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文檔簡介

黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)2024屆中考數(shù)學(xué)最后沖刺濃縮精華卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.如圖,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,過點A,C作相距為2的平行線段AE,CF,分別交CD,AB于點E,F(xiàn),則DE的長是()A. B. C.1 D.2.如圖,以AD為直徑的半圓O經(jīng)過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點,交直角邊AC于點E;B、E是半圓弧的三等分點,的長為,則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.3.如圖,△ABC中AB兩個頂點在x軸的上方,點C的坐標(biāo)是(﹣1,0),以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C′,且△A′B′C′與△ABC的位似比為2:1.設(shè)點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是a,則點B的橫坐標(biāo)是()A. B. C. D.4.計算的值為()A. B.-4 C. D.-25.已知反比例函數(shù)y=的圖象位于第一、第三象限,則k的取值范圍是()A.k>8 B.k≥8 C.k≤8 D.k<86.如圖,點D在△ABC邊延長線上,點O是邊AC上一個動點,過O作直線EF∥BC,交∠BCA的平分線于點F,交∠BCA的外角平分線于E,當(dāng)點O在線段AC上移動(不與點A,C重合)時,下列結(jié)論不一定成立的是()A.2∠ACE=∠BAC+∠B B.EF=2OC C.∠FCE=90° D.四邊形AFCE是矩形7.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCD的邊AB:BC=3:2,點A(3,0),B(0,6)分別在x軸,y軸上,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點D,則k值為()A.﹣14 B.14 C.7 D.﹣78.分式的值為0,則x的取值為()A.x=-3 B.x=3 C.x=-3或x=1 D.x=3或x=-19.如圖,I是?ABC的內(nèi)心,AI向延長線和△ABC的外接圓相交于點D,連接BI,BD,DC下列說法中錯誤的一項是()A.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DC重合B.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DI熏合C.∠CAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定能與∠DAB重合D.線段ID繞點I順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段IB重合10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,位于第二象限,點的坐標(biāo)是,先把向右平移3個單位長度得到,再把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是()A. B. C. D.二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11.為響應(yīng)“書香成都”建設(shè)的號召,在全校形成良好的人文閱讀風(fēng)尚,成都市某中學(xué)隨機調(diào)查了部分學(xué)生平均每天的閱讀時間,統(tǒng)計結(jié)果如圖所示,則在本次調(diào)查中,閱讀時間的中位數(shù)是________小時.12.如圖,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一點,DE⊥AB于點E,若AC=8,BC=6,DE=3,則AD的長為________.13.分解因式:2x2-8x+8=__________.14.一元二次方程x(x﹣2)=x﹣2的根是_____.15.如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,則CD的長為_______.16.如圖,點A在雙曲線y=的第一象限的那一支上,AB垂直于y軸與點B,點C在x軸正半軸上,且OC=2AB,點E在線段AC上,且AE=3EC,點D為OB的中點,若△ADE的面積為3,則k的值為_____.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)某學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會對該市城區(qū)的空氣質(zhì)量進行調(diào)查,從全年365天中隨機抽取了80天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)數(shù)據(jù),繪制出三幅不完整的統(tǒng)計圖表,請根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:AQI指數(shù)質(zhì)量等級天數(shù)(天)0-50優(yōu)m51-100良44101-150輕度污染n151-200中度污染4201-300重度污染2300以上嚴重污染2(1)統(tǒng)計表中m=,n=,扇形統(tǒng)計圖中,空氣質(zhì)量等級為“良”的天數(shù)占%;(2)補全條形統(tǒng)計圖,并通過計算估計該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共多少?18.(8分)如圖,已知△ABC為等邊三角形,點D、E分別在BC、AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點F.求證:△ABE≌△CAD;求∠BFD的度數(shù).19.(8分)如圖有A、B兩個大小均勻的轉(zhuǎn)盤,其中A轉(zhuǎn)盤被分成3等份,B轉(zhuǎn)盤被分成4等份,并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字.小明和小紅同時各轉(zhuǎn)動其中一個轉(zhuǎn)盤,轉(zhuǎn)盤停止后(當(dāng)指針指在邊界線時視為無效,重轉(zhuǎn)),若將A轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字記作一次函數(shù)表達式中的k,將B轉(zhuǎn)盤指針指向的數(shù)字記作一次函數(shù)表達式中的b.請用列表或畫樹狀圖的方法寫出所有的可能;求一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限的概率.20.(8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(﹣2,0),B(0,1).(1)求點C的坐標(biāo);(2)將△ABC沿x軸的正方向平移,在第一象限內(nèi)B、C兩點的對應(yīng)點B'、C'正好落在某反比例函數(shù)圖象上.請求出這個反比例函數(shù)和此時的直線B'C'的解析式.(3)若把上一問中的反比例函數(shù)記為y1,點B′,C′所在的直線記為y2,請直接寫出在第一象限內(nèi)當(dāng)y1<y2時x的取值范圍.21.(8分)綜合與實踐﹣﹣旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題背景:在一次綜合實踐活動課上,同學(xué)們以兩個矩形為對象,研究相似矩形旋轉(zhuǎn)中的問題:已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,它們各自對角線的交點重合于點O,連接AA′,CC′.請你幫他們解決下列問題:觀察發(fā)現(xiàn):(1)如圖1,若A′B′∥AB,則AA′與CC′的數(shù)量關(guān)系是______;操作探究:(2)將圖1中的矩形ABCD保持不動,矩形A′B′C′D′繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度α(0°<α≤90°),如圖2,在矩形A′B′C′D′旋轉(zhuǎn)的過程中,(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;操作計算:(3)如圖3,在(2)的條件下,當(dāng)矩形A′B′C′D′繞點O旋轉(zhuǎn)至AA′⊥A′D′時,若AB=6,BC=8,A′B′=3,求AA′的長.22.(10分)[閱讀]我們定義:如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長,那么稱這個三角形為“中邊三角形”,把這條邊和其邊上的中線稱為“對應(yīng)邊”.[理解]如圖1,Rt△ABC是“中邊三角形”,∠C=90°,AC和BD是“對應(yīng)邊”,求tanA的值;[探究]如圖2,已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=2β,點P,Q從點A同時出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動,記點P經(jīng)過的路程為s.當(dāng)β=45°時,若△APQ是“中邊三角形”,試求的值.23.(12分)山地自行車越來越受中學(xué)生的喜愛.一網(wǎng)店經(jīng)營的一個型號山地自行車,今年一月份銷售額為30000元,二月份每輛車售價比一月份每輛車售價降價100元,若銷售的數(shù)量與上一月銷售的數(shù)量相同,則銷售額是27000元.求二月份每輛車售價是多少元?為了促銷,三月份每輛車售價比二月份每輛車售價降低了10%銷售,網(wǎng)店仍可獲利35%,求每輛山地自行車的進價是多少元?24.某青春黨支部在精準(zhǔn)扶貧活動中,給結(jié)對幫扶的貧困家庭贈送甲、乙兩種樹苗讓其栽種.已知乙種樹苗的價格比甲種樹苗貴10元,用480元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用360元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同.求甲、乙兩種樹苗每棵的價格各是多少元?在實際幫扶中,他們決定再次購買甲、乙兩種樹苗共50棵,此時,甲種樹苗的售價比第一次購買時降低了10%,乙種樹苗的售價不變,如果再次購買兩種樹苗的總費用不超過1500元,那么他們最多可購買多少棵乙種樹苗?

參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、D【解題分析】

過F作FH⊥AE于H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD,AB//CD,推出四邊形AECF是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=CE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,于是得到AE=AF,列方程即可得到結(jié)論.【題目詳解】解:如圖:解:過F作FH⊥AE于H,四邊形ABCD是矩形,AB=CD,AB∥CD,AE//CF,四邊形AECF是平行四邊形,AF=CE,DE=BF,AF=3-DE,AE=,∠FHA=∠D=∠DAF=,∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90,∠DAE=∠AFH,△ADE~△AFH,AE=AF,,DE=,故選D.【題目點撥】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及三角形相似,做合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.2、D【解題分析】

連接BD,BE,BO,EO,先根據(jù)B、E是半圓弧的三等分點求出圓心角∠BOD的度數(shù),再利用弧長公式求出半圓的半徑R,再利用圓周角定理求出各邊長,通過轉(zhuǎn)化將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為S△ABC﹣S扇形BOE,然后分別求出面積相減即可得出答案.【題目詳解】解:連接BD,BE,BO,EO,∵B,E是半圓弧的三等分點,∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°,∴∠BAD=∠EBA=30°,∴BE∥AD,∵的長為,∴解得:R=4,∴AB=ADcos30°=,∴BC=AB=,∴AC=BC=6,∴S△ABC=×BC×AC=××6=,∵△BOE和△ABE同底等高,∴△BOE和△ABE面積相等,∴圖中陰影部分的面積為:S△ABC﹣S扇形BOE=故選:D.【題目點撥】本題主要考查弧長公式,扇形面積公式,圓周角定理等,掌握圓的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3、D【解題分析】

設(shè)點B的橫坐標(biāo)為x,然后表示出BC、B′C的橫坐標(biāo)的距離,再根據(jù)位似變換的概念列式計算.【題目詳解】設(shè)點B的橫坐標(biāo)為x,則B、C間的橫坐標(biāo)的長度為﹣1﹣x,B′、C間的橫坐標(biāo)的長度為a+1,∵△ABC放大到原來的2倍得到△A′B′C,∴2(﹣1﹣x)=a+1,解得x=﹣(a+3),故選:D.【題目點撥】本題考查了位似變換,坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),根據(jù)位似變換的定義,利用兩點間的橫坐標(biāo)的距離等于對應(yīng)邊的比列出方程是解題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】

根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案.【題目詳解】原式=-3=-2,故選C.【題目點撥】本題考查二次根式的運算,解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算法則,本題屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解題分析】

本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì),由k-8>0即可解得答案.【題目詳解】∵反比例函數(shù)y=的圖象位于第一、第三象限,∴k-8>0,解得k>8,故選A.【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì):①、當(dāng)k>0時,圖象分別位于第一、三象限;當(dāng)k<0時,圖象分別位于第二、四象限.②、當(dāng)k>0時,在同一個象限內(nèi),y隨x的增大而減?。划?dāng)k<0時,在同一個象限,y隨x的增大而增大.6、D【解題分析】

依據(jù)三角形外角性質(zhì),角平分線的定義,以及平行線的性質(zhì),即可得到2∠ACE=∠BAC+∠B,EF=2OC,∠FCE=90°,進而得到結(jié)論.【題目詳解】解:∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠BAC+∠B,∵CE平分∠DCA,∴∠ACD=2∠ACE,∴2∠ACE=∠BAC+∠B,故A選項正確;∵EF∥BC,CF平分∠BCA,∴∠BCF=∠CFE,∠BCF=∠ACF,∴∠ACF=∠EFC,∴OF=OC,同理可得OE=OC,∴EF=2OC,故B選項正確;∵CF平分∠BCA,CE平分∠ACD,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=×180°=90°,故C選項正確;∵O不一定是AC的中點,∴四邊形AECF不一定是平行四邊形,∴四邊形AFCE不一定是矩形,故D選項錯誤,故選D.【題目點撥】本題考查三角形外角性質(zhì),角平分線的定義,以及平行線的性質(zhì).7、B【解題分析】過點D作DF⊥x軸于點F,則∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,∴△AOB∽△DFA,∴OA:DF=OB:AF=AB:AD,∵AB:BC=3:2,點A(3,0),B(0,6),∴AB:AD=3:2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴點D的坐標(biāo)為:(7,2),∴k,故選B.8、A【解題分析】

分式的值為2的條件是:(2)分子等于2;(2)分母不為2.兩個條件需同時具備,缺一不可.據(jù)此可以解答本題.【題目詳解】∵原式的值為2,∴,∴(x-2)(x+3)=2,即x=2或x=-3;又∵|x|-2≠2,即x≠±2.∴x=-3.故選:A.【題目點撥】此題考查的是對分式的值為2的條件的理解,該類型的題易忽略分母不為2這個條件.9、D【解題分析】解:∵I是△ABC的內(nèi)心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,故C正確,不符合題意;∴=,∴BD=CD,故A正確,不符合題意;∵∠DAC=∠DBC,∴∠BAD=∠DBC.∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,∴∠DBI=∠DIB,∴BD=DI,故B正確,不符合題意.故選D.點睛:本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心的,以及等腰三角形的判定與性質(zhì),同弧所對的圓周角相等.10、D【解題分析】

根據(jù)要求畫出圖形,即可解決問題.【題目詳解】解:根據(jù)題意,作出圖形,如圖:觀察圖象可知:A2(4,2);故選:D.【題目點撥】本題考查平移變換,旋轉(zhuǎn)變換等知識,解題的關(guān)鍵是正確畫出圖象,屬于中考常考題型.二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11、1【解題分析】由統(tǒng)計圖可知共有:8+19+10+3=40人,中位數(shù)應(yīng)為第20與第21個的平均數(shù),而第20個數(shù)和第21個數(shù)都是1(小時),則中位數(shù)是1小時.故答案為1.12、1【解題分析】

如圖,由勾股定理可以先求出AB的值,再證明△AED∽△ACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.【題目詳解】在Rt△ABC中,由勾股定理.得AB==10,∵DE⊥AB,∴∠AED=∠C=90°.∵∠A=∠A,∴△AED∽△ACB,∴,∴,∴AD=1.故答案為1【題目點撥】本題考查了勾股定理的運用,相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,解答時求出△AED∽△ACB是解答本題的關(guān)鍵.13、2(x-2)2【解題分析】

先運用提公因式法,再運用完全平方公式.【題目詳解】:2x2-8x+8=.故答案為2(x-2)2.【題目點撥】本題考核知識點:因式分解.解題關(guān)鍵點:熟練掌握分解因式的基本方法.14、1或1【解題分析】

移項后分解因式,即可得出兩個一元一次方程,求出方程的解即可得答案.【題目詳解】x(x﹣1)=x﹣1,x(x﹣1)﹣(x﹣1)=0,(x﹣1)(x﹣1)=0,x﹣1=0,x﹣1=0,x1=1,x1=1,故答案為:1或1.【題目點撥】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用,能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.15、【解題分析】

如圖,作OH⊥CD于H,連結(jié)OC,根據(jù)垂徑定理得HC=HD,由題意得OA=4,即OP=2,在Rt△OPH中,根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)計算出OH=OP=1,然后在在Rt△OHC中,利用勾股定理計算得到CH=,即CD=2CH=2.【題目詳解】解:如圖,作OH⊥CD于H,連結(jié)OC,∵OH⊥CD,∴HC=HD,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴OP=OA﹣AP=2,在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,∴∠POH=60°,∴OH=OP=1,在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,∴CH=,∴CD=2CH=2.故答案為2.【題目點撥】本題主要考查了圓的垂徑定理,勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì),解此題的關(guān)鍵在于作輔助線得到直角三角形,再合理利用各知識點進行計算即可16、.【解題分析】

由AE=3EC,△ADE的面積為3,可知△ADC的面積為4,再根據(jù)點D為OB的中點,得到△ADC的面積為梯形BOCA面積的一半,即梯形BOCA的面積為8,設(shè)A(x,),從而表示出梯形BOCA的面積關(guān)于k的等式,求解即可.【題目詳解】如圖,連接DC,∵AE=3EC,△ADE的面積為3,∴△CDE的面積為1.∴△ADC的面積為4.∵點A在雙曲線y=的第一象限的那一支上,∴設(shè)A點坐標(biāo)為(x,).∵OC=2AB,∴OC=2x.∵點D為OB的中點,∴△ADC的面積為梯形BOCA面積的一半,∴梯形BOCA的面積為8.∴梯形BOCA的面積=,解得.【題目點撥】反比例函數(shù)綜合題,曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì),同底三角形面積的計算,梯形中位線的性質(zhì).三、解答題(共8題,共72分)17、(1)m=20,n=8;55;(2)答案見解析.【解題分析】

(1)由A占25%,即可求得m的值,繼而求得n的值,然后求得空氣質(zhì)量等級為“良”的天數(shù)占的百分比;(2)首先由(1)補全統(tǒng)計圖,然后利用樣本估計總體的知識求解即可求得答案.【題目詳解】(1)∵m=80×25%=20,n=80-20-44-4-2-2=8,∴空氣質(zhì)量等級為“良”的天數(shù)占:×100%=55%.故答案為20,8,55;(2)估計該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共:365×(25%+55%)=292(天),答:估計該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共292天;補全統(tǒng)計圖:【題目點撥】此題考查了條形圖與扇形圖的知識.讀懂統(tǒng)計圖,從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.18、(1)證明見解析;(2).【解題分析】試題分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)根據(jù)SAS即可證明△ABE≌△CAD;(2)由三角形全等可以得出∠ABE=∠CAD,由外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以得出結(jié)論.試題解析:(1)∵△ABC為等邊三角形,∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAC=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD=60°,∴∠BAD+∠EBA=60°,∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,∴∠BFD=60°.19、(1)答案見解析;(2).【解題分析】

(1)k可能的取值為-1、-2、-3,b可能的取值為-1、-2、3、4,所以將所有等可能出現(xiàn)的情況用列表方式表示出來即可.(2)判斷出一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過一、二、四象限時k、b的正負,在列表中找出滿足條件的情況,利用概率的基本概念即可求出一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過一、二、四象限的概率.【題目詳解】解:(1)列表如下:所有等可能的情況有12種;(2)一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過一、二、四象限時,k<0,b>0,情況有4種,則P==.20、(1)C(﹣3,2);(2)y1=,y2=﹣x+3;(3)3<x<1.【解題分析】分析:(1)過點C作CN⊥x軸于點N,由已知條件證Rt△CAN≌Rt△AOB即可得到AN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3結(jié)合點C在第二象限即可得到點C的坐標(biāo);(2)設(shè)△ABC向右平移了c個單位,則結(jié)合(1)可得點C′,B′的坐標(biāo)分別為(﹣3+c,2)、(c,1),再設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y1=,將點C′,B′的坐標(biāo)代入所設(shè)解析式即可求得c的值,由此即可得到點C′,B′的坐標(biāo),這樣用待定系數(shù)法即可求得兩個函數(shù)的解析式了;(3)結(jié)合(2)中所得點C′,B′的坐標(biāo)和圖象即可得到本題所求答案.詳解:(1)作CN⊥x軸于點N,∴∠CAN=∠CAB=∠AOB=90°,∴∠CAN+∠CAN=90°,∠CAN+∠OAB=90°,∴∠CAN=∠OAB,∵A(﹣2,0)B(0,1),∴OB=1,AO=2,在Rt△CAN和Rt△AOB,∵,∴Rt△CAN≌Rt△AOB(AAS),∴AN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3,又∵點C在第二象限,∴C(﹣3,2);(2)設(shè)△ABC沿x軸的正方向平移c個單位,則C′(﹣3+c,2),則B′(c,1),設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為:y1=,又點C′和B′在該比例函數(shù)圖象上,把點C′和B′的坐標(biāo)分別代入y1=,得﹣1+2c=c,解得c=1,即反比例函數(shù)解析式為y1=,此時C′(3,2),B′(1,1),設(shè)直線B′C′的解析式y(tǒng)2=mx+n,∵,∴,∴直線C′B′的解析式為y2=﹣x+3;(3)由圖象可知反比例函數(shù)y1和此時的直線B′C′的交點為C′(3,2),B′(1,1),∴若y1<y2時,則3<x<1.點睛:本題是一道綜合考查“全等三角形”、“一次函數(shù)”、“反比例函數(shù)”和“平移的性質(zhì)”的綜合題,解題的關(guān)鍵是:(1)通過作如圖所示的輔助線,構(gòu)造出全等三角形Rt△CAN和Rt△AOB;(2)利用平移的性質(zhì)結(jié)合點B、C的坐標(biāo)表達出點C′和B′的坐標(biāo),由點C′和B′都在反比例函數(shù)的圖象上列出方程,解方程可得點C′和B′的坐標(biāo),從而使問題得到解決.21、(1)AA′=CC′;(2)成立,證明見解析;(3)AA′=【解題分析】

(1)連接AC、A′C′,根據(jù)題意得到點A、A′、C′、C在同一條直線上,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA=OC,OA′=OC′,得到答案;(2)連接AC、A′C′,證明△A′OA≌△C′OC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明;(3)連接AC,過C作CE⊥AB′,交AB′的延長線于E,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出B′C′,根據(jù)勾股定理計算即可.【題目詳解】(1)AA′=CC′,理由如下:連接AC、A′C′,∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,∠CAB=∠C′A′B′,∵A′B′∥AB,∴點A、A′、C′、C在同一條直線上,由矩形的性質(zhì)可知,OA=OC,OA′=OC′,∴AA′=CC′,故答案為AA′=CC′;(2)(1)中的結(jié)論還成立,AA′=CC′,理由如下:連接AC、A′C′,則AC、A′C′都經(jīng)過點O,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,∠A′OA=∠C′OC,∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是矩形,∴OA=OC,OA′=OC′,在△A′OA和△C′OC中,,∴△A′OA≌△C′OC,∴AA′=CC′;(3)連接AC,過C作CE⊥AB′,交AB′的延長線于E,∵矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′,∴,即,解得,B′C′=4,∵∠EB′C=∠B′C′C=∠E=90°,∴四邊形B′ECC′為矩形,∴EC=B′C′=4,在Rt△ABC中,AC==10,在Rt△AEC中,AE==2,∴AA′+B′E=2﹣3,又AA′=CC′=B′E,∴AA′=.【題目點撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì),掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22、tanA=;綜上所述,當(dāng)β=45°時,若△APQ是“中邊三角形”,的值為或.【解題分析】

(1)由AC和BD是“對應(yīng)邊”,可得AC=BD,設(shè)AC=2x,則CD=x,BD=2x,可得∴BC=x,可得tanA===(2)當(dāng)點P在BC上時,連接AC,交PQ于點E,延長AB交QP的延長線于點F,可得AC是QP的垂直平分線.可求得△AEF∽△CEP,=,分兩種情況:當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等,即AE=PQ時,==,∴=;當(dāng)腰AP與它的中線QM相等時,即AP=QM時,QM=AQ,(3)作QN⊥AP于N,可得tan∠APQ===,tan∠APE===,∴=,【題目詳解】解:[理解]∵AC和BD是“對應(yīng)邊”,∴AC=BD,設(shè)AC=2x,則CD=x,BD=2x,∵∠C=90°,∴BC===x,∴tanA===;[探究]若β=45°,當(dāng)點P在AB上時,△APQ是等腰直角三角形,不可能是“中邊三角形”,如圖2,當(dāng)點P在BC上時,連接AC,交PQ于點E,延長AB交QP的延長線于點F,∵PC=QC,∠ACB=∠ACD,∴AC是QP的垂直平分線,∴AP=AQ,∵∠CAB=∠ACP,∠AEF=∠CEP,∴△AEF∽△CEP,∴===,∵PE=CE,∴=,分兩種情況:當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等,即A

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