上．△AOB的兩條外角平分線交于點P，P在反比例函數(shù)y＝的圖象上．PA的延長線交x軸于點C，PB的延長線交y軸于點D，連接CD．（1）求∠P的度數(shù)及點P的坐標；（2）求△OCD的面積；（3）△AOB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請說明理由．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）如圖，作PM⊥OAYM，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性質解決問題即可．（2）設OA＝a，OB＝b，則AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，利用勾股定理求出a，b之間的關系，求出OC，OD即可解決問題．（3）設OA＝a，OB＝b，則AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，可得AB＝6﹣a﹣b，推出OA+OB+AB＝6，可得a+b+＝6，利用基本不等式即可解決問題．解：（1）如圖，作PM⊥OAYM，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，∴△PAM≌△PAH（AAS），∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可證：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，∴四邊形PMON是矩形，∴∠MPN＝90°，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，∵PM＝PN，∴可以假設P（m，m），∵P（m，m）在y＝上，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3，∴P（3，3）．（2）設OA＝a，OB＝b，則AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，可得ab＝18﹣6a﹣6b，∴9﹣3a﹣3b＝ab，∵PM∥OC，∴＝，∴＝，∴OC＝，同法可得OD＝，∴S△COD＝?OC?DO＝＝＝＝6．（3）設OA＝a，OB＝b，則AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∴OA+OB+AB＝6，∴a+b+＝6，∴2+≤6，∴（2+）≤6，∴≤3（2﹣），∴ab≤54﹣36，∴S△AOB＝ab≤27﹣18，∴△AOB的面積的最大值為27﹣18．【點撥】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的應用，全等三角形的判定和性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，基本不等式等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．17.（14分）如圖，已如平行四邊形OABC中，點O為坐標頂點，點A（3，0），C（1，2），函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點C．（1）求k的值及直線OB的函數(shù)表達式：（2）求四邊形OABC的周長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）根據(jù)函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過點C，可以求得k的值，再根據(jù)平行四邊形的性質即可求得點B的坐標，從而可以求得直線OB的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題目中各點的坐標，可以求得平行四邊形各邊的長，從而可以求得平行四邊形的周長．解：（1）依題意有：點C（1，2）在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，∴k＝xy＝2，∵A（3，0）∴CB＝OA＝3，又CB∥x軸，∴B（4，2），設直線OB的函數(shù)表達式為y＝ax，∴2＝4a，∴a＝，∴直線OB的函數(shù)表達式為y＝x；（2）作CD⊥OA于點D，∵C（1，2），∴OC＝，在平行四邊形OABC中，CB＝OA＝3，AB＝OC＝，∴四邊形OABC的周長為：3+3+＝6+2，即四邊形OABC的周長為6+2．【點撥】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解18．（12分）（2020?江西）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，頂點A，B都在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，直線AC⊥x軸，垂足為D，連結OA，OC，并延長OC交AB于點E，當AB＝2OA時，點E恰為AB的中點，若∠AOD＝45°，OA＝2（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求∠EOD的度數(shù)．【答案】見解析?！痉治觥浚?）根據(jù)題意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得（2）根據(jù)AB＝2OA時，點E恰為AB的中點，得出OA＝AE＝BE，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質得出CE＝AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質越久三角形外角的性質即可得出∠AOE＝2∠EOD，從而求得∠EOD＝15°．【解析】（1）∵直線AC⊥x軸，垂足為D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝22，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵頂點A在反比例函數(shù)y=kx（x＞0）的圖象上，∴k＝2×2＝∴反比例函數(shù)的解析式為y=4（2）∵AB＝2OA，點E恰為AB的中點，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x軸，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOE＝45°，∴∠EOD＝15°．19．（11分）（2020?南京）已知反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（﹣2，﹣（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式組2解：解不等式①，得．根據(jù)函數(shù)y=kx的圖象，得不等式②的解集把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來．從圖中可以找出兩個不等式解集的公共部分，得不等式組的解集．【答案】見解析?！痉治觥浚?）把點（﹣2，﹣1）代入y=k（2）解不等式組即可得到結論．【解析】（1）∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點（﹣2，﹣∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式組2解：解不等式①，得x＜1．根據(jù)函數(shù)y=kx的圖象，得不等式②的解集0＜x＜把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示為：∴