高考數(shù)學二輪復習簡易通 立體幾何 倒數(shù)第6天 理科

倒數(shù)第6天立體幾何[保溫特訓](時間：45分鐘)1．已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()．解析空間幾何體的正視圖和側視圖“高平齊”，故正視圖的高一定是2，正視圖和俯視圖“長相等”，故正視圖的底面邊長為2，根據(jù)側視圖中的直角說明這個空間幾何體最前面的面垂直于底面，這個面遮住了后面的一個側棱，綜合以上可知，這個空間幾何體的正視圖可能是C.答案C2．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中正確的是()．A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥nB．若m⊥α，m⊥n，則n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β解析對于選項A，m，n有可能平行也有可能異面；對于選項B，n有可能在α內(nèi)，所以n與α不一定平行；對于選項D，m與β的位置關系可能是m?β，m∥β，也可能m與β相交．由面面垂直的性質可知C正確．答案C3．如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為2，且側棱AA1⊥平面A1B1C1，正視圖是邊長為2的正方形，俯視圖為一個等邊三角形，()．A．2eq\r(2) B.eq\r(3)C．2eq\r(3) D．4解析所給三棱柱的側視圖為矩形，矩形的長為2，寬為等邊三角形ABC的高eq\r(3)，所以三棱柱的側視圖面積為2eq\r(3).答案C4．設a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，則下列結論成立的是()．A．若a?α，b?β，且α∩β＝l，則a∥bB．若a?α，b?β，且a⊥b，則α⊥βC．若a∥α，b?α，則a∥bD．若a⊥α，b⊥α，則a∥b解析在兩相交平面內(nèi)分別與交線平行的兩條直線平行，A錯誤；如圖ABCD為矩形，設BC為a，AB為b，雖然有a⊥b，a?α，b?β，但平面α與β不一定垂直，B錯誤；由a∥α，b?α，可知a，b無交點，但a與b平行或異面，C錯誤；由直線與平面垂直的性質定理，垂直于同一平面的直線平行，知D正確．答案D5．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．A．2 B．4C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,3)解析該幾何體為四棱錐，如圖所示，SC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝1.∴V＝eq\f(1,3)×1×1×2＝eq\f(2,3).答案C6．一個幾何體的三視圖(側視圖中的弧線是半圓)如圖所示，則該幾何體的表面積是()．A．20＋4πB．24＋4πC．20＋3πD．24＋3π解析該幾何體為一個正方體和一個半圓柱的組合體，且正方體的棱長為2，半圓柱的底面半徑為1，母線長為2，故該幾何體的表面積為：2×2×5＋2×π＋2×eq\f(1,2)π＝20＋3π.答案C7．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，給出下列命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β，其中正確的命題是()．A．①②③B．②③④C．②④D．①③解析對于命題①：由α∥β，l⊥α，可得l⊥β，又m?β，故l⊥m，正確；對于命題③：由l∥m可得m⊥α，又m?β，故α⊥β，正確；命題②，命題④錯誤．答案D8．一個空間幾何體的三視圖均是邊長為eq\r(2)的正方形，則以該空間幾何體各個面的中心為頂點的多面體的體積為()．A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2,3)解析由題意可得這個空間幾何體為正方體，以正方體各個面的中心為頂點的多面體是兩個全等的正四棱錐的組合體，如圖，一個正四棱錐的高是正方體的高的一半，故所求的多面體的體積為2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).答案B9．如圖所示，則根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該幾何體的體積為()．A．8π B．9πC.eq\f(4＋3\r(15),3)π D.eq\f(4＋\r(15),3)π解析該幾何體的上面部分是球，下面部分是圓錐，球的半徑為1，故球的體積為eq\f(4π,3)，圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(15)，故圓錐的體積為eq\f(\r(15),3)π，所以該幾何體的體積為eq\f(4＋\r(15),3)π.答案D10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，當動點M在底面ABCD內(nèi)運動時，總有D1A＝D1M，則動點MA．圓B．橢圓C．雙曲線D．拋物線解析因為滿足條件的動點在底面ABCD內(nèi)運動時，動點的軌跡是以D1D為軸線，以D1A為母線的圓錐，所以動點M在面ABCD答案A11．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，A1D與BC1所成的角為eq\f(π,2)，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()．A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(3),2)解析連接B1C，∴B1C∥A1又∵A1D與BC1所成的角為eq\f(π,2).∴B1C⊥BC1，又AB＝BC＝2，∴長方體ABCD-A1B1C1D1為正方體，取B1D1的中點M，連接C1M∴C1M⊥平面BB1D1D，∴∠C1BM為BC1與平面BB1D1D所成的角，∵AB＝BC∴C1M＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，∴sin∠C1BM＝eq\f(C1M,C1B)＝eq\f(1,2).答案B12．若正三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示(單位：cm)，則它的側視圖的面積為________cm2.解析由該正三棱錐的正視圖和俯視圖可知，其側視圖為一個三角形，它的底邊長等于俯視圖的高即eq\f(\r(3),2)，高等于正視圖的高即eq\r(3)，所以側視圖的面積為S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4)(cm2)．答案eq\f(3,4)13．一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為4eq\r(3)π，則該正方體的表面積為________．解析設正方體的棱長為a，球的半徑為R，則依題意有eq\f(4πR3,3)＝4eq\r(3)π，解得R＝eq\r(3).因為eq\r(3)a＝2R＝2eq\r(3)，所以a＝2.故該正方體的面積為6a2＝24.答案2414．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下面結論中正確的是________(①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是eq\r(2).解析①∵BD∥B1D1，B1D1?平面CB1D1，∴BD∥平面CB1D1；②∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，同理B1C⊥AC1，∴AC1⊥平面CB1D1；③∠C1AC為AC1與平面ABCD所成的角，tan∠C1AC＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(CC1,\r(2)CC1)＝eq\f(\r(2),2).答案①②15．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．(1)證明：PA∥平面BDE；(2)求二面角B-DE-C的余弦值．解(1)連接AC交BD于點O，連接OE；在△CPA中，E，O分別是邊CP，CA的中點，∴OE∥PA，而OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)如圖建立空間直角坐標系，設PD＝DC＝2.則A(2,0,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(2,2,0)．設n＝(x，y，z)是平面BDE的一個法向量，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(DB,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋z＝0，,2x＋2y＝0，))取y＝－1，得n＝(1，－1,1)，又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2,0,0)是平面DEC的一個法向量．∴cos〈n，eq\o(DA,\s\up6(→))〉＝eq\f(n·\o(DA,\s\up6(→)),|n|·|\o(DA,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(3)×2)＝eq\f(\r(3),3).故結合圖形知二面角B-DE-C的余弦值為eq\f(\r(3),3).[知識排查]1．應注意根據(jù)幾何體的三視圖確定幾何體的形狀和數(shù)量特征，尤其是側視圖中的數(shù)據(jù)與幾何體中的數(shù)據(jù)之間的對應．2．弄清楚球的簡單組合體中幾何體度量之間的關系，如棱長為a的正方體的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)a.3．搞清幾何體的表面積與側面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側面積與所在底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積．4．立體幾何中，平行、垂直關系可以進行以下轉化：線∥線?線∥面?面∥面，線⊥線?線⊥面?面⊥面，這些轉化各自的依據(jù)是什么？5．如何求兩條異面直線