一種多屬性區(qū)間數(shù)決策方案的opsis排序方法

一種多屬性區(qū)間數(shù)決策方案的opsis排序方法

1基于馬田的區(qū)間數(shù)決策向量選取區(qū)位多屬性決策問題在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和軍事等多個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。解決這一問題的關(guān)鍵是對區(qū)位數(shù)據(jù)的判斷向量進(jìn)行分類，一些相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)深入研究。目前，最常用的分類方法是相離度法和可能法，如文獻(xiàn)等。之間的距離和共同度法用于將區(qū)域計(jì)數(shù)的決策向量分類到確定的字段或狀態(tài)（字段的上限和下限）。決策信息的損失是很大的，決策結(jié)果可能與實(shí)際情況不符。為了克服上述方法的不足，減少?zèng)Q策信息的損失，提出了一種使用馬田系統(tǒng)處理區(qū)域計(jì)數(shù)決策向量信息的方法，并使用基本方法對區(qū)域計(jì)數(shù)決策向量進(jìn)行分類。該方法的優(yōu)點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1）將區(qū)域數(shù)決策向量視為多年生屬性空間的超長方體，然后使用兩個(gè)水平正交表將多個(gè)實(shí)物點(diǎn)（多維向量）作為決策信息進(jìn)行均勻、分散的選擇。以避免決策信息的損失。2）距離測量方法采用馬氏距離。與歐洲距離相比，馬氏距離是一個(gè)相互差別的距離，具有更強(qiáng)的決策信息的表達(dá)能力，并且不受屬性值量綱的影響。3）利用信噪比來定義決策方案與正理想方案之間的距離，可以消除屬性之間交互作用的噪聲干擾，確保決策信息的有效性。因此，該方法對區(qū)長數(shù)的多屬性決策問題具有較強(qiáng)的決策能力。2相關(guān)理論2.1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本原理馬田系統(tǒng)(Mahalanobis-Taguchisystem,MTS)是由日本著名質(zhì)量工程學(xué)家田口玄一博士在質(zhì)量工程學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的模式識(shí)別技術(shù).MTS的基本理論,參見文獻(xiàn),這里不再贅述.MTS的核心是用正交表(orthogonalarrays,OAs)確定試驗(yàn)的次數(shù),用馬氏距離(Mahalanobisdistance,MD)計(jì)算待測樣品到基準(zhǔn)總體的距離,用信噪比(signaltonoiseratio,SNR)來測度每次試驗(yàn)的輸出響應(yīng).1)正交表.正交表是一套科學(xué)安排實(shí)驗(yàn)條件的規(guī)格化表格,具有均衡搭配和綜合可比的特點(diǎn),因此能以少量試驗(yàn),獲取較全面的信息.正交表可以記為Lq(tm),L表示正交表的符號,q表示試驗(yàn)的次數(shù),m表示參與試驗(yàn)的因素個(gè)數(shù),t表示因素的水平個(gè)數(shù),水平表示一個(gè)試驗(yàn)因素含有幾種不同的表征.如果進(jìn)行3因素2水平的試驗(yàn),按L4(23)正交表(見表1)設(shè)計(jì)試驗(yàn),只需要4次,而進(jìn)行全面試驗(yàn)則需要8次.圖1形象地說明了正交表的原理,A、B、C和D四點(diǎn)為用L4(23)正交表均勻、分散挑選的試驗(yàn)點(diǎn).從圖1可以看出,3個(gè)試驗(yàn)因素在其取值范圍內(nèi),可以在3維空間中構(gòu)成1個(gè)長方體,L4(23)正交表的作用則是在該長方體上均勻、分散地進(jìn)行布點(diǎn),從而全面地獲取該長方體的信息.常用的2水平正交表有L4(23)、L8(27)、L16(215)和L32(231).定義1稱由Lq(tm)正交表設(shè)計(jì)的正交試驗(yàn)為Lq(tm)正交試驗(yàn).定義2設(shè)Lq(2m)正交試驗(yàn)考慮m個(gè)試驗(yàn)因素X={x1,x2,…,xm},因素xj在其取值范圍[aj,bj](j=1,2,…,m)上服從均勻分布,則[aj,bj]在m維空間中構(gòu)成的m維超長方體記為.定義3設(shè)A、B分別為m維屬性空間中的兩個(gè)樣品總體,b為來自總體B的任意樣品,和SA分別為總體A的均值向量和協(xié)方差矩陣,則樣品b到總體A的平方馬氏距離(以下簡稱馬氏距離)為當(dāng)屬性間的相關(guān)性被消除時(shí)式(2)中,為總體A第j個(gè)屬性的方差.當(dāng)SA奇異時(shí)(3)式(3)中,為SA的偽逆;V為r×r的對角矩陣,由SA的非0特征值構(gòu)成,r為SA的秩:U為r×m的矩陣,由V中特征值所對應(yīng)的特征向量構(gòu)成,且UUT為r×r的單位矩陣.3)信噪比.在MTS中,信噪比主要用于測度每次試驗(yàn)的輸出響應(yīng),其類型主要分為望目特性信噪比、望小特性信噪比、望大特性信噪比.本文主要討論望小特性信噪比1)當(dāng)時(shí),η≥0;2)當(dāng)η=0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng).式(5)由Jensen不等式得,又,故,因此η>0;2)由于log10(t)為嚴(yán)格凹函數(shù),式(5)等號成立當(dāng)且僅當(dāng),又因?yàn)楫?dāng)η=0時(shí),,故.2.2區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則定義4設(shè)a=[aL,aU]={x|aL≤x≤aU,aL,aU∈R}表示實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)閉區(qū)間,則a為一個(gè)區(qū)間數(shù).若A={x|0≤aL≤x≤aU},稱a為正區(qū)間數(shù),若aL=aU,則a退化為一個(gè)實(shí)數(shù).令a=[aL,aU],b=[bL,bU],λ≥0,區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則如下:1)a±b=[aL±bL,aU±bU];2)a×b=[aLbL,aUbU];3)a÷b=[aL/bU,aU/bL];4)λa=[λaL,λaU];5)1/a=[1/aU,1/aL].定義5設(shè)區(qū)間數(shù)a=[aL,aU],b=[bL,bU],如果范數(shù)‖a-b‖=|bL-aL|+|bU-aU|稱d(a,b)=‖a-b‖為區(qū)間數(shù)a和b的相離度.3客觀標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間數(shù)決策方案設(shè)有n個(gè)決策方案I={I1,I2,…,In},m個(gè)決策屬性X={x1,x2,…,xm},方案Ii(i=1,2,…,n)在屬性xj(j=1,2,…,m)下的決策屬性值為區(qū)間數(shù)zij,并構(gòu)成區(qū)間數(shù)決策矩陣Z=(zij)n×m,其中.為了消除Z中不同物理量綱對決策結(jié)果的影響,按式(6)和(7)分別對效益型決策屬性值和成本型決策屬性值進(jìn)行規(guī)范化,得規(guī)范化決策矩陣R=(rij)n×m,其中為規(guī)范化區(qū)間數(shù).1)決策屬性xj為效益型2)決策屬性xj為成本型同時(shí),還要考慮不同決策屬性對決策結(jié)果的貢獻(xiàn),要對規(guī)范化決策矩陣R進(jìn)行加權(quán)處理,得加權(quán)規(guī)范化區(qū)間數(shù)決策矩陣A=(aij)n×m=(rijwj)n×m,其中wi按式(8)計(jì)算定義6記I+和I-分別為正理想方案和負(fù)理想方案,A=(aij)n×m為加權(quán)規(guī)范化后的區(qū)間數(shù)決策矩陣,則I+和I-的區(qū)間數(shù)決策向量分別為利用TOPSIS法處理精確值多屬性決策問題時(shí),方案集I中的決策方案可以看作是m維屬性空間中的n個(gè)點(diǎn),而本問題屬于區(qū)間數(shù)多屬性決策問題,方案集I中的決策方案應(yīng)該看作是m維屬性空間中的n個(gè)超長方體,圖2為二維決策屬性平面中精確值和區(qū)間數(shù)決策方案集的對比圖.定義7記ai=(ai1,ai2,…,aim)為決策方案Ii的區(qū)間數(shù)決策向量.其中,則在m維決策屬性空間中代表該決策方案的超長方體記為為了全面獲取決策方案Ii(i=1,2,…,n)的區(qū)間數(shù)決策向量信息,可以借鑒正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的思想,利用2水平正交表Lp(2m)在超長方體上抽取q個(gè)布點(diǎn)來代表該決策方案.如以3維區(qū)間數(shù)決策向量為例,可以首先根據(jù)a的維數(shù),選擇L4(23)正交表(見表2)對(3)進(jìn)行布點(diǎn).將表1中的水平“1”和“2”分別用每個(gè)決策屬性區(qū)間值的下限aL和上限aU來代替,就可以得到如表2所示的4個(gè)布點(diǎn),每個(gè)布點(diǎn)的位置見圖3.定義8記ai=(ai1,ai2,…,aim)為決策方案Ii的區(qū)間數(shù)決策向量,再中,則在Lq(2m)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)下得到的布點(diǎn)集為,其中.定義9設(shè)a,b為兩個(gè)m維區(qū)間數(shù)決策向量,在Lq(2m)正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)下得到的布點(diǎn)集分別為則a和b的望小特性信噪比為式(11)中為按式(12)規(guī)范化得到的到Ta的馬氏距離.η為望小特性信噪比,即η越小a和b之間輸出響應(yīng)越強(qiáng).定義10記分別為決策方案Ii(i=1.2.…,n)與理想方案I+和負(fù)理想方案I-的望小特性信噪比,即有式(13)中,為決策方案Ii(i=1,2,….n)的第k個(gè)布點(diǎn),T+和T-分別為正負(fù)理想方案的布點(diǎn)集.定義11記γi為決策方案Ii(i=1,2.…,n)與正理想方案I+的貼近度,即有定理2當(dāng)時(shí).γi→1.即決策方案Ii→I+;當(dāng)時(shí),γi→0,即決策方.案Ii→I-.根據(jù)定理2得到本方法的排序原理:γi越大,則相應(yīng)的方案Ii越優(yōu).綜上所述,本方法的決策步驟如下:步驟1利用式(6)和(7)對區(qū)間數(shù)決策矩陣Z進(jìn)行規(guī)范化處理,得規(guī)范化區(qū)間數(shù)決策矩陣R;步驟2利用式(8)計(jì)算各決策屬性的權(quán)重,并對R進(jìn)行加權(quán)處理,得區(qū)間數(shù)決策矩陣A;步驟3利用式(9)和式(10)得到正負(fù)理想方案的區(qū)間數(shù)決策向量;步驟4根據(jù)Lq(2m)正交表,確定決策方案Ii(i=1,2,…,n)的布點(diǎn)集T(i)(i=1,2,...,n)和正負(fù)理想方案的布點(diǎn)集T+和T-;步驟5利用式(1)計(jì)算T(i)(i=1,2,…,n)中的布點(diǎn)到T+和T-的馬氏距離,并利用式(12)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理;步驟6利用式(11)計(jì)算決策方案Ii(i=1,2,…,n)與正負(fù)理想方案的信噪比;步驟7利用式(14)從大到小為決策方案Ii(i=1,2,…,n)排序.4投資方案決策有四種投資方案分別是I1、I2、I3和I4,假設(shè)一個(gè)投資者在對這四種投資方案中考慮五個(gè)決策屬性,分別是房屋面積(x1)、設(shè)施水平(x2)、小區(qū)環(huán)境(x3)、房屋價(jià)格(x4)以及小區(qū)與工作單位的距離(x5).在這個(gè)五個(gè)決策屬性中,x1、x2、x3為效益型,x4、x5為成本型,這四種投資方案的區(qū)間數(shù)決策矩陣如表3所示,對表3進(jìn)行規(guī)范化處理得表4,利用式(8)得決策屬性的權(quán)重向量w=(0.2168,0.4078,0.1762,0.0201,0.1791)T并對表4進(jìn)行加權(quán)規(guī)范化處理得表5,根據(jù)表5得正負(fù)理想方案的區(qū)間數(shù)決策向量,如表6,由于有5個(gè)決策屬性,故選擇L8(27)正交表,如表7,決策屬性可以安排在表7中的任意5列,本文選擇前5列.根據(jù)表7對投資方案Ii(i=1,2,3,4)、正理想方案I+和負(fù)理想方案I-進(jìn)行布點(diǎn),得布點(diǎn)集Ti(i=1,2,3,4)、T+和T-,表8為投資方案I1的布點(diǎn)集T1,其他同理;計(jì)算布點(diǎn)集Ti(i=1,2,3,4)中各布點(diǎn)到T+和T-的馬氏距離,見表9和表10,利用式(12)對表9和表10中的馬氏距離進(jìn)行規(guī)范化處理,并利用式(13)計(jì)算投資方案Ii(i=1,2,3,4)與正理想方案I+和負(fù)理想方案I-的信噪比,如表11.利用式(14)計(jì)算投資方案Ii(i=1,2,3,4)與正理想方案I+的貼近度:根據(jù)排序原理,對各投資方案進(jìn)行排序故最優(yōu)投資方案為I1.為了驗(yàn)證本方法可行、有效,下面分別與不同的決策方法進(jìn)行對比分析:1)同文獻(xiàn)和方法相比,三種方法選出的最優(yōu)投資方案均為I1,如表12.三種方法選出的最優(yōu)投資方案相同,分析其原因主要是三種方法獲取區(qū)間數(shù)決策向量信息的方式均能降低決策信息損失,為選出最優(yōu)投資方案提供了保證.2)同文獻(xiàn)方法和文獻(xiàn)方法相比,本文方法更有利于選出最優(yōu)方案,如表13.本文方法與其他兩種方法選出的最優(yōu)方案不同,分析其原因主要是本文方法的決策信息損失較小,能全面、充分地描述各投資方案的優(yōu)劣(相對正理想方案).而文獻(xiàn)方法和文獻(xiàn)方法的決策信息來自區(qū)間數(shù)決策向量的各分量,并且最終集結(jié)為1個(gè)實(shí)數(shù)或2個(gè)實(shí)數(shù),導(dǎo)致決策信息損失較大,因此不能全面、充分地描述各投資方案的優(yōu)劣.為了驗(yàn)證馬氏距離比歐式距離更優(yōu)越,下面利用歐式距離計(jì)算各投資方案布點(diǎn)集中的布點(diǎn)到正負(fù)理想方案布點(diǎn)集均值的距離,得到各投資方案的排序結(jié)果如表14.從表14可以看出,利用歐式距離得到的排序結(jié)果不但不利于選出最優(yōu)投資方案,而且各投資方案之間的區(qū)分度很小.分析其原因主要是歐式距離一方面信息表示能力較差,另一方面受屬性值量綱的影響較大,導(dǎo)致各投資方案與正理想方案的貼近度區(qū)分較小.通過以上分析表明本文方法是可行、有效的,能夠很好地處理區(qū)間數(shù)多屬性決策問題,同時(shí)也為區(qū)間數(shù)多屬性決策問題的研究提供了新的視角和途徑.5與其他方法對比MTS是廣泛應(yīng)用在質(zhì)量工程學(xué)領(lǐng)域中的一種實(shí)踐性較強(qiáng)的模式識(shí)別技術(shù),本文將其擴(kuò)展到區(qū)間數(shù)多屬性決策領(lǐng)域中,分析了MTS處理區(qū)間數(shù)決策向量信息的基本原理,并結(jié)合TOPSIS法給出了詳細(xì)的決策步驟.通過實(shí)例同其他方法進(jìn)行了對比分析,表明了本方法的可行性和有效性.本文將MTS和在決