備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解課件86-獨(dú)立性檢驗(yàn)

第86講獨(dú)立性檢驗(yàn)備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解課件考向預(yù)測核心素養(yǎng)利用2×2列聯(lián)表和卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系是高考考查的熱點(diǎn)，各種題型均會(huì)出現(xiàn).數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算01基礎(chǔ)知識(shí)回顧1．分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量在討論問題時(shí)，為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為__________．分類變量的取值可以用______表示．分類變量實(shí)數(shù)(2)2×2列聯(lián)表列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為

y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)零假設(shè)以Ω為樣本空間的古典概型．設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對(duì)分類變量．H0：____________________．通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè)．分類變量X和Y獨(dú)立(2)χ2公式假設(shè)我們通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d臨界值(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y________，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過____；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y______．這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn)．不獨(dú)立α獨(dú)立二、教材衍化1．(人A選擇性必修第三冊(cè)P134練習(xí)T1改編)為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測得某校男生150名中有80名近視，140名女生中有70名近視．在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有說服力(

)A．回歸分析 B.均值與方差C．獨(dú)立性檢驗(yàn)

D.概率√2．(人A選擇性必修第三冊(cè)P134練習(xí)T4改編)為了判斷高三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：

理科文科男1310女720α0.050.025xα3.8415.024解析：χ2≈4.844>3.841＝x0.05，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性不大于0.05.答案：0.053．(人A選擇性必修第三冊(cè)P132

例3改編)隨著國家三孩政策的放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的三孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣的方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表．

非一線一線合計(jì)愿生452065不愿生132235合計(jì)5842100根據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以得到的結(jié)論是____________．答案：生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)是檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)的一種統(tǒng)計(jì)方法．(

)(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)得到的結(jié)論一定是正確的．(

)(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的樣本不同，其結(jié)論可能不同．(

)(4)若事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到的χ2越?。?

)×√√×則表中a，b的值分別為(

)A．94，72

B.52，50

C．52，74

D.74，52√二、易錯(cuò)糾偏1．(列聯(lián)表意義不明致誤)下面是2×2列聯(lián)表：

y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120解析：因?yàn)閍＋21＝73，所以a＝52.又a＋22＝b，所以b＝74.2．(獨(dú)立性檢驗(yàn)理解不當(dāng)致誤)(2022·揭陽模擬)隨機(jī)詢問50名大學(xué)生調(diào)查愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否和性別有關(guān)．利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2＝8.333，則下列結(jié)論正確的是(

)附：α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828A.在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005的前提下認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005的前提下認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001的前提下，認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001的前提下，認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”解析：因?yàn)?.333>7.879，由附表知，在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005的前提下，認(rèn)為“是否愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”．故選A.√02核心考點(diǎn)共研考點(diǎn)一分類變量與列聯(lián)表(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：掌握分類變量的含義；通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義．1．(多選)根據(jù)如圖所示的等高堆積條形圖，下列敘述正確的是(

)A．吸煙患肺病的頻率約為0.2B．吸煙不患肺病的頻率約為0.8C．不吸煙患肺病的頻率小于0.05D．不能判斷吸煙與患肺病之間的關(guān)系解析：從等高堆積條形圖上可以明顯地看出，吸煙患肺病的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不吸煙患肺病的頻率．A，B，C都正確，D不正確．√√√√2．(2022·湖南省永州市高三適應(yīng)性考試)“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn)，某電商平臺(tái)的直播間經(jīng)營化妝品和服裝兩大類商品，2021年前三個(gè)季度，該直播間每個(gè)季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情況如圖所示，則(

)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)樵撝辈ラg每個(gè)季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的總收入是第一季度的2×2＝4倍，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，第一、二季度服裝收入和為a＋2a－0.1a－0.4a＝2.5a，第三季度服裝收入為4a－1.2a＝2.8a，故D錯(cuò)誤．故選B.3．(2022·上海華師大二附中高二月考)假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為XY合計(jì)y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d對(duì)同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關(guān)的可能性最大的一組為(

)A．a(chǎn)＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a(chǎn)＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a(chǎn)＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：對(duì)于同一樣本，|ad－bc|越小，說明X與Y相關(guān)性越弱，而|ad－bc|越大，說明X與Y相關(guān)性越強(qiáng)，通過計(jì)算知，對(duì)于A、B、C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；對(duì)于選項(xiàng)D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，顯然7＞2.√4．為了搞好對(duì)外宣傳工作，會(huì)務(wù)組選聘了30名記者擔(dān)任對(duì)外翻譯工作，在下面“性別與會(huì)俄語”的2×2列聯(lián)表中，a－b＋d＝________．性別俄語合計(jì)會(huì)俄語不會(huì)俄語男ab20女6d

合計(jì)18

30解析：由2×2列聯(lián)表的性質(zhì)，可得：a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8.答案：8求解參數(shù)的方法(1)根據(jù)等高堆積條形圖的高度差直接判斷．(2)直接利用2×2列聯(lián)表的性質(zhì)，建立方程即可求參數(shù)．考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn)(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：通過對(duì)典型案例(如“肺癌與吸煙有關(guān)嗎”等)的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及初步應(yīng)用．角度1簡單的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題

某校推廣新課改，在兩個(gè)程度接近的班進(jìn)行試驗(yàn)，一班為新課改班級(jí)，二班為非課改班級(jí)，經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的教學(xué)后對(duì)期末考試進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，規(guī)定：總分超過550(或等于550分)為優(yōu)秀，550以下為非優(yōu)秀，得到以下列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)一班3513

二班1725

合計(jì)

(1)請(qǐng)完成列聯(lián)表；【解】

(1)

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)一班351348二班172542合計(jì)523890(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推廣新課改與總成績是否優(yōu)秀有關(guān)系？參考數(shù)據(jù)：α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879【解】

((2)零假設(shè)為H0：推廣新課改與總成績是否優(yōu)秀無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到(2)為提升服務(wù)質(zhì)量，該部門從這100名旅客中按年齡采用分層隨機(jī)抽樣的方法選取5人參加座談會(huì)，會(huì)后再進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，獎(jiǎng)品共三份，由于年齡差異，規(guī)定40歲及以下的旅客若中獎(jiǎng)，則每人得800元，40歲以上的旅客若中獎(jiǎng)，則每人得1000元，設(shè)三份獎(jiǎng)品總金額為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828(1)在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng)．(2)解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得到結(jié)論．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：|跟蹤訓(xùn)練|(2022·西藏拉薩那曲第二高級(jí)中學(xué)高三月考)某中學(xué)隨機(jī)抽查了50名同學(xué)的每天課外閱讀時(shí)間，得到如下統(tǒng)計(jì)表：時(shí)長(min)(0，10](10，20](20，30](30，40](40，50]人數(shù)41014184(1)求這50名同學(xué)的平均閱讀時(shí)長(用區(qū)間中點(diǎn)值代表每個(gè)人的閱讀時(shí)長)；(2)在閱讀時(shí)長位于(40，50]的4人中任選2人，求甲同學(xué)被選中的概率；解：(2)設(shè)這4名學(xué)生中分別為甲、乙、丙、丁，從這4名學(xué)生中任取2名學(xué)生，所有的樣本點(diǎn)有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6個(gè)，其中，事件“甲同學(xué)被選中”所包含的樣本點(diǎn)有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(3)進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，語文成績和每天的課外閱讀時(shí)間有很大關(guān)系，每天的課外閱讀時(shí)間多于半小時(shí)稱為“閱讀迷”，語文成績達(dá)到120分視為優(yōu)秀，根據(jù)每天的課外閱讀時(shí)間和語文成績是否優(yōu)秀，制成一個(gè)2×2列聯(lián)表：

閱讀迷非閱讀迷合計(jì)語文成績優(yōu)秀20323語文成績不優(yōu)秀22527合計(jì)222850α0.40.250.10.01xα0.7081.3232.7066.63503課后達(dá)標(biāo)檢測√[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下面的等高條形圖可以說明的問題是(

)A．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對(duì)不同的B．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同C．此等高條形圖看不出兩種手術(shù)有什么不同的地方D．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握解析：由等高條形圖可知“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的頻率不同，所以“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有100%的把握，所以選項(xiàng)D正確，故選D.√2．某學(xué)校食堂對(duì)高三學(xué)生偏愛蔬菜還是肉類與性別的關(guān)系進(jìn)行了一次調(diào)查，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原理，處理所得數(shù)據(jù)之后發(fā)現(xiàn)，得到“偏愛蔬菜還是肉類與性別有關(guān)”這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率大于0.001，而不大于0.01，則χ2的值可能為(

)附表：α0.050.010.001xα3.8416.63510.828A.3.206

B.6.561

C.7.879

D.11.028解析：根據(jù)題意得χ2的取值范圍為[6.635，10.828)，因此χ2的值可能為7.879.故選C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下，下面哪個(gè)選項(xiàng)可以認(rèn)為變量X，Y有關(guān)(

)A．a(chǎn)＝10

B.a＝12

C．a(chǎn)＝8

D.a＝9√3．(多選)假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，其2×2列聯(lián)表如下表所示：XY合計(jì)y1y2x1a40a＋40x230－a3060－a合計(jì)3070100√√4．小波同學(xué)為了驗(yàn)證諺語“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯(lián)表，并計(jì)算得到χ2≈19.05，下列小波對(duì)地區(qū)A天氣判斷不正確的是(

)日落云里走夜晚天氣下雨未下雨合計(jì)出現(xiàn)25530未出現(xiàn)254570合計(jì)5050100附表：α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828√因?yàn)棣?≈19.05＞10.828＝x0.001，所以做出“‘日落云里走’是否出現(xiàn)與當(dāng)晚是否下雨有關(guān)”這一推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001，C正確；有關(guān)只是說可能性，不代表一定下雨，D錯(cuò)誤．故選D.5．(多選)某俱樂部為了解會(huì)員對(duì)運(yùn)動(dòng)場所的滿意程度，隨機(jī)調(diào)查了50名會(huì)員，每位會(huì)員對(duì)俱樂部提供的場所給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如圖所示的列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算χ2≈5.059，則可以推斷出(

)性別是否滿意合計(jì)滿意不滿意男性18927女性81523合計(jì)262450√附：α0.050.010.005xα3.8416.6357.879√√因?yàn)棣?≈5.059＞3.841＝x0.05，所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為男性會(huì)員、女性會(huì)員對(duì)運(yùn)動(dòng)場所的評(píng)價(jià)有差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05，故C正確，D錯(cuò)誤．6．(多選)某機(jī)構(gòu)在研究性別與是否愛好拳擊運(yùn)動(dòng)的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表．是否愛好拳擊性別合計(jì)男女愛好拳擊352257不愛好拳擊152843合計(jì)5050100α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828A.“愛好拳擊運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01B．在100個(gè)男生中，至少有一個(gè)人愛好打拳擊C．男生身高的平均數(shù)為175，男生身高的標(biāo)準(zhǔn)差為16D．女生身高的平均數(shù)為164，女生身高的標(biāo)準(zhǔn)差為3解析：χ2≈6.895＞6.635＝x0.01，A對(duì)；顯然B錯(cuò)；男生身高的標(biāo)準(zhǔn)差為4，C錯(cuò)；顯然D對(duì)，故選AD.√√7．(2022·贛中南五校聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答．選題情況如下表：(單位：人)性別題型合計(jì)幾何題代數(shù)題男同學(xué)22830女同學(xué)81220合計(jì)302050根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺和空間想象能力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過________．附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828答案：0.058．(2022·黑龍江模擬)為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù)：性別療效合計(jì)無效有效男性患者153550女性患者64450合計(jì)2179100設(shè)H0：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，則χ2≈________(小數(shù)點(diǎn)后保留3位有效數(shù)字)，從而得出結(jié)論；服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這種判斷出錯(cuò)的概率不大于________．答案：4.882

0.059．(2022·山東省濟(jì)南市高二期末)為了研究某種疾病的治愈率，某醫(yī)院對(duì)100名患者中的一部分患者采用了外科療法，另一部分患者采用了化學(xué)療法，并根據(jù)兩種治療方法的治愈情況繪制了等高堆積條形圖，如下(1)根據(jù)圖表完善以下關(guān)于治療方法和治愈情況的2×2列聯(lián)表；療法療效合計(jì)未治愈治愈外科療法

化學(xué)療法

18

合計(jì)

100解：(1)根據(jù)等高條形圖，采用化學(xué)療法的治愈率為30%，由列聯(lián)表得化學(xué)療法治愈的人數(shù)為18人，故采用化學(xué)療法的人共有18÷30%＝60人，采用外科療法的有40人，其中治愈的有40×50%＝20人．所以列聯(lián)表如下表：療法療效合計(jì)未治愈治愈外科療法202040化學(xué)療法421860合計(jì)6238100α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828乙小區(qū)租戶的月收入(單位：千元)的頻數(shù)分布表如下：月收入[0，3)[3，6)[6，9)[9，12)[12，15]戶數(shù)38272492解：(1)記A表示事件“甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元”，記B表示事件“乙小區(qū)租戶的月收入不低于6千元”，甲小區(qū)租戶的月收入低于6千元的頻率為(0.060＋0.160)×3＝0.66，故P(A)的估計(jì)值為0.66；因?yàn)榧?、乙兩小區(qū)租戶的月收入相互獨(dú)立，所以事件M的概率的估計(jì)值為P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.(2)利用頻率分布直方圖，求所抽取的甲小區(qū)100戶租戶的月收入的中位數(shù)；解：(2)設(shè)甲小區(qū)所抽取的100戶租戶的月收入的中位數(shù)為t，則0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，解得t＝5.(3)若甲、乙兩小區(qū)每戶的月租費(fèi)分別為2千元、1千元．請(qǐng)根據(jù)條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析幸福指數(shù)與租住的小區(qū)是否有關(guān)．租住小區(qū)幸福指數(shù)合計(jì)幸福指數(shù)低幸福指數(shù)高甲小區(qū)租戶

乙小區(qū)租戶

合計(jì)

附：臨界值表α0.10.010.001xα2.7066.63510.828解：(3)零假設(shè)為H0：幸福指數(shù)與租住的小區(qū)無關(guān)．

租住小區(qū)幸福指數(shù)合計(jì)幸福指數(shù)低幸福指數(shù)高甲小區(qū)租戶6634100乙小區(qū)租戶3862100合計(jì)10496200依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為H0不成立，即認(rèn)為幸福指數(shù)與租住的小區(qū)有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.附表