高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題4 函數(shù)及其表示理（含解析）

第二章函數(shù)4函數(shù)及其表示導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法等)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．自主梳理1．函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)定義設(shè)A，B是非空的，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的,在集合B中，稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，x的取值范圍A叫做函數(shù)的__________，__________________叫做函數(shù)的值域．(2)函數(shù)的三要素__________、________和____________．(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：________、________、________.(4)函數(shù)相等如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和__________完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判定兩函數(shù)相等的依據(jù)．(5)分段函數(shù)：在函數(shù)的________內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的____________，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，它的定義域是各段取值區(qū)間的________，值域是各段值域的________．2．映射的概念(1)映射的定義設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f:A→B為從集合A到集合B的.（2）由映射的定義可以看出，映射是概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合，A、B必須是數(shù)集.自我檢測(cè)1．(2011·佛山模擬)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列4個(gè)圖形，其中能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)2．(2010·湖北)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(log0.54x－3))的定義域?yàn)?)A．(eq\f(3,4)，1)B．(eq\f(3,4)，＋∞)C．(1，＋∞)D．(eq\f(3,4)，1)∪(1，＋∞)3．(2010·湖北)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0,2x，x≤0))，則f(f(eq\f(1,9)))等于()A．4B.eq\f(1,4)C．－4D．－eq\f(1,4)4．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相同的函數(shù)是()A．y＝eq\f(x2,x)B．y＝(eq\r(x))2C．y＝lg10xD．y＝2log2x5．(2011·衡水月考)函數(shù)y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R，求a的取值范圍．

探究點(diǎn)一函數(shù)與映射的概念例1(教材改編)下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合P上的函數(shù)的是________．(1)P＝Z，Q＝N*，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)集合P中的元素取絕對(duì)值與集合Q中的元素相對(duì)應(yīng)；y＝x2，x∈P，y∈Q；（2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，對(duì)應(yīng)關(guān)系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;(3)P={三角形}，Q={x|x>0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f:對(duì)P中三角形求面積與集合Q中元素對(duì)應(yīng).變式遷移1已知映射f:A→B.其中B．其中A＝B＝R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝－x2＋2x，對(duì)于實(shí)數(shù)k∈B，在集合A中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，則k的取值范圍是()A．k>1B．k≥1C．k<1D．k≤1探究點(diǎn)二求函數(shù)的定義域例2(1)求函數(shù)y＝eq\r(x＋1)＋eq\f(x－10,lg2－x)的定義域；(2)已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?0,1)，求f(x)的定義域．變式遷移2已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，那么g(x)＝eq\f(fx2,1＋lgx＋1)的定義域是________________________________________________________________________．探究點(diǎn)三求函數(shù)的解析式例3(1)已知f(eq\f(2,x)＋1)＝lgx，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f((3)已知f(x)滿足2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝3x，求f(x)．變式遷移3(2011·武漢模擬)給出下列兩個(gè)條件：(1)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)；(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.試分別求出f(x)的解析式．探究點(diǎn)四分段函數(shù)的應(yīng)用例4設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0.))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3變式遷移4(2010·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范圍是________________．1．與定義域有關(guān)的幾類問(wèn)題第一類是給出函數(shù)的解析式，這時(shí)函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍；第二類是實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題，此時(shí)除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題有意義；第三類是不給出函數(shù)的解析式，而由f(x)的定義域確定函數(shù)f[g(x)]的定義域或由f[g(x)]的定義域確定函數(shù)f(x)的定義域．第四類是已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解決．2．解析式的求法求函數(shù)解析式的一般方法是待定系數(shù)法和換元法，除此還有代入法、拼湊法和方程組法．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為()(1)y1＝eq\f(x＋3x－5,x＋3)，y2＝x－5；(2)y1＝eq\r(x＋1)eq\r(x－1)，y2＝eq\r(x＋1x－1)；(3)f(x)＝x，g(x)＝eq\r(x2)；(4)f(x)＝eq\r(3,x4－x3)，F(xiàn)(x)＝xeq\r(3,x－1)；(5)f1(x)＝(eq\r(2x－5))2，f2(x)＝2x－5.A．(1)(2) B．(2)(3)C．(4) D．(3)(5)2．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的公共點(diǎn)數(shù)目是()A．1 B．0C．0或1 D．1或23．(2011·洛陽(yáng)模擬)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2x≤－1，,x2－1<x<2，,2xx≥2，))若f(x)＝3，則x的值是()A．1 B．1或eq\f(3,2)C．1，eq\f(3,2)或±eq\r(3) D.eq\r(3)4．(2009·江西)函數(shù)y＝eq\f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4))的定義域?yàn)?)A．(－4，－1) B．(－4,1)C．(－1,1) D．(－1,1]5.（2011·臺(tái)州模擬）設(shè)f:x→x2是從集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，則A∩B為()A．? B．{1}C．?或{2} D．?或{1}題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．下列四個(gè)命題：(1)f(x)＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)有意義；(2)函數(shù)是其定義域到值域的映射；(3)函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線；(4)函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0))的圖象是拋物線．其中正確的命題個(gè)數(shù)是________．7．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1x≥0,x2x<0))，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x2x≤1,2x>1))，則f[g(3)]＝________，g[f(－eq\f(1,2))]＝________.8．(2010·陜西)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝4a，則實(shí)數(shù)a＝______.三、解答題(共38分)9．(12分)(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表達(dá)式；(2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x(3)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ax＋b)，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，求f(x)的表達(dá)式．10．(12分)已知f(x)＝x2＋2x－3，用圖象法表示函數(shù)g(x)＝eq\f(fx＋|fx|,2)，并寫出g(x)的解析式．11．(14分)(2011·湛江模擬)某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為G(x)萬(wàn)元，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)，銷售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－0.4x2＋4.2x－0.8，0≤x≤5，,10.2，x>5.))假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律：(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？答案自主梳理1．(1)數(shù)集任意一個(gè)數(shù)x都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)定義域函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}(2)定義域 值域?qū)?yīng)關(guān)系(3)解析法列表法圖象法(4)對(duì)應(yīng)關(guān)系(5)定義域?qū)?yīng)關(guān)系并集并集2.(1)都有唯一一個(gè)映射(2)函數(shù)非空自我檢測(cè)1．B[對(duì)于題圖(1)：M中屬于(1,2]的元素，在N中沒(méi)有象，不符合定義；對(duì)于題圖(2)：M中屬于(eq\f(4,3)，2]的元素的象，不屬于集合N，因此它不表示M到N的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于題圖(3)：符合M到N的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于題圖(4)：其象不唯一，因此也不表示M到N的函數(shù)關(guān)系．]2．A3.B4.C5．解函數(shù)y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R，即ax2－ax＋1>0恒成立．①當(dāng)a＝0時(shí)，1>0恒成立；②當(dāng)a≠0時(shí)，應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0，))∴0<a<4.綜上所述，a的取值范圍為0≤a<4.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)，要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只需要檢驗(yàn)：①定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；②根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量在其定義域中的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的函數(shù)值．(2)解析由于(1)中集合P中元素0在集合Q中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，并且(3)中集合P不是數(shù)集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函數(shù)．由題意知，(2)正確．變式遷移1A[由題意知，方程－x2＋2x＝k無(wú)實(shí)數(shù)根，即x2－2x＋k＝0無(wú)實(shí)數(shù)根．∴Δ＝4(1－k)<0，∴k>1時(shí)滿足題意．]例2解題導(dǎo)引在(2)中函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?0,1)是指x的取值范圍還是2x＋1的取值范圍？f(x)中的x與f(2x＋1)中的2x＋1的取值范圍有什么關(guān)系？解(1)要使函數(shù)有意義，應(yīng)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≠0，,2－x>0，,2－x≠1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x≠1，,x<2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x<2，,x≠1.))所以函數(shù)的定義域是{x|－1≤x<1或1<x<2}．(2)∵f(2x＋1)的定義域?yàn)?0,1)，∴1<2x＋1<3，所以f(x)的定義域是(1,3)．變式遷移2(－1，－eq\f(9,10))∪(－eq\f(9,10)，eq\r(2)]解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x2≤2,x＋1>0,1＋lgx＋1≠0))得－1<x≤eq\r(2)且x≠－eq\f(9,10).即定義域?yàn)?－1，－eq\f(9,10))∪(－eq\f(9,10)，eq\r(2)]．例3解題導(dǎo)引函數(shù)解析式的類型與求法(1)若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法．(2)已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意變量的取值范圍．(3)已知f(x)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除f(x)是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量，如f(－x)、f(eq\f(1,x))等，要根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x)．解(1)令eq\f(2,x)＋1＝t，則x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，∴f(x)＝lgeq\f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．(2)設(shè)f(x)＝ax＋b，(a≠0)則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋＝ax＋b＋5a＝2x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.(3)2f(x)＋f(eq\f(1,x))＝3x，①把①中的x換成eq\f(1,x)，得2f(eq\f(1,x))＋f(x)＝eq\f(3,x)，②①×2－②，得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x).變式遷移3解(1)令t＝eq\r(x)＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，則f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3.例4解題導(dǎo)引①本題可以先確定解析式，然后通過(guò)解方程f(x)＝x來(lái)確定解的個(gè)數(shù)；也可利用數(shù)形結(jié)合，更為簡(jiǎn)潔．②對(duì)于分段函數(shù)，一定要明確自變量所屬的范圍，以便于選擇與之相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．③分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類討論思想，相應(yīng)的問(wèn)題處理應(yīng)分段解決．C[方法一若x≤0，則f(x)＝x2＋bx＋c.∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－42＋b·－4＋c＝c，,－22＋b·－2＋c＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝2.))∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2，x≤0，,2，x>0.))當(dāng)x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，解得x＝－2，或x＝－1；當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝x，得x＝2.∴方程f(x)＝x有3個(gè)解．方法二由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的對(duì)稱軸是x＝－2，且頂點(diǎn)為(－2，－2)，于是可得到f(x)的簡(jiǎn)圖(如圖所示)．方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象y＝f(x)與y＝x的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以有3個(gè)解．]變式遷移4(－1，eq\r(2)－1)解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0))的圖象如圖所示：f(1－x2)>f(2x)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>2x,1－x2>0))，解得－1<x<eq\r(2)－1.課后練習(xí)區(qū)1．C[(1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同；(4)定義域相同，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同；(5)定義域不同．]2．C[有可能是沒(méi)有交點(diǎn)的，如果有交點(diǎn)，那么對(duì)于x＝1僅有一個(gè)函數(shù)值．]3．D[該分段函數(shù)的三段各自的值域?yàn)?－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±eq\r(3)，而－1<x<2，∴x＝eq\r(3).]4．C5．D[由已知x2＝1或x2＝2，解之得，x＝±1或x＝±eq\r(2)，若1∈A，則A∩B＝{1}，若1?A，則A∩B＝?，故A∩B＝?或{1}．]6．1解析(1)x≥2且x≤1，不存在；(2)函數(shù)是特殊的映射；(3)該圖象是由離散的點(diǎn)組成的；(4)該圖象是兩個(gè)不同的拋物線的兩部分組成的，不是拋物線．故只有(2)正確．7．7eq\f(31,16)8．29．解(1)令t＝x＋1，則x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋3.………………(4分)(2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替換式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx－f－x＝x＋1,2f－x－fx＝－x＋1))，解方程組消去f(－x)，得f(x)＝eq\f(x,3)＋1.……………………(8分)(3)由f(2)＝1得eq\f(2,2a＋b)＝1，即2a＋b＝2；